ゆるゆる物理☆ときどき数学

標準的な写像（自然な写像）
U を V の部分空間とするとき、V → V/U の写像
$\pi : V \ni x \mapsto \bar{x} \in V/U $ を標準的な写像（自然な写像）という。
同値類に関する演算の定義から、線形写像である。
商集合の定義から、全射である。

標準的な写像 $\pi$ は、以下の性質を持つ。
(1) ${\rm Ker} \ \pi = U$
(2) ${\rm Im} \ \pi = V/U$
(3) ${\rm dim} (V/U) = {\rm dim} \ V - {\rm dim} \ U$

（証明）
(1) $x\in U \Leftrightarrow x-0\in U \Leftrightarrow \bar{x}=\bar{0} \Leftrightarrow x\in{\rm Ker}\ \pi$
(2) V/U の定義から全射である。
(3) 核と像の性質より、${\rm dim} V = {\rm dim \ Ker}\ \pi + {\rm dim \ Im}\ \pi$
(証明終了）

参考文献
[1] 岩堀長慶編　「線形代数学」　（裳華房）

和空間は、生け花と掛け軸が似合いましたが、
商空間は、洗練されたテーブルとチェアが並んでそうです。

体 K 上の線形空間 V の部分空間 U があるとき、
$x, y \in V$ に対して、 $x - y \in U$ であることを $x \sim y$ と定めると、
$\sim$ は同値関係となる。

(証明）
U が線形空間であることより、
反射律： $x - x = 0 \in U$
対称律： $x-y \in U$ ならば、 $y-x = -(x-y) \in U$
推移律： $x-y, y-z \in U$ ならば、$x-z = (x-y)+(y-z) \in U$
（証明終了）

この同値関係による商集合を V/U = $\bar{V}$ と書く。
$x \in V$ を含む類を $\bar{x} (\in V/U)$ と書き、類に関する演算を
(1) $\bar{x} + \bar{y} = \overline{x + y}$
(2) $\alpha \bar{x} = \overline{\alpha x}　(\alpha \in K)$
と定義すると、V/U は線形空間となる。V/U を商空間と呼ぶ。

(証明）
演算が well-defined であること
$\bar{x} = \bar{x'}$, $\bar{y} = \bar{y'}$ とする。
$(x+y)-(x'+y') = (x-x')+(y-y') \in U$ より、 $\overline{x+y} = \overline{x'+y'}$
$\alpha x - \alpha x' = \alpha (x-x') \in U$ より 、$\overline{\alpha x} = \overline{\alpha x'}$
演算の結果は代表元の取り方によらない。

線形空間であること
$(\bar{x}+\bar{y}) + \bar{z} = \overline{(x+y)+z} = \overline{x+(y+z)} = \bar{x} + (\bar{y} + \bar{z})$
$\bar{x}+\bar{y} = \overline{x+y} = \overline{y+x} = \bar{y}+\bar{x}$
$\bar{x}+\bar{0} = \overline{x+0} = \bar{x}$（とその交換）より、$\bar{0}$が零ベクトル。
$\bar{x}+\overline{-x} = \overline{x-x} = \bar{0}$（とその交換）より、$\overline{-x} = -\bar{x}$（逆ベクトル）。
$(\alpha+\beta)\bar{x} = \overline{(\alpha+\beta)x} = \overline{\alpha x + \beta x} = \alpha\bar{x} + \beta\bar{x}$
$\alpha(\bar{x}+\bar{y}) = \overline{\alpha(x+y)} = \overline{\alpha x + \alpha y} = \alpha\bar{x} + \alpha\bar{y}$
$(\alpha\beta)\bar{x} = \overline{(\alpha\beta) x} = \overline{\alpha(\beta x)} = \alpha(\beta\bar{x})$
$1\bar{x} = \overline{1x} = \bar{x}$
(証明終了）

参考文献
[1] 岩堀長慶編　「線形代数学」　（裳華房）

電磁場の運動量を生成消滅演算子で表す。

E と B の表式\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \sqrt{\hbar\omega/2} \ \epsilon_{k\alpha} [a_{k\alpha} e^{i{\bf k \cdot x}} - a^\dagger_{k\alpha} e^{-i{\bf k \cdot x}} ]
\tag{1}
\]\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} c\sqrt{\hbar/2\omega} \ ({\bf k}\times \epsilon_{k\alpha}) [a_{k\alpha} e^{i{\bf k\cdot x}} - a^\dagger_{k\alpha} e^{-i{\bf k\cdot x}} ]
\tag{2}
\]を用いて、電磁場の運動量\[
{\bf P} = \frac{1}{c} \int ({\bf E} \times {\bf B}) d^3x
\tag{3}
\]を計算する。

周期的境界条件から得られる性質\[
V^{-1} \int e^{i({\bf k}-{\bf k}')\cdot {\bf x}} d^3x = \delta_{\bf kk'}
\tag{4}
\]を利用すると、\[
{\bf P} = -\sum_{k,k'} \sum_{\alpha,\alpha'} \frac{\hbar}{2}
\epsilon \times ({\bf k}' \times \epsilon')
[(aa' + a^\dagger a'{}^\dagger) \delta_{k,-k'} - (aa'{}^\dagger + a^\dagger a') \delta_{k,k'}]
\tag{5}
\] となる。ただし、プライム記号については $a' = a_{k'\alpha'}$ などと略記した。
ここで、\[
\epsilon \times ({\bf k}' \times \epsilon')
= {\bf k}'(\epsilon \cdot \epsilon') - \epsilon' (\epsilon\cdot{\bf k}')
\tag{6}
\]であり、また、(5)の[ ] の部分は${\bf k} = \pm {\bf k}'$のみ生き残ることを考慮すると、
$\epsilon\cdot{\bf k}' = \pm \epsilon\cdot{\bf k} = 0$ で(6)の第2項は消える。

次に、(6)の第1項については、${\bf k} = {\bf k}'$ の時、$\epsilon\cdot\epsilon' = \delta_{\alpha\alpha'}$ で、
${\bf k} = -{\bf k}'$の時、$\epsilon\cdot\epsilon' = \pm \delta_{\alpha\alpha'}$（α=1,2 で逆符号）である。
よって、(5)の[ ]の部分の第1項については、
$\pm {\bf k} a_{k\alpha} a_{-k\alpha}$ と $\pm {\bf k} a^\dagger_{k\alpha} a^\dagger_{-k\alpha}$ の項で構成され、
k に関する奇関数となるため、最終的に k空間全体で和を取ると消える。

結局、(5)の第2項と(6)の第1項の積から成る部分のみが残り、\[
{\bf P} = \sum_{k\alpha} \frac{\hbar}{2} {\bf k} (a_{k\alpha} a^\dagger_{k\alpha} + a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha})
\tag{7}
\]と整理される。光子数演算子を用いると、\[
{\bf P} = \sum_{k\alpha} \hbar {\bf k} \left(N_{k\alpha} + \frac{1}{2} \right)
\tag{8}
\]と書ける。ここで、$\hbar {\bf k}/2$ の項は k空間全体で和を取るとゼロになるので、\[
{\bf P} = \sum_{k\alpha} \hbar {\bf k} N_{k\alpha}
\tag{9}
\]となる。
すなわち、(k,α）で指定されるモードに入る光子一個あたりの運動量は $\hbar {\bf k}$ であると考えられる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"

電磁場を生成消滅演算子で表示する。

電磁場のフーリエ表示\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha}　
\epsilon_{k\alpha} \left[ c_{k\alpha}(t) e^{i{\bf k}\cdot{\bf x}}
+ c^*_{k\alpha}(t) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf x}} \right]
\tag{1}
\]に生成消滅演算子の定義から得られる c と a の関係式\[
c_{k\alpha} = c\sqrt{\hbar/2\omega} \times a_{k\alpha}
\tag{2}
\]を代入すると、\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha}　
c\sqrt{\hbar/2\omega} \
\epsilon_{k\alpha} \left[ a_{k\alpha}(t) e^{i{\bf k}\cdot{\bf x}}
+ a^\dagger_{k\alpha}(t) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf x}} \right]
\tag{3}
\]となる。
生成消滅演算子の時間発展\[
a_{k\alpha}(t) = a_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t} \tag{4.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha}(t) = a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{i\omega t} \tag{4.2}
\]を代入すると、\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha}　 c\sqrt{\hbar/2\omega} \ \epsilon_{k\alpha}
\left[ a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k}\cdot{\bf x}-\omega t)} + a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k}\cdot{\bf x}-\omega t)} \right]
\tag{5}
\]となる。

次に、${\bf E} = -(1/c)(\partial {\bf A}/\partial t)$ と ${\bf B} = \nabla\times{\bf A}$を求める。\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \sqrt{\hbar\omega/2} \ \epsilon_{k\alpha}
[a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k \cdot x} - \omega t)} - a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k \cdot x}-\omega t)} ]
\tag{6}
\]\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} c\sqrt{\hbar/2\omega} \ ({\bf k}\times \epsilon_{k\alpha})
[a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k\cdot x}-\omega t)} - a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k\cdot x}-\omega t)} ]
\tag{7}
\]

ハミルトニアンを使って、生成消滅演算子の時間発展を調べる。

ハミルトニアンを用いると、生成消滅演算子の時間発展は\[
\dot{a}_{k\alpha} = \frac{1}{i\hbar}[a_{k\alpha}, H]
\tag{1.1}
\]\[
\dot{a}^\dagger_{k\alpha} = \frac{1}{i\hbar}[a^\dagger_{k\alpha}, H]
\tag{1.2}
\]と表せる。
ハミルトニアンは、\[
H = \sum_{k\alpha} \hbar\omega N_{k\alpha}
\tag{2}
\]であるから、\[
[a_{k\alpha}, N_{k'\alpha'}] = \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a_{k\alpha}
\tag{3.1}
\]\[
[a^\dagger_{k\alpha}, N_{k'\alpha'}] = -\delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a^\dagger_{k\alpha}
\tag{3.2}
\]を用いると、以下の時間発展の方程式が得られる。\[
\dot{a}_{k\alpha} = -i\omega a_{k\alpha}
\tag{4.1}
\]\[
\dot{a}^\dagger_{k\alpha} = i\omega a^\dagger_{k\alpha}
\tag{4.2}
\]これを解くと、\[
a_{k\alpha}(t) = a_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t}
\tag{5.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha}(t) = a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{i\omega t}
\tag{5.2}
\]となる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"