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電磁場の運動量

続いて、電磁場の運動量について。

運動量については、真空中で考えることにする。

当初、媒質中での式を導きたくて、D や H の勉強をしていたのですが、
運動量の場合は、媒質内部での電子一つ一つの微視的な運動がかかわってくるので、
平均化した巨視的な量で考えるのは少々、厄介なようです。
扱う方法がないわけではなさそうですが、わざわざ深入りしないことにします。

電磁場がローレンツ力を介して、電荷に与える運動量変化を考える。\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = q\left({\bf E} + \frac{1}{c}{\bf v}\times{\bf B} \right)
\tag{1}
\]連続分布に拡張すると、\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = \int \left(\rho {\bf E} + \frac{1}{c}{\bf j}\times{\bf B} \right) d^3x
\tag{2}
\]となる。マックスウェル方程式\[
\rho = \nabla\cdot{\bf E}
\tag{3}
\]\[
{\bf j} = c\nabla\times{\bf B} - \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
\tag{4}
\]を代入すると、\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = \int \left[ {\bf E}(\nabla\cdot{\bf E})
- \frac{1}{c}\frac{\partial{\bf E}}{\partial t} \times {\bf B}
+ (\nabla\times{\bf B}) \times {\bf B}
\right] d^3x
\tag{5}
\]となる。ここで、\[
\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\times{\bf B}
= \frac{\partial}{\partial t} ({\bf E}\times{\bf B})
- {\bf E} \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
\tag{6}
\]であり、さらにマックスウェル方程式\[
\frac{1}{c}\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = -\nabla\times{\bf E}
\tag{7}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{8}
\]を利用すると、(5)は\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = \int \left[
{\bf E}(\nabla\cdot{\bf E}) + {\bf B}(\nabla\cdot{\bf B})
- {\bf E} \times (\nabla\times {\bf E}) - {\bf B} \times (\nabla\times {\bf B})\\
-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}({\bf E}\times{\bf B})
\right] d^3x
\tag{9}
\]という対称性の良い形に変形できる。

ここで、

\[
{\bf g} = \frac{1}{c}({\bf E}\times{\bf B})
\tag{10}
\]

と定義することにすると、\[
\frac{d{\bf p}}{dt} + \frac{d}{dt}\int {\bf g} d^3x \\
= \int \left[
{\bf E}(\nabla\cdot{\bf E}) + {\bf B}(\nabla\cdot{\bf B})
- {\bf E} \times (\nabla\times {\bf E}) - {\bf B} \times (\nabla\times {\bf B})
\right] d^3x
\tag{11}
\]と書ける。

右辺については、まず、${\bf E}(\nabla\cdot{\bf E})-{\bf E} \times (\nabla\times {\bf E})$ のx成分を考えると、\[
E_x (\partial_x E_x + \partial_y E_y + \partial_z E_z)
- E_y (\partial_x E_y - \partial_y E_x)
+ E_z (\partial_z E_x - \partial_x E_z) \\
= \partial_x(E_x^2) + \partial_y(E_xE_y) + \partial_z(E_xE_z)
-\frac{1}{2}\partial_x(E_x^2 + E_y^2 + E_z^2)
\tag{12}
\]と変形でき、一般に、α成分は\[
[{\bf E}(\nabla\cdot{\bf E})-{\bf E} \times (\nabla\times {\bf E})]_\alpha
= \sum_\beta \frac{\partial}{\partial x_\beta} \left( E_\alpha E_\beta -\frac{1}{2} {\bf E}^2 \delta_{\alpha\beta} \right)
\tag{13}
\]B についても同様であるから、(11)の右辺は、\[
\int \sum_\beta\frac{\partial}{\partial x_\beta} T_{\alpha\beta} d^3x
\tag{14}
\]と書ける。ただし、

\[
T_{\alpha\beta} = E_\alpha E_\beta + B_\alpha B_\beta - \frac{1}{2} ({\bf E}^2 + {\bf B}^2) \delta_{\alpha\beta}
\tag{15}
\]

と定義した。ガウスの定理を用いると、表面積分に書き換えられて、結局、(11) は

\[
\frac{d{\bf p}}{dt} + \frac{d}{dt}\int {\bf g} d^3x
= \int_S T_{\alpha\beta} n_\beta dA
\tag{16}
\]

と書ける(n は表面Sの外向き法線ベクトル)

g を電磁場の運動量密度
$T_{\alpha\beta}$ をマックスウェルの応力テンソルと呼ぶと、
この式は、マックスウェルの応力により、電磁場の運動量が変化することを表している。

電磁場の運動量は

\[
{\bf p}_{\rm em} = \int {\bf g} d^3x = \frac{1}{c} \int ({\bf E} \times {\bf B}) d^3x
\tag{17}
\]

と表される。

MKSA単位系では、以下となる。

\[
{\bf g} = \varepsilon_0 {\bf E} \times {\bf B}
= \frac{1}{c^2}({\bf E} \times {\bf H})
\tag{18}
\]\[
T_{\alpha\beta} = \varepsilon_0 \left( E_\alpha E_\beta - \frac{1}{2}{\bf E}^2 \delta_{\alpha\beta} \right)
+ \frac{1}{\mu_0} \left( B_\alpha B_\beta - \frac{1}{2}{\bf B}^2 \delta_{\alpha\beta} \right)
\]



参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
[2] 砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
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物理>電磁気学 | コメント(0) | 2017/01/06 13:17

電磁場のエネルギー(再)

電磁場のエネルギーについては以前にも書きましたが、
導出過程が分かりにくかったので、再度まとめておきます。
単位系は、HLを用います。

電磁場がローレンツ力を介して電荷に行う仕事率は、$P = q{\bf E}\cdot{\bf v}$ であるから、
これを連続分布で考えると、

\[
P = \int {\bf E}\cdot{\bf j} d^3x
\tag{1}
\]

と書ける。磁場は常に運動と直交する方向に力を与えるので仕事をしないことに注意。

マックスウェル方程式\[
{\bf j} = c\nabla\times{\bf H} - \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}
\tag{2}
\]を代入して、\[
P = \int \left[
c {\bf E}\cdot(\nabla\times{\bf H}) - {\bf E}\cdot \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}
\right] d^3x
\tag{3}
\]となる。

ここで、恒等式\[
{\bf E} \cdot (\nabla \times {\bf H}) = {\bf H} \cdot (\nabla \times {\bf E}) - \nabla \cdot ({\bf E} \times {\bf H})
\tag{4}
\]とそれに続いて、マックスウェル方程式\[
\nabla \times {\bf E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
\tag{5}
\]を用いると、\[
P = \int \left[
- {\bf E}\cdot \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}
- {\bf H}\cdot \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
- c\nabla \cdot ({\bf E} \times {\bf H})
\right] d^3x
\tag{6}
\]と書き換えられる。

媒質の応答が線形で、${\bf D} = \varepsilon {\bf E}$、${\bf B} = \mu{\bf H}$ なる関係で表せると仮定し、
また、第3項についてはガウスの定理を用いると、\[
P = -\frac{d}{dt} \int \frac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D} + {\bf B}\cdot{\bf H}) d^3x
-\int_S c({\bf E} \times {\bf H}) \cdot d{\bf A}
\tag{7}
\]と書き直せる。

ここで、

\[
u = \frac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D} + {\bf B}\cdot{\bf H})
\tag{8}
\]\[
{\bf S} = c ({\bf E} \times {\bf H})
\tag{9}
\]

なる量を定義すると、(7)は

\[
P = -\frac{d}{dt} \int u d^3x - \int_S {\bf S}\cdot d{\bf A}
\tag{10}
\]

と書き表され、
u は電磁場のエネルギー密度(単位体積あたり蓄積されたエネルギー)、
S はポインティングベクトル(単位面積あたり流出するエネルギーの流れ)
を表すことが分かる。

微分形のまま表記すると、

\[
{\bf E}\cdot{\bf j} = -\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot {\bf S}
\tag{11}
\]

である。

MKSA単位系の場合は、マックスウェル方程式 (2) と (5) において、c が不要であるため、
ポインティングベクトルの c も不要である。

\[
u = \frac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D} + {\bf B}\cdot{\bf H})
\tag{13}
\]\[
{\bf S} = {\bf E} \times {\bf H}
\tag{14}
\]



参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/26 22:30

E と D、B と H の関係

E と D、B と H の関係については、これまでずっと、
MKSA単位系で次のように丸暗記していました。

\[
{\bf D} = \varepsilon_0 {\bf E} + {\bf P} \tag{1.1}
\]\[
{\bf B} = \mu_0 {\bf H} + {\bf M} \tag{1.2}
\]


同様の方が多いと思いますが、
実際の電場と磁場は E と B であり、
媒質内の効果を式の上で見かけ上なくした電場と磁場が D と H であるから、
E と B、D と H が対応するわけで、
上の式の表記だと、対応がおかしなことになっています。

前記事で導出しましたが、実際には以下のように書くべきなんですね!

\[
{\bf D} = \varepsilon_0 {\bf E} + {\bf P} \tag{2.1}
\]\[
{\bf H} = \frac{\bf B}{\mu_0} - {\bf M} \tag{2.2}
\]



問題は符号が逆符号になってることで、
これは単に、P と M の符号の定義が
歴史的な経緯でそうなってしまっただけのようです。

どうにも分かりにくいのはそのあたりが原因なんでしょうね。

参考文献
[1] 砂川重信 「電磁気学」 (岩波物理テキストシリーズ4)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/25 20:07

媒質中のマックスウェル方程式 (2) MKSA

前記事に続いて、媒質(誘電体・磁性体)中におけるマックスウェル方程式を
MKSA単位系の場合について求めます。

真空中のマックスウェル方程式は以下の通り。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \mu_0 {\bf j} \tag{1.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0 \tag{1.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{1.4}
\]



(1.1)について、分極電荷は同じく $\rho' = -\nabla\cdot{\bf P}$ であるから、\[
\nabla\cdot{\bf E} = \frac{1}{\varepsilon_0}(\rho - \nabla\cdot{\bf P})
\tag{2}
\]となる。ここで、\[
{\bf D} = \varepsilon_0{\bf E} + {\bf P}
\tag{3}
\]と定義すれば、\[
\nabla\cdot{\bf D} = \rho
\tag{4}
\]と書き換えられる。

(1.2)については、MKSA単位系では磁荷電流は ${\bf j}' = \nabla\times{\bf M}$ となるため、\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \mu_0 ({\bf j} + \nabla\times{\bf M})
\tag{5}
\]と置き換わる。ここで、\[
{\bf H} = \frac{\bf B}{\mu_0} - {\bf M}
\tag{6}
\]と定義すると、\[
\nabla\times{\bf H} - \varepsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = {\bf j}
\tag{7}
\]と書き換えられる。
さらに、$\nabla\cdot\nabla\times{\bf H} = 0$ と電荷保存則 $\nabla\cdot{\bf j} + \partial\rho/\partial t = 0$ の両立から\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = {\bf j}
\tag{8}
\]と書き換えられる。
最後の2式は電荷・電流とからまないので、変更なし。

以上をまとめると、媒質中のマックスウェル方程式は以下の通り。

\[
\nabla\cdot{\bf D} = \rho \tag{9.1}
\]\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = {\bf j} \tag{9.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0 \tag{9.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{9.4}
\]


新たに導入した物理量の定義は以下の通り。

\[
{\bf D} = \varepsilon_0{\bf E} + {\bf P} \tag{10.1}
\]\[
{\bf H} = \frac{\bf B}{\mu_0} - {\bf M} \tag{10.2}
\]



しかし、こうやって眺めてみると、これまでHL単位系推しでしたが、
媒質中の場合は、MKSA単位系の方が c が入ってなくて、スッキリしてますね。
意外な発見!(笑)

参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/25 19:46

媒質中のマックスウェル方程式 (1) へヴィサイド・ローレンツ

媒質(誘電体・磁性体)中におけるマックスウェル方程式について、まとめておきます。

真空中の時と同様、単位系に依存しない形にまとめられないだろうかと思ったのですが、
難しいようですね。
やむをえないので、主に使おうと思っている HL と MKSA の2つの単位系で
個別に導きたいと思います。

まずは、HL単位系の場合。

真空中のマックスウェル方程式は以下の通り。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{1.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]


まず、(1.1)は、誘電体中では電荷に分極電荷 $\rho' = -\nabla\cdot {\bf P}$ が追加されるため、
\[
\nabla \cdot {\bf E} = \rho - \nabla \cdot {\bf P}
\tag{2}
\]に置き換わる。ここで、\[
{\bf D} = {\bf E} + {\bf P}
\tag{3}
\]と定義すると、(2)式は\[
\nabla \cdot {\bf D} = \rho
\tag{4}
\]と書き換えられる。

次に、(1.2)は磁性体中では電流に磁化電流 ${\bf j}' = c\nabla \times {\bf M}$ が追加されるため、
\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c} + \nabla\times{\bf M}
\tag{5}
\]に変わる。ここで、\[
{\bf H} = {\bf B} - {\bf M}
\tag{6}
\]を定義すると、\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{7}
\]と書き換えられる。
さらに、$\nabla\cdot\nabla\times{\bf H} = 0$ と電荷保存則 $\nabla\cdot {\bf j} + \partial \rho/\partial t = 0$ が両立するために、\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{8}
\]と書き換えられる。
残りの2式は電荷も電流もからまないので、変更なし。

以上をまとめると、マックスウェル方程式は、以下のようになる。

\[
\nabla \cdot {\bf D} = \rho
\tag{9.1}
\]\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{9.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{9.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{9.4}
\]

新たに導入された物理量の定義は以下の通り。

\[
{\bf D} = {\bf E} + {\bf P}
\tag{10.1}
\]\[
{\bf H} = {\bf B} - {\bf M}
\tag{10.2}
\]



参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/24 22:00
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