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正規部分群・剰余群

正規部分群(定義)

群 G の部分群 N が 任意の $a \in G$ に対して、$aNa^{-1} \subset N$ である時、
N を G の正規部分群であるといい、$N \lhd G$ と書く。


正規部分群の条件は、以下と同値である。
(1) $aNa^{-1} = N$
(2) $aN = Na$

(証明)
(1) 任意の $a \in G$ に対して、$aNa^{-1} \subset N$ であれば、
  $aNa^{-1} \supset N$ でもあることを示せばよい。
  $a^{-1}$ も G の元であるから、$a^{-1}Na \subset N$。
  左から a、右から $a^{-1}$ をかけて、$N \subset aNa^{-1}$。
(2) (1) に右から a をかければよい。
(証明終了)

以下は、明らかである。

可換群の部分群はすべて正規部分群である。

(証明) 可換であれば、$aNa^{-1} = aa^{-1}N = N$ (証明終了)

正規部分群に対する左右の剰余類は一致する。

(証明) $aN = Na$ より明らか。(証明終了)

剰余類の積(定義)
まず、aN と bN の部分集合としての積を考える。
$(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = abNN = abN$

これにより、類 aN の元と 類 bN の元の積はすべて、類 abN の元となり、
代表元 a, b の選び方によらないことが分かる。

そこで、G/N の元としての $aN, bN \in G/N$ に対して、

\[
G/N \times G/N \ni (aN, bN) \mapsto (ab)N \in G/N
\]


なる写像を well-defined に定義することができ、
それにより剰余類における積を以下のように定義する。

\[
(aN)\cdot(bN) = (ab)N
\]


剰余群(定義)

上記のように定義された積により、G/N は群となる。これを剰余群と呼ぶ。

(証明)
(1) 閉性。群 G の閉性より明らか。
(2) 結合法則。$(aN\cdot bN)\cdot cN = abN\cdot cN = (ab)cN$
  $= a(bc)N = aN\cdot bcN = aN\cdot(bN\cdot cN)$
(3) 単位元は $1\cdot N = N$。
(4) aN に対する逆元は、$a^{-1}N$。
(証明終了)

整数の加法による群
例として、整数の群 $\mathbb{Z}$ を考える。
加法演算に対して、整数 $\mathbb{Z}$ は可換群となる。
単位元は 0 で、a に対する逆元は -a。

正の整数 n に対して、$n\mathbb{Z} = \{ nm | m \in \mathbb{Z} \}$ も可換群であり、
$\mathbb{Z}$ の正規部分群となる。
その結果、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は加法に対して群となる。

例として、n = 3 とすると、\[
3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots \}
\]は、3の倍数の集合を表す正規部分群。
この正規部分群で分類した剰余類は、\[
3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots \} = \bar{0} \\
1+3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -5, -2, 1, 4, 7, \cdots \} = \bar{1} \\
2+3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots \} = \bar{2} \\
\]の3種類となり、\[
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2} \}
\]は群となる。

例えば、$\bar{0} + \bar{1} = \overline{0+1} = \bar{1}$ のようになるので、$\bar{0}$ は単位元である。
また、$\bar{1} + \bar{2} = \overline{1+2} = \bar{3} = \bar{0}$ なので、$\bar{2}$ は$\bar{1}$ の逆元である。


参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2016/04/18 23:25

群の準同型・同型

準同型・同型(定義)

群 G, G' に対して、写像 $\phi : G \rightarrow G'$ が定義されていて、
G の任意の元 $x, y \in G$ に対して、以下を満たす時、Φは準同型であるという。\[
\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)
\]さらに、Φの逆写像が存在して、逆写像も準同型の場合、Φは同型であるといい、
G と G' は同型であるという。$G \simeq G'$ と書く。


準同型が全単射なら、同型である。

(証明)
準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ が全単射とすると、逆写像 $\psi : G' \rightarrow G$ が存在。
任意の $x, y \in G'$ に対して、\[
\phi(\psi(x)\psi(y)) = \phi(\psi(x)) \phi(\psi(y)) = xy = \phi(\psi(xy))
\]Φは単射であるから、$\psi(x)\psi(y) = \psi(xy)$ となり、ψも準同型。
(証明終了)

$\phi : G\rightarrow G'$ を準同型とする。
(1) $\phi(1) = 1'$
(2) 任意の $x \in G$ に対して、$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}$

(証明)
(1) $\phi(1) = \phi(1 \cdot 1) = \phi(1) \phi(1)$ より $\phi(1) = 1'$。
(2) $\phi(x) \phi(x^{-1}) = \phi(xx^{-1}) = \phi(1) = 1'$。同様に $\phi(x^{-1}) \phi(x) = 1'$。
(証明終了)

核・像(定義)

準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ に対して、
以下の集合をと呼ぶ。\[
{\rm Ker}(\phi) = \{ x\in G | \phi(x) = 1 \}
\]また、以下の集合をと呼ぶ。\[
{\rm Im}(\phi) = \{ \phi(x) | x \in G \}
\]


核・像は部分群である。

(証明)
準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ について、Ker(Φ)が群であることを示す。
(1) 閉性。$x,y \in {\rm Ker(\phi)}$ に対して、$\phi(xy) = \phi(x)\phi(y) = 1'1' = 1'$。
(2) 結合法則は明らか。
(3) 単位元。$\phi(1) = 1'$ より $1 \in {\rm Ker}(\phi)$。
(4) 逆元。$ x \in {\rm Ker}(\phi)$ に対して、$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1} = 1'$。

準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ について、Im(Φ)が群であることを示す。
(1) 閉性。$x',y' \in {\rm Im(\phi)}$ に対して、$\phi(x) = x'$, $\phi(y) = y'$ なる x, y が G に存在。
  $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y) = x'y'$ より、 $x'y' \in {\rm Im}(\phi)$。
(2) 結合法則は明らか。
(3) 単位元。$\phi(1) = 1'$ より $1' \in {\rm Im}(\phi)$。
(4) 逆元。$x' \in {\rm Im}(\phi)$ に対して、$x' = \phi(x)$ なる x が G に存在。
  $\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1} = x'^{-1}$ より、$x'^{-1} \in {\rm Im}(\phi)$。
(証明終了)

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2016/04/15 23:45

生成元・巡回群・元の位数

(定義)

群 G の部分集合 S の元 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ を用いて、
以下の形で表された G の元を S の元によるという。\[
x_1^{\pm 1} x_2^{\pm 2} \cdots x_n^{\pm 1}
\]$x_i$ は重複していてもよい。
$\pm 1$ は +1 か -1 のいずれかを選択する。
n = 0 の場合も含み、その場合は、単位元 1 を表すものとする。


生成された部分群

S の元による語全体の集合を < S > と書く。
< S > は G の部分群となる。
このとき、< S > を S によって生成された部分群と呼び、
S を生成系、S の元を生成元と呼ぶ。

(証明)
閉性と結合法則は明らか。語の定義より、単位元 1 を含む。
逆元は、$x_n^{\mp 1} \cdots x_1^{\mp 1}$ である。
(証明終了)

巡回群(定義)

一つの元で生成された群。
ある元 a が存在して、すべての元が $a^n (n\in \mathbb{Z})$ の形で表される。


元の位数(定義)

群 G の元 a に対して、$a^n = 1$ となる最小の正の整数。
n が存在しなければ、∞とする。



参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2016/04/15 12:00

剰余類

群・環・体の基本的定義は理解できましたので、剰余類に進みますが、
実はまだちゃんと理解できていません。
書きながら、考えていこうと思いますので、途中で混乱して、書き直す可能性も大です。

雪江 [1] は説明が非常に丁寧ですが、証明がよく理解できないところがあり、
森田 [2] は説明がエレガントだけど、簡潔すぎて、
行間を自分で埋めなければならないので、
(というより、ほとんど行間しかない気さえする・・・^^;)
本記事はほとんど我流の展開です。ご注意ください!

H を群 G の部分群とする。
G の任意の元 a, b に対して、$a^{-1}b \in H$ の時、$a \sim b$ と書くことにすると、
$\sim$ は同値関係となる。
また、$ba^{-1} \in H$ の時も同様である。
(証明)
$a^{-1}b \in H$ の場合について示す。 $ba^{-1} \in H$ の場合についても同様。
(1) 反射律。$a^{-1} a = 1 \in H$ より $a \sim a$。
(2) 対称律。$a \sim b$ とすると、$a^{-1} b \in H$。
  H は群であるから、$(a^{-1} b)^{-1} = b^{-1}a \in H$。よって、$b \sim a$。
(3) 推移律。$a \sim b$、$b \sim c$ とすると、$a^{-1}b \in H$, $b^{-1}c \in H$。
  よって、$a^{-1}c = (a^{-1}b)(b^{-1}c) \in H$ より、$a \sim c$。
(証明終了)

上記の条件は、\[
b \in aH = \{ ah | h \in H \}
\]または、\[
b \in Ha = \{ ha | h \in H \}
\]と書くこともできる。個人的には、こちらの方が分かりやすい!



この同値関係によって、同値類が作られる。(「同値類」の記事を参照)
これらを類別する集合(C(a) に相当するもの)は、明らかに aH (または Ha )である。

G は以下のような直和分割で表される。\[
G = \coprod_{i\in I} a_i H
\]または\[
G = \coprod_{j\in J} Ha_j
\tag{1}
\]


$a, b \in G$ に対して、\[
b \in aH \Leftrightarrow aH = bH \\
b \in Ha \Leftrightarrow Ha = Hb
\tag{2}
\]


aH による類別を左剰余類、Ha による類別を右剰余類と呼び、
これらの商集合をそれぞれ、 $G/H$、$H \backslash G$ と表記する。

$a, b \in G$ に対して、\[
aH = bH \Leftrightarrow Ha^{-1} = Hb^{-1}
\tag{3}
\]

(証明)
$aH = bH$ ならば、$b \in aH$ であるから、ある $h \in H$ を用いて、$b = ah$ となる。
$b^{-1} = h^{-1}a^{-1}$ となり、$b^{-1} \in Ha^{-1}$。よって、$Ha^{-1} = Hb^{-1}$。
逆も同様に証明可能。
(証明終了)

剰余類の元の個数

\[
|G/H| = |H \backslash G|
\tag{4}
\]

上記の元の個数のことを (G : H) と表記する。

(証明)
(3) の関係と、$x \mapsto x^{-1}$ が全単射であることを考え合わせると、
左剰余類が\[
G/H = \{ a_i H | i \in I \}
\]ならば、右剰余類は\[
H\backslash G = \{ Ha_i^{-1} | i \in I \}
\]となることが分かり、その元の個数は一致する。
(証明終了)

$a\in G$ に対して、\[
|aH| = |Ha| = |H|
\tag{5}
\]

(証明)
写像 $\phi : H \ni h \mapsto ah \in aH$ を考える。
もし、$ah_1 = ah_2$ ならば、$a^{-1}$ を左から掛けて、$h_1 = h_2$ となるので、
Φは単射であり、明らかに全射でもあるので、全単射である。
よって、$|aH| = |H|$。Ha についても同様。
(証明終了)

ラグランジュの定理

\[
|G| = |H| (G:H)
\tag{6}
\]

(証明)
(1) の直和分割を考えると、$|G| = \sum_i |a_i H|$ となるが、(5) より $|a_i H| = |H|$ であるから、
上記定理が言える。
(証明終了)

これより、以下が言える。

部分群の位数は、もとの群の位数の約数である。
位数が素数である群は、真の部分群を持たない。


真の部分群とは、自明な部分群以外の部分群。
自明な部分群とは、その群自身と、単位元のみから成る群のこと。

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2016/04/14 20:27

体の定義

(定義)

集合 K に加法・乗法の2つの演算が定義されていて、
以下の条件を満たす時、K はであるという。

(F1) 可換環である。

(F2) 0 以外のすべての元が単元である。


斜体(定義)
上記で環が非可換である場合、斜体と言う。

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/04/11 19:50

環の定義

(定義)

集合 A に加法・乗法の2つの演算が定義されていて、
以下の条件を満たす時、A はであるという。

(R1) 加法に関して、可換群をなす。
  単位元を 0 と書き、a の逆元を -a と書く。

(R2) 乗法に関して、結合法則が成り立つ。
  すべての $a,b,c \in A$ に対して、$(ab)c = a(bc)$。

(R3) 分配法則
  すべての $a,b,c \in A$ に対して、
  $a(b+c) = ab + ac$、$(a+b)c = ac + bc$。

(R4) 乗法に関して、単位元 1 が存在。
  すべての $a \in A$ に対して、$1a = a1 = a$。



可換環(定義)

上記に加えて、乗法に関しても交換法則を満たす。
(R5) 乗法に関する交換法則
   すべての $a,b \in A$ に対して、$ab = ba$。



0 の性質

任意の $a \in A$ に対して、$0a = a0 = 0$。

(証明)
$(0+0)a = 0a$ より、分配法則を用いて、$0a + 0a = 0a$。
両辺に -0a を加えると、$0a = 0$。
$a0 = 0$ に関しても同様。
(証明終了)

自明な環

$0=1$ ならば、元として、0 (=1) のみを持つ自明な環となる。

(証明)
任意の元 a に対して、$a = 1a = 0a = 0$。(証明終了)

単元・乗法群

乗法に関して逆元を持つ元を単元(可逆元・正則元)と呼び、
環 A の単元をすべて集めた集合を $A^\times$ と表記する。

$A^\times$ は乗法に関して群をなす。

(証明)
(G1) 閉性。任意の単元 a, b の積 $ab$ は逆元 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ を持つから、単元。
(G2) 結合法則は、環の定義より成立。
(G3) 単位元 1 の逆元は1 であるから、1 は単元である。
(G4) 逆元。任意の単元 a に対して、逆元 $a^{-1}$ の逆元は a 自身であるので、$a^{-1}$ も単元である。
(証明終了)

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/04/10 23:20

群の定義

以前から細々と代数系の勉強もしていて、
「群・環・体」の定義がようやく頭に入ってきたところです。
そこで、まとめておこうと思います。

(定義)

集合 G (≠Φ)上で G x G の演算が定義されていて、
以下の条件を満たすとき、G はであるという。

(G1) 閉性
 すべての $a, b \in G$ に対して、$ab \in G$。

(G2) 結合法則
 すべての $a,b,c \in G$ に対して、$(ab)c = a(bc)$ が成り立つ。

(G3) 単位元の存在
  ある元 $e \in G$ が存在して、すべての元 $a \in G$ に対して、$ae = ea = a$ となる。
  単位元は群に対して一意的であり、1 と書く。

(G4) 逆元の存在
  任意の元 $a \in G$ に対して、ある元 $b \in G$ が存在して、$ab = ba = e$ を満たす。
  逆元は与えられた元に対して一意的に決まり、$a^{-1}$ と書く。


(注)通常、(1) は演算の前提であって、群の公理としては (2)~(4) の3つを書くことが多いが、
   群かどうかのチェックをするのに、(1) も要件になるので、あえて、4つの条件とした。

単位元の一意性
$e = ee' = e'$

逆元の一意性
$b = be = b(ab') = (ba)b' = eb' = b'$

可換群(アーベル群、加法群)(定義)

上記に加えて、交換法則を満たす。
(G5) 交換法則
  すべての $a,b \in G$ に対して、$ab = ba$

 このとき、$ab$ を $a+b$ とも書き、単位元を 0、a の逆元を -a と書く。



群の位数(定義)

群 G の元の個数を G の位数と呼び、$|G|$ と表記する。
位数が有限の群を有限群、無限の群を無限群と呼ぶ。




参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/03/31 19:52

群論の教科書

群論の教科書は既に3冊所有しているのですが、
ついに4冊目を買ってしまいました(笑)

最近のこちらの記事でもちらっと触れましたが、
今持っているのが以下の3冊。

[1] 吉川圭二「群と表現」(岩波理工系の数学シリーズ)

[2] 志賀浩二「群論への30講」(数学30講シリーズ)

[3] Morton Hamermesh "Group Theory and Its Application to Physical Problems"
   (Dover Books on Physics and Chemistry)


[1]は、物理に必要な回転群やユニタリ群やリー群の基礎まで載っていて、
内容としては魅力的なのですが、
やはりこの分量をこのページ数に収めるのは無理があるのかもしれません。
数学的な定義があまりしっかり書かれていない気がして、
どうもついていくことができませんでした。

[2]は、読み物チックでさすが評判通り、分かりやすいです。
たとえば、一般の n ではなく、3個の場合で証明して、あとは推して知るべし
みたいな思い切った割り切りがあったりして、読みやすいし、
ポイントを押さえるのにはなかなかいいと思いました。
ただ、あまり物理向けではなくて、数学寄りなので、
回転群とかユニタリ群については書かれていません。

そこで、ずっと昔に買ってあった[3]を読もうと思ったのですが、
なかなかの分量の超骨太な本で、読み切れるかどうか不安で
なかなか読み始められない本です。

数学的な基礎もしっかりと書きつつ、
物理における点群の話や回転群・ユニタリ群の話も
書かれているようです。
リー群やリー代数の基礎も書かれているっぽいです。

アマゾン・レビューを見ると、古典的名著のようで、
これを読破すればかなり力がつくようですね。
ただ、読破できるかどうか・・・・^^;

特に、点群の章とか、
The second chapter almost drive me crazy.
と書いている人もいますし・・・^^;;

そして、このレビューである人がすすめていたのがこちらの本。

[4] Michael Tinkham "Group Theory and Quantum Mechanics"
  (Dover Books on Chemistry)


かなり物理応用をメインとして書かれてるっぽくて、
レビューを見ても非常にわかりやすそうだったので、買ってみました!
今日、手元に届いたので、ちらちら眺めてみたら、
初めのイントロダクションから、シュレディンガー方程式が出てきて、
なぜ、物理に群論が必要かということから書かれていて、とても興味深いです。

とりあえず、この本はアメリカ出張に持っていこうと思います。

[3] と違って、純粋な数学的部分のウェイトは小さいようなので、
[3] はまた別にいつか読んでみたいところですね!(じゃ、いつ読むの?笑)

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2014/06/04 23:51

置換の偶奇性

対称群 $S_n$ の元を互換の積で表す時、
互換の個数に確定した偶奇性があることを示します。

次のような差積と呼ばれる多項式を定義。
\[
f(x_1, \cdots, x_n) = \prod_{1\leq i < j \leq n} (x_i-x_j)
\tag{1}
\]
この多項式は、任意の2つの変数を入れ替える(すなわち互換を行う)と、
符号が反転する交代式である。

このことを数式で考えると、いつも頭が混乱するので、
図にしてみました(クリックすると拡大します)

permutaion-parity01.png

差積に出てくる因数は i < j より、対角成分よりも上の三角形の部分。

ここで、(p q)の互換を行うと、色のついた部分だけが変化する。
このうち、黄色と緑色のところは、それぞれ場所が入れ替わるだけで、積に影響はない。
ピンクのところは入れ替わるが、その時、符号が反転する。
赤のところは符号だけが反転する。

ピンクのところは同数あるので、必ず全部で偶数個。
赤の部分一か所を加えると、符号が変わる箇所は、全部で奇数個。
というわけで、(1)で定義された差積は交代式であることが分かった。

交代式が存在することが分かれば、
任意の $S_n$ の元σで置換した交代式 f を σf と書くことにして、
σは2通りの個数の異なる互換の積で
\[
\sigma = \rho_1 \rho_2 \cdots \rho_k = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_l
\tag{2}
\]
と表されたとすると、
\[
\sigma f = (-1)^k f = (-1)^l f
\tag{3}
\]
となる。
明らかに、k と l の偶奇性は一致していなければならない。
(証明終了)

いきなり、差積なるものが出てくるから騙されたような気になってしまうのですが、
たぶん、互換によって、インデックスの前後関係が入れ替わる数(転倒数)が
どのように変化するかという傾向が決まっていて、
それを考えるのに、便宜上、差積を使うのが分かりやすいってことなのでしょうか・・・
よくわかりませんが、あんまり深入りしたくない(笑)

参考文献
[1] 志賀浩二「群論への30講」(数学30講シリーズ)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2014/05/03 01:30

対称群

n次の対称群 $S_n$
n個のものの置換全体は群をなす。
位数は n!。

互換
2つのものだけを入れ替える置換。


$S_n$ の任意の元は、互換の積で表される。
($S_n$ は互換によって生成される)


たとえば、\[
\left(
\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2
\end{array}
\right)
= (1 \ 2)(1 \ 3)
\]
一般の場合も、まず、1と1の行き先を入れ替えて、次に、2と2の行き先を入れ替えて・・・
という風に左から順に入れ替えていけば必ずできるので、それらの互換の積で表せる。


互換の積で表す方法は、一意的ではないが、
偶数個の積か奇数個の積かは一意的に決まる。

この証明は、線形代数の行列式の導入で出てくるやつですね・・・
差積を使った証明が騙されたような感じがしてしかたないのですが、
とりあえず、次回。


参考文献
[1] 志賀浩二「群論への30講」(数学30講シリーズ)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2014/05/02 19:56
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