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フーリエ級数の証明 (2)

フーリエ級数の証明の続き。
\[
\Delta_n(x) \equiv S_n(x) - \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\tag{1}
\]
が n→∞ でゼロに収束することを示します。

ディリクレ核の性質2から、
\[
\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi D_n(\xi) d\xi = 1
\tag{2}
\]
ディリクレ核は、定義から明らかに偶関数だから、
\[
\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^0 D_n(\xi) d\xi
= \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi D_n(\xi) d\xi
= \frac{1}{2}
\tag{3}
\]
これを用いると、
\[
\Delta_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^0 \{ f(x-\xi) - f(x+0) \} D_n(\xi) d\xi \\
+ \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi \{ f(x-\xi) - f(x-0) \} D_n(\xi) d\xi
\tag{4}
\]
と書ける。

第一項の積分を考える。
ディリクレ核の性質1を利用すると、
\[
\int_{-\pi}^0 \{ f(x-\xi) - f(x+0) \} \frac{\sin(n+1/2)\xi}{\sin (\xi/2)} d\xi
\tag{5}
\]
ただし、この表記は、ξ=0 では定義できないが、
ξ→ -0 の極限を取ることにすると、極限値は 2n+1 となり、
Dn(0) の値に一致するので、問題ない。

さらに、以下のように変形する。
\[
2\int_{-\pi}^0
\frac{f(x-\xi) - f(x+0)}{\xi}
\frac{\xi/2}{\sin(\xi/2)}
\sin(n+1/2)\xi d\xi
\tag{6}
\]

第一の因子
\[
\frac{f(x-\xi) - f(x+0)}{\xi}
\]
は、ξ→ -0 で、f ' (x+0) となる。
区分的に滑らかという仮定から、この微分は収束するため、
この因子は区分的に連続である。

第二の因子
\[
\frac{\xi/2}{\sin(\xi/2)}
\]
は、ξ→ -0 で 1 に収束。

よって、
\[
\frac{f(x-\xi) - f(x+0)}{\xi}
\frac{\xi/2}{\sin(\xi/2)}
\]
の部分は、区分的に連続である。

リーマン・ルベーグの補題より、
(6)式は、n → ∞ において、ゼロに収束する。

(4)式第2項についても、同様の過程を経て、ゼロに収束することが分かる。

以上で題意は証明された。

(証明終了)

結局、イメージとしては・・・

ディリクレ核(2πで割ったもの)は、積分すると1になるということと、
裾の振動成分は、リーマン・ルベーグからゼロになるということから、
デルタ関数的ふるまいをすることになり、
元の関数を再生できるというわけですね!
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2014/01/10 12:26

フーリエ級数の証明 (1)

さて、フーリエ級数の証明のための準備が相整いましたので、
さっそく、証明に入りたいと思います。

まず、何を証明するかってことですね(笑)

証明すべき命題
f(x) を区分的に滑らかな周期 2π の関数とする。

フーリエ係数
\[
a_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx
\tag{1}
\]
と定義すると、フーリエ級数
\[
S_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k=-n}^n a_k e^{ikx}
\tag{2}
\]
は、n → ∞ において、
\[
\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\]
に収束する。

f(x) が x で連続の場合は、上記は f(x) に等しくなる。

証明

(1)を(2)に代入して、証明したい式は、
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x') \sum_{k=-n}^n e^{ik(x-x')} dx'
\tag{3}
\]

変数変換 \(\xi = x-x' \) を行って、
さらに、2πの周期性から積分区間をずらすことが許されるので、
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-\xi) \sum_{k=-n}^n e^{ik\xi} d\xi
\tag{4}
\]

積分の中に、ディリクレ核が現れて、
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-\xi) D_n(\xi) d\xi
\tag{5}
\]

積分区間を[-π,0][0,π]に分割。
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^0 f(x-\xi) D_n(\xi) d\xi \\
+ \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi f(x-\xi) D_n(\xi) d\xi
\tag{6}
\]

これから、
\[
\Delta_n(x) \equiv S_n(x) - \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\tag{7}
\]
と定義して、これが n→∞ において、ゼロに収束することを示すことにする。

長くなってきたので、続きは次回。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2014/01/07 12:37

ディリクレ核

フーリエ級数を証明するために、もう一つ準備しておかなければならないものがディリクレ核

定義はこちら。
\[
D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx}
\tag{1}
\]

これは何者かというと、n→∞ でデルタ関数のように振る舞うもの。
つまり、
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} D_n(x) \sim 2\pi\delta(x)
\tag{2}
\]
というような感じ。
物理屋的センスでは、イコールでつないじゃってもいいんでしょうね。


ディリクレ核の性質を調べておきます。

性質1
x≠0 において、
\[
D_n(x) = \frac{\sin \left( n+\frac{1}{2}\right) x}{\sin \frac{x}{2}}
\tag{3}
\]

証明
初項 exp(-inx)、 公比 exp(ix) の等比級数の第 2n+1 項までの部分和だから、
\[
D_n(x) = e^{-inx} \frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}
\tag{4}
\]
分母分子に exp(-ix/2) を乗じて、
\[
D_n(x) = \frac{e^{i(n+1/2)x} - e^{-i(n+1/2)x}}{e^{ix/2} - e^{-ix/2}}
\tag{5}
\]
sinに置き換えればよい。
(証明終了)

性質2
\[
\int_{-\pi}^\pi D_n(x) dx = 2\pi
\tag{6}
\]

証明
\[
\int_{-\pi}^\pi D_n(x) dx = \sum_{k=-n}^n \int_{-\pi}^\pi e^{ikx} dx
\tag{7}
\]
k≠0 の項の積分値はすべて、exp(ikx)の2πの周期性より0。
k=0 の項のみが残り、積分値は2π。
(証明終了)

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2014/01/06 12:37

リーマン・ルベーグの補題 (2)

リーマン・ルベーグの補題の証明の続き。

前回は、「区分的になめらか」という条件をつけましたが、
フーリエ級数の証明には、「区分的に連続」という緩い条件で
証明しておかなくてはなりません。

今度は、微分可能という条件がなくなるので、ちょっと複雑になりますが、
頑張ってみます・・・

区分的に連続という条件での証明

証明したいのは、これ。
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{1}
\]

区分的に連続ということは、
有限個の連続区間の和で表せるので、連続区間 [a',b'] で証明できれば十分。
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{2}
\]

区間[a',b']を等間隔の n 個の区間 I1, ..., In に分割する。
\[
\int_{a'}^{b'} = \sum_{i=1}^n \int_{I_i}
\tag{3}
\]
各区間の下端を xi として、積分を次のように変形する。
\[
\int_{I_i} f(x)\sin \lambda x dx
= \int_{I_i} \{ f(x) - f(x_i) \} \sin \lambda x dx
+ \int_{I_i} f(x_i) \sin \lambda x dx
\tag{4}
\]

まずは第一項について考える。
f(x) は有界閉区間 [a', b'] で連続だから、一様連続である。
(ハイネ・カントールの定理、証明略)

「一様連続」とは、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
区間に入るすべての x, x' に対して、
\[
|x-x'| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon
\tag{5}
\]
が成立すること。
δが x によらないことが「一様」の意味。

余談:
一様連続という概念は、今回初めて知りました^^;
これ知らなかったので、ただの連続だけだと、どうもうまく証明できないなあと悩んでたのです。

証明を続けると・・・

上記より、f(x) は [a', b']の区間で一様連続だから、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
[a', b'] のすべての x, x' に対して、(5)式が成立するようにすることができる。

そのようなδよりも Ii の区間幅が狭くなるように分割数 n を設定する。
つまり、
\[
\frac{b'-a'}{n} < \delta
\tag{6}
\]
となるように、n を設定する。

すると、
\[
|f(x) - f(x_i)| < \varepsilon
\tag{7}
\]
となるから、第一項の和は、
\[
\begin{array}{l}
\sum_i \int_{I_i} \{ f(x) - f(x_i) \} \sin \lambda x dx \\
\leq \sum_i \int_{I_i} | f(x) - f(x_i) | |\sin \lambda x| dx \\
< \varepsilon (b'-a')
\end{array}
\tag{8}
\]

次に第2項の和について考える。積分を実行すると、
\[
\begin{array}{l}
\left|\sum_i \int_{I_i} f(x_i) \sin\lambda x dx \right| \\
= \left|\sum_i \frac{f(x_i)}{\lambda} \{ \cos \lambda x_i - \cos \lambda x_{i+1} \} \right| \\
\leq \sum_i \left|\frac{f(x_i)}{\lambda}\right| |\cos \lambda x_i - \cos \lambda x_{i+1}| \\
\leq \frac{2nM}{|\lambda|}
\end{array}
\tag{9}
\]
ここで、M は |f(xi)| の最大値。

というわけで、2つの項の寄与をまとめると、
\[
\left| \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx \right|
< \varepsilon(b'-a') + \frac{2nM}{|\lambda|}
\tag{10}
\]

ここで再び、任意の正数ε' を考えることにする。
\[
\varepsilon = \frac{\varepsilon'}{2(b'-a')} > 0
\]
として、εに対して、(5)式を満足するような δ が存在し、
(6)式を満たすように分割数 n を設定すると、(8)が得られ、
第一項は、ε' / 2  よりも小さくなる。

この上で、λを
\[
|\lambda| > 4nM/\varepsilon'
\]
となるように取ると、
第二項も ε' / 2 より小さくなる。

結果、
\[
\left| \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx \right|
< \varepsilon'/2 + \varepsilon'/2 = \varepsilon'
\tag{11}
\]
となり、題意は証明されたことになる。
(証明終了)

ふーっ、なんとかできた気はするのですが、
久しぶりに、ε-δ論法での証明をやると、頭が疲れますね・・・^^;

結局、証明で何をやってるかというと・・・
f(x) を細かな階段関数で近似してやって、
階段関数の部分(第二項)とその誤差部分(第一項)に分けています。
階段関数の部分は、それぞれの段で一定値なので積分ができて、
ゼロに収束します。
誤差部分は、連続性を利用して、段を細かくすることにより、
誤差が減っていき、こちらもゼロに収束します。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/27 15:20

リーマン・ルベーグの補題 (1)

フーリエ級数の証明に入るための準備をしていこうと思います。

まずは、リーマン・ルベーグの補題

区間 [a,b] で区分的に連続な関数 f(x) に対して、
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{1}
\]

証明の前に、まずはこの補題のイメージですが・・・

λを大きくしていくと、sin関数はどんどん急速に振動していく。

一方、f(x) は区分的に連続なので、途中に高々有限個の飛びしかないので、
それより細かく sin を振動させてしまえば、
その振動の間には、f(x) はほとんど変化しないため、
正負両方に出てくる面積は等しくなり、お互い打ち消しあって、
合計の面積は0になる。


フーリエ級数の証明に用いるには、「区分的に連続」という条件が必要なのですが、
その前に、簡単な「区分的になめらか」という条件で証明してみることにします。

区分的になめらかと仮定した場合の証明

区分的になめらかということは、
有限個のなめらか(連続微分可能)な区間における積分の和で表せるから、
各々の連続微分可能な区間で0に収束することを証明すればよい。

というわけで、区間 [a',b'] において、f(x) を連続微分可能として以下を証明する。
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{2}
\]

積分の部分は、f(x) が微分可能という条件より、部分積分が実行できる。
\[
\int f(x) \sin \lambda x dx
= - \frac{1}{\lambda} \left[ f(x) \cos\lambda x \right]
+ \frac{1}{\lambda} \int f'(x) \cos\lambda x dx
\]

条件から、f(x)、f'(x) は有界であるから、
この積分は、|λ|→∞ の極限で0に収束する。

(証明終了)

区分的になめらかを仮定した場合は、部分積分できるから、あっさりと証明できました。

区分的に連続の場合は、もう少し複雑になりますが、次回やってみたいと思います。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/17 12:51

フーリエ級数展開

続いて、フーリエ級数展開の式を導きます。

まず、区分的に滑らかで、2πの周期性を持つ関数
\[
f(x) = f(x+2\pi)
\tag{1}
\]
を考えます。

これが、フーリエ基底を用いて、無限級数で展開できると仮定します。
\[
f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty a_n u_n(x)
\tag{2}
\]
すなわち、
\[
f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{inx}
\tag{2'}
\]

ここで、フーリエ基底が完全系をなすかどうかは分からないし、
無限級数が収束するかどうかも現時点では分からないので、
あくまでも展開可能だと仮定しただけという意味で、
「=」ではなく、「~」を用いています。

次に、このフーリエ係数 an の具体的な形を求めていきます。

そのために、さらに、無限級数は項別積分可能であると仮定します。
この仮定は、発見法的に、係数の形を見つけるために用いるだけで、
最終的に、この展開係数で級数展開可能かどうかという証明には用いません。

つまり、とりあえず素性のよい関数の場合は、
どんな係数になるかというあたりを付けておこうという話です。

f(x) と un(x) の内積を取ると、項別積分可能性を用いて、
\[
(u_n, f) \sim \left(u_n, \sum_k a_k u_k \right) = \sum_k a_k (u_n, u_k)
\tag{3}
\]
となります。

前記事で、フーリエ基底は正規直交性を示すことを確認したので、
\[
(u_n, u_k) = \delta_{nk}
\tag{4}
\]
であるから、(3)式の右辺は、an となり、
結局、フーリエ係数は、
\[
a_n \sim (u_n, f) = \int_{-\pi}^\pi u_n^*(x) f(x) dx
\tag{5}
\]
すなわち、
\[
a_n \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx
\tag{5'}
\]
となることが分かります。

ただし、現時点では、これは上記の仮定が成立した場合の話。

そこで、今度は、フーリエ係数(5')を
\[
a_n \equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx
\tag{6}
\]
というように定義として考えて、これによるフーリエ級数
\[
S_n(x) = \sum_{k=-n}^n a_k u_k(x)
\tag{7}
\]
が$n\rightarrow \infty$の時に、
\[
S_n(x) \rightarrow \frac{1}{2}\{ f(x+0) + f(x-0) \}
\tag{8}
\]
に収束することを証明していくことにします。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/06 12:56

フーリエ基底

いもむしさんに有意義なコメントをいただいたおかげで、
フーリエ級数の論理の流れがだいぶ明確になってきましたので
さっそく、始めてみたいと思います。

とりあえず、フーリエ級数展開の基底について。

\[
u_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{inx}
\tag{1}
\]
で表される基底 { un } (n=0,±1,2,...,∞) が正規直交基底となることを確認します。

内積は、以下で定義します。
\[
( f, g ) = \int_{-\pi}^\pi f^*(x) g(x) dx
\tag{2}
\]

基底同士の内積を取ると、
\[
(u_m, u_n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(n-m)x} dx
\tag{3}
\]

m≠n ならば、
\[
( u_m, u_n )
= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{i(n-m)x}}{i(n-m)} \right]_{-\pi}^\pi
= 0
\]

m=n ならば、
\[
(u_m, u_n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi dx = 1
\]

以上より、
\[
(u_m, u_n) = \delta_{mn}
\tag{4}
\]
となり、正規直交性を示すことが分かります。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/05 12:53

フーリエ級数の証明手順

フーリエ級数が正しく元の関数を再現するという証明の手順が
おおよそ分かってきたので、まず、その流れを概観しておこうと思います。

まず、証明に入る前に、任意の周期的関数 f(x) を
フーリエ級数展開で表すところについて。

フーリエ基底が正規直交系をなすことを確認。

正規直交性から、フーリエ級数展開の係数を求めます。

この時、級数の項別積分をすることになるので、
一様収束性が前提されていなければならないのですが、
ここでは仮に前提しておいて、係数を求めます。

こうして、与えられたf(x)に対するフーリエ級数展開が求められます。

ここまでが証明以前の準備。
ここからが証明の本編。

仮に求めた係数を使ったフーリエ級数が元の関数に正しく収束するか
証明することになります。

元の関数としては、「区分的になめらか」という条件をつけます。
有限個の点で不連続であっても構わないが、
そこでの片側微分が発散しないという条件。

証明に必要な準備として・・・

区分的連続な関数に対して、リーマン・ルベーグの補題を証明。
ここが「区分的になめらか」でよければ少し楽なのですが、
フーリエ級数の証明に使うには、
「区分的に連続」という弱めの条件で証明しておくことが必要。

それから、ディリクレ核の概念を導入。
いくつかの性質を証明。
ディリクレ核は、級数の部分和の形をしていて、
N→∞でデルタ関数のふるまいをするようなもの。
つまり、積分値を一定に保ったまま、ピークが先鋭化していくというようなもの。

最後に、これらの準備をもとに、本丸である
元の関数からフーリエ級数を引き算したものがN→∞で、ゼロに収束する
ということを証明。

この時、元の関数に不連続点がある場合を考慮して、
\[
\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\]
に収束することを証明します。
(連続点においては、上記は明らかに、f(x)に等しい)

これが各点収束になるのか、
不連続点での値を上記のように置くことで、一様収束とみなせるのか、
そこのところは、まだよくわかりません・・・

いずれにせよ、初めに仮に係数を求めたときに、一様収束を仮定して求めましたが、
求めた係数から逆に収束することを証明できたので、
実際には一様収束でなくても、問題はないと思っています。

以上が証明の概観です。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(6) | 2013/12/02 22:36

フーリエ解析

どんどん話が変わりますが・・・

仕事では、日常的にフーリエ解析を使っています。

概略(イメージ)はきちんと理解してるつもりですし、
フーリエ変換の公式にも慣れて、道具のごとく使っているのですが、
今、仕事関連の知識を別ブログにまとめていて、悩んでしまいました。

というのも、せっかくなので、
フーリエ級数が正しく元の関数に収束するのかということを
数学的に厳密に考えてみようと思ったところ、
これが意外にもかなり手ごわいんです・・・汗

物理屋としては、デルタ関数なるものを登場させて、
いい加減にすませてしまえば、
(などと言っては、ディラク先生に怒られるかもしれませんが・・・笑)
すごく分かりやすいのですが、
x=0で無限大に発散してるにもかかわらず、連続関数っぽく描かれているあんな関数が
数学では許されるわけありません。
「超関数」という数学的扱いがあるようですが、それはさらに難しそうです。

そこで、数学では、デルタ関数のような概念は使わずに、
地道に収束性を証明していくんですが、これが結構、骨。

まずは、「区分的に連続」とか「区分的になめらか」とかいう条件を
きちんと考えなければならないこと。

そして、収束にも、「一様収束」、「各点収束」、「平均収束」という3種類があって、
どの条件の時に、どのタイプの収束性を持つのかということ。

まあ、物理をやる上では、ほとんどの場合、どうでもいいことなんですが(笑)、
気になってしまうと、どうしようもない性格なもので・・・^^;

とりあえず、いろいろな文献をあさって、
収束性の証明の目途はついてきたかなといったところです。

どんな条件の時に、どのタイプの収束をするかについては、
未だはっきりとは分かってません。

この機会に少しずつ、手順を追って、記事にしていきたいと思っています。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/11/30 00:25
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