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k^-2 の3D逆フーリエ変換

前記事で宿題にした
$k^{-2}$ の3D逆フーリエ変換の公式を証明しておきます。

\[
\frac{1}{(2\pi)^3} \int \frac{1}{k^2} e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} d^3k
= \frac{1}{4\pi r}
\tag{1}
\]


我流なので、正しいかどうかわかりませんし、もっと簡潔な証明があるかもしれません。

(証明)
k 空間での極座標を用いる。
極軸は任意に決められるから、r の方向を極軸に取ると、左辺の積分は\[
\int_0^\infty dk \int_0^\pi d\theta \frac{1}{k^2} e^{ikr\cos\theta} 2\pi k^2 \sin\theta
\tag{2}
\]となり、$\cos\theta = \xi$ とおくと、\[
2\pi \int_0^\infty dk \int_{-1}^1 d\xi e^{ikr\xi}
\tag{3}
\]と書き直せる。$\xi$ についての積分を実行して、\[
4\pi \int_0^\infty dk \frac{\sin kr}{kr}
\tag{4}
\]ここで、定積分の公式\[
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}
\tag{5}
\]を利用すると、(4) の値は $2\pi/r$ となり、
係数をつければ (1) を得る。
(証明終了)

結局、(5) の公式を証明しないと、単なる問題のすり替えですね(笑)

この公式は結構有名で、複素積分の留数定理を使えば示せるのですが、
少々面倒なので、また気が向いたときに書こうと思います^^;
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数学>公式 | コメント(0) | 2015/10/25 21:01

積分公式 ∫ x^n exp(-ax) dx

この記事で用いた積分公式の証明です。

公式
Re a > 0 とする。
\[
\int_0^\infty x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}
\tag{1}
\]

証明
部分積分を使うのも一案ですが、別の方法で証明してみます。

まずは、以下の積分を考える。
\[
\int_0^\infty e^{-ax} dx
= \left[\frac{e^{-ax}}{-a} \right]_0^\infty
= \frac{1}{a}
\tag{2}
\]
両辺を a で n 回微分する。
\[
\int_0^\infty (-x)^n e^{-ax} dx
= \frac{(-n)(-n+1)\cdots(-1)}{a^{n+1}}
\]
よって、
\[
(-1)^n \int_0^\infty x^n e^{-ax} dx
= (-1)^n \frac{n!}{a^{n+1}}
\]
となり、証明したい式が得られる。

(証明終了)


ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>公式 | コメント(0) | 2014/02/26 19:16

デルタ関数の公式 (1)

怒涛の更新ですね!(笑)

先ほどの静電場の記事で使用したデルタ関数の公式をさっそく証明しておきます。

\[
\nabla^2 \frac{1}{r} - -4\pi \delta({\bf r})
\]

証明と言っても、超関数なので、数学的に厳密な証明は僕には無理なので(汗)、
物理を理解する上で納得できる程度の証明という意味で・・・

原点以外(r≠0)では、左辺が 0 になる。

原点を中心とする任意の球体内で左辺を積分すると、-4π になる。

の2つを示したいと思います。

証明

これを示すには、ラプラシアンの球座標表示を使うと便利。
r のみに依存するので、rに関する微分の項のみを用いて、

\[
\nabla^2\frac{1}{r} = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}
\left[ r^2 \frac{\partial}{\partial r} \frac{1}{r} \right]
= 0
\]

半径 R の球体 VR(表面:SR)で積分する。

\[
\int_{V_R} \nabla^2 \frac{1}{r} d{\bf r} = \int_{V_R} \nabla\cdot\nabla \frac{1}{r} d{\bf r}
\]

ガウスの定理を用いて、体積積分を表面積分に変換し、
\[
\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\bf r}{r^3}
\]
を用いると、

\[
\int_{V_R} \nabla^2 \frac{1}{r} d{\bf r}
= \int_{S_R} \nabla \frac{1}{r} d{\bf S}
= - \int_{S_R} \frac{\bf r}{r^3}\cdot d{\bf S}
= -\frac{4\pi R^2}{R^2}
= -4\pi
\]

以上で、証明終了。
数学>公式 | コメント(0) | 2012/12/06 00:57
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