スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

定数係数の線形常微分方程式 (2) 山辺の方法

演算子法の話です。

実は正直、「演算子法」とか「記号的解法」とか呼ばれている方法が
どの方法のことをさしているのかよく分かってないのですが、
とりあえず、同次方程式の一般解非同次方程式の特解
分かればよいわけです。

で、同次の一般解については、前回の方法ですぐに計算できるので、
問題は、非同次の特解を求めることにかかっています。

特に、非同次の項が x に関する整式になっている場合、
最強の武器となるのがこの「山辺の方法」と呼ばれる方法!

山辺さんという方がどのような方かもとんと存じ上げないのですが、
この方法、あんまり、教科書にも載ってないんですよね・・・

大学の頃、友人が [1] の本を手にして、
「おい、この方法、すごいぜ!!!これがあれば何でも解けるよ!」
と興奮気味に教えてくれたのが印象に残っています(笑)
確かに、この方法、すごいと思うんですよね。

というわけで、記事にしたいのですが、その前に、演算子法について。

演算子法では、\[
\frac{d}{dx} = D
\tag{1}
\]と書くと約束する。

以前やった例題の式\[
y'' - 5y' + 4y = x^2
\tag{2}
\]は、\[
(D^2 - 5D + 4)y = x^2
\tag{3}
\]と書ける。
同次の一般解部分は、以前の記事のように、特性方程式を解けばすぐわかる。
つまり、解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + (非同次の特解)
\tag{4}
\]となる。
この非同次の特解を求めるのには、どうするか?
方程式 (3) を形式的に、\[
y = \frac{1}{D^2 - 5D + 4} x^2
\tag{5}
\]と変形する。

ここで、満を持して、その「山辺の方法」の登場!

筆算でこの割り算をバリバリとやってしまおうという素晴らしいアイデア(笑)

実際、これ割り算なんですよね!
「$D^2-5D+4$ という演算を掛ければ、$x^2$ になるようなものを探せ!」
というわけなので、$x^2$ を $D^2-5D+4$ で割ればよいわけです。

ただ、筆算を MathJax で書くというのが至難の業・・・^^;
\[
\begin{array}{ccccc}
& & \frac{1}{4}x^2& +\frac{5}{8}x & +\frac{21}{32} \\
& & --- & --- & --- \\
4-5D+D^2 & ) & x^2 & & \\
& & x^2 & -\frac{5}{2}x & +\frac{1}{2} \\
& & --- & --- & --- \\
& & & \frac{5}{2}x & -\frac{1}{2} \\
& & & \frac{5}{2}x & -\frac{25}{8} \\
& & & --- & --- \\
& & & & \frac{21}{8} \\
& & & & \frac{21}{8} \\
& & & & --- \\
& & & & 0
\end{array}
\]
なんとか書けた(笑)
Dの式を次数の逆順で書くのがポイント!
Dの定数項をもとに上に書く値を決めて、
(この例では、$x^2$ を 4 で割って、$x^2/4$ と上に書く)
あとは普通の筆算の割り算と同じように進めていきます。

割り算した答が求める特解になって、\[
y = \frac{1}{4}x^2 +\frac{5}{8}x + \frac{21}{32}\\
= \frac{1}{32} ( 8x^2 + 20 x + 21 )
\tag{6}
\]
(4) に入れると、求める一般解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + \frac{1}{32} ( 8x^2 + 20 x + 21 )
\tag{7}
\]となり、以前の答とちゃんと一致することが確かめられます。
以前の方法よりもだいぶ楽ですね!

参考文献
[1] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
スポンサーサイト
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/11/20 12:56

定数係数の線形常微分方程式

係数が定数の場合の微分方程式を考えます。
同次方程式の一般解非同次方程式の特解を求めればよい。
まず、同次方程式
\[
y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = 0
\tag{1}
\]を考える($a_k$ はすべて定数)。
$y = e^{\lambda x}$ とおくと、\[
\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n = 0
\tag{2}
\]という特性方程式が得られる。
これを解いて、重根がなければ、線形独立な n 個の解が得られ、一般解は\[
y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} + \cdots + c_n e^{\lambda_n x}
\tag{3}
\]となる。

重根があった場合は、どうするか?
$\lambda$ が m 重根であったとすると、
$e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}, \cdots, x^{m-1}e^{\lambda x}$ が m 個の線形独立な解となる。

証明\[
y = x^k e^{\lambda x} = \frac{\partial^k}{\partial \lambda^k} ( e^{\lambda x} )
\hspace{2cm} (k = 0, 1, \cdots, m-1)
\tag{4}
\]を同次方程式 (1) に代入すると、(1) の左辺は、\[
\begin{array}{l}
y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y \\
= \frac{\partial^k}{\partial \lambda^k} \left[\left\{
\frac{\partial^n}{\partial x^n} + a_1\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} + \cdots \right\}
e^{\lambda x} \right] \\
= \frac{\partial^k}{\partial \lambda^k} \left[ (\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n)
e^{\lambda x} \right] \\
= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{\partial^i}{\partial \lambda^i}
(\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n)
\frac{\partial^{k-i}}{\partial \lambda^{k-i}} (e^{\lambda x})
\end{array}
\]となる。
上記 $\lambda$ の多項式は、m 重根であれば、m-1階微分まではゼロであるから、
この式はゼロとなる。
(証明終了)

[1]に掲載されている証明ですが、なかなかエレガントですね!
騙されたような気になるので、もっと愚直に証明できないものかと思ったのですが、
難しそうです・・・orz

簡単な例をひとつ。
\[
y''' + y'' - y' - y = 0
\tag{5}
\]
特性方程式は、\[
\lambda^3 + \lambda^2 - \lambda - 1 = (\lambda - 1)(\lambda + 1)^2 = 0
\tag{6}
\]となり、根は、$\lambda = 1$ と$\lambda = -1$ (2重根)。
よって、一般解は\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x}
\tag{7}
\]
自作の例題だから、合っているかどうか心配なので、一応、Maxima で検算してあります^^;


参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/20 00:00

二階線形常微分方程式 (5)

続いて、同次方程式の2つの基本解から、非同次の特解を求める例題。
やはり、文献[1]から。
\[
y'' - 5y' + 4y = x^2
\tag{1}
\]
定数係数なので、演算子法を使った方が楽なのですが、
まずは、一般的な方法の練習として、やってみます。
後ほど、演算子法でも同じ問題をやってみたいですね。

同次方程式の解を $y = e^{\lambda x}$ とおいて、\[
\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0
\tag{2}
\]より、$\lambda = 1$ または$\lambda = 4$ となり、
2つの基本解は、\[
y_1 = e^x \\
y_2 = e^{4x}
\tag{3}
\]となる。
ロンスキー行列式は、\[
W = y_1y_2' - y_2y_1' = 3e^{5x} \neq 0
\tag{4}
\]
係数を求める。
\[
a_1 = {\Large \int} \frac{ -x^2 e^{4x}}{3e^{5x}} dx
= \frac{1}{3} (x^2 + 2x + 2) e^{-x}
\tag{5.1}
\]\[
a_2 = {\Large \int} \frac{x^2 e^x}{3e^{5x}} dx
= -\frac{1}{96} (8x^2 + 4x + 1) e^{-4x}
\tag{5.2}
\]特解は、\[
y = a_1 y_1 + a_2 y_2
= \frac{1}{32} (8x^2 + 20x + 21)
\tag{6}
\]となり、一般解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + \frac{1}{32} (8x^2 + 20x + 21)
\tag{7}
\]となる。

参考文献
[1] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/03 12:34

二階線形常微分方程式 (4)

一般論ばかりになりすぎて、そろそろ例が欲しいところ(笑)

[1]の演習書は、例題が多数載っているので、そこから例題を持ってきて、
解いてみようかと思います。
\[
x^2 y'' - x(x+2 )y' + (x+2) y = x^4 e^x
\tag{1}
\]
同次方程式の基本解として、$y = x$ がある。
(この最初の一撃は、思いつくしかないんでしょうね・・・^^;)

そこで、非同次方程式 (1) の解を \[
y = vx
\tag{2}
\] とおく。\[
y' = v'x + v
\tag{3.1}
\]\[
y'' = v''x + 2v'
\tag{3.2}
\]を (1) に代入。\[
x^2 (v''x + 2v') - x(x+2)(v'x + v) + (x+2)vx = x^4 e^x
\]整理して、\[
v'' - v' = xe^x
\tag{4}
\]$v'$ に関する一階線形微分方程式だから、\[
v' = \left[
\int xe^x e^{-x} dx + C_1
\right]
e^x \\
= \frac{x^2}{2}e^x + C_1 e^x
\tag{5}
\]と解ける。
さらに積分して、v が求まる。\[
v = \int \left( \frac{x^2}{2}e^x + C_1 e^x \right) dx + C_2 \\
= \left(\frac{x^2}{2} - x + 1 \right) e^x + C_1 e^x + C_2 \\
= \left(\frac{x^2}{2} - x \right) e^x + C_1' e^x + C_2
\tag{6}
\]
これを (2) に代入して、求める解は、\[
y = c_1 xe^x + c_2 x + \frac{x^3}{2} e^x - x^2 e^x
\tag{7}
\]

参考文献
[1] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/02 12:21

二階線形常微分方程式 (3)

同次方程式の2つの基本解が分かると、非同次方程式の特解が求められる。

同次方程式の基本解を $y_1$, $y_2$ として、
定数変化法を用いて、特解を求める。
まずは、\[
y = c_1(x) y_1 + c_2(x) y_2
\tag{1}
\]とおく。微分すると、\[
y' = c_1'y_1 + c_2'y_2 + c_1y_1' + c_2 y_2'
\tag{2}
\]ここで、$c_1$、$c_2$ に\[
c_1'y_1 + c_2'y_2 = 0
\tag{3}
\]という条件を課すことにすると、
\[
y' = c_1y_1' + c_2 y_2'
\tag{4}
\]\[
y'' = c_1'y_1' + c_2'y_2' + c_1y_1'' + c_2y_2''
\tag{5}
\]となる。
(1)、(4)、(5) を非同次方程式\[
y'' + py' + qy = r
\tag{6}
\]に代入すると、$c_1$, $c_2$ の項は消えて、\[
c_1'y_1' + c_2'y_2' = r
\tag{7}
\]が得られる。

結局、$c_1$、$c_2$ は (3) と (7) を満たさなければならないから、
この連立方程式を $c_1'$、$c_2'$ について解けばよい。\[
c_1'y_1 + c_2'y_2 = 0
\tag{8.1}
\]\[
c_1'y_1' + c_2'y_2' = r
\tag{8.2}
\]ここで、基本解の線形独立性から、行列式はゼロではないから、解くことができる。
解いたのち、積分すると、以下のように係数が求められる。
\[
c_1 = {\Large \int} \frac{-r y_2}{y_1 y_2' - y_2 y_1'} dx
\tag{9.1}
\]\[
c_2 = {\Large \int} \frac{r y_1}{y_1 y_2' - y_2 y_1'} dx
\tag{9.2}
\]
以上から特解が求められる。

参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/01 12:56

二階線形常微分方程式 (2)

同次方程式の一つの解 $y_1$ が分かると、もう一つの解 $y_2$ が求められる。
第二の解を\[
y = y_1 v
\tag{1}
\]とおくと、
\[
y' = y_1'v + y_1v'
\tag{2}
\]\[
y'' = y_1''v + 2y_1'v' + y_1v''
\tag{3}
\]同次方程式に代入して、\[
y_1''v + 2y_1'v' + y_1v'' + p(y_1'v + y_1v') + qy_1v = 0
\]$v$ について整理すると、
\[
y_1v'' + (py_1+2y_1')v' + (y_1''+py_1'+qy_1)v = 0
\tag{4}
\]$y_1$ は解だから、上式の $v$ の項は消えて、\[
y_1v'' + (py_1+2y_1')v' = 0
\tag{5}
\]となる。
この式は、$v'$ に関する一階線形微分方程式であるから、こちらの方法で解ける。
解いたのち、積分すれば、$v$ を得る。

追記(10/2)
参考文献[2]を見ていたら、
同次方程式の一つの基本解 $y_1$ が分かれば、もう一つの基本解どころか、
非同次方程式の特解まで求められちゃうんですね。

考えてみたら当然のことで、(1) を同次方程式に代入する代わりに、
直接、非同次方程式に代入してしまえばいいわけですね。
すると、(5) の代わりに、\[
y_1v'' + (py_1+2y_1')v' = r
\tag{6}
\]となり、いずれにせよ、同じ方法で解けるということになります。

参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
[2] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/01 12:35

二階線形常微分方程式 (1)

次は、二階の線形常微分方程式
\[
y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)
\tag{1}
\]
ある特解 $y_0$ が分かっているとして、
$y = y_0 + z$ で z に変数変換すると、(1 )は、\[
z'' + pz' + qz = 0
\tag{2}
\]となり、z は同次方程式の解である。
つまり、(1) の一般解は、
同次方程式の一般解 + 非同次方程式の特解で表すことができる。

というわけで、まずは、同次方程式について考える。
\[
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
\tag{3}
\]2つの線形独立な特解(基本解と呼ぶ) $y_1(x)$, $y_2(x)$ が分かっているとすると、
その任意定数による線形結合\[
y = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)
\tag{4}
\]は、同次方程式の一般解である。

実際、初期条件 $x=x_0$ において、$y=y_0$, $y' = y'_0$ を満たす解 $y(x)$ があったとすれば、
必ず、(4)の形で表されることを以下に示す。

$x=x_0$ において、\[
c_1 y_1(x_0) + c_2 y_2(x_0) = y_0
\tag{5.1}
\]\[
c_1 y'_1(x_0) + c_2 y'_2(x_0) = y'_0
\tag{5.2}
\]となる $c_1$、$c_2$ が存在することを確かめる。
ロンスキー行列式\[
W(x) \equiv \left|
\begin{array}{cc}
y_1(x) & y_2(x) \\
y'_1(x) & y'_2(x)
\end{array}
\right|
\tag{6}
\]を定義すると、$W(x_0) \neq 0$ を示せばよい。

$y_1$、$y_2$が同次方程式の解であることから、\[
y''_1 + py'_1 + qy_1 = 0
\tag{7.1}
\]\[
y''_2 + py'_2 + qy_2 = 0
\tag{7.2}
\]
第一式に$y_2$、第二式に$y_1$を乗じて、引き算すると、\[
y_1 y_2'' - y_2 y_1'' + p( y_1 y_2' - y_2 y_1') = 0
\tag{8}
\]より、\[
\frac{dW}{dx} + pW = 0
\tag{9}
\]となり、\[
W(x) = Ce^{-\int p dx}
\tag{10}
\]
W は決してゼロにならないか、恒等的にゼロである。
恒等的に W = 0 であるとすると、\[
y_1 y'_2 - y_2 y'_1 = 0
\tag{11}
\]より、$y_1 = cy_2$ と表されることが分かり、線形独立性に反するから、
結局、W は決してゼロにはならない。

よって、$W(x_0) \neq 0$ であり、
(5.1)(5.2)を満たす定数 $c_1$、$c_2$ の組は存在する。

このことは、この初期条件を満たしている解で
(4) の線形結合の形に書き表されるものが存在する
ことを意味する。

微分方程式の解の一意性より、
同一の初期条件を持つ2種類の解は存在しえないから、
このような解はすべて、(4) の形に書き表される。

結論:
同次方程式の一般解を求めるには、
2種の基本解(線形独立な解)を見つけて、任意定数による線形結合で表せばよい。


参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
[2] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/28 22:59

一階線形常微分方程式

ほんとは、シュレディンガー方程式を解くために、ルジャンドル陪微分方程式を解くための
級数解法を勉強するのが目的でしたが、
微分方程式じたいの勉強に火がついてしまいました(笑)

というわけで、簡単なものから復習しています。

一階の線形常微分方程式
\[
y' + P(x) y = Q(x)
\tag{1}
\]
$Q = 0$ の場合の同次方程式
\[
y' + P(x) y = 0
\tag{2}
\]の解をまず考える。変数分離形だから容易に解けて、\[
y = C e^{-\int P(x) dx}
\tag{3}
\]
$Q\neq 0$ の非同次の場合の解を求めるためには、定数変化法を用いる。
Cを定数ではなく、関数 C(x) として、解を
\[
y = C(x) e^{-\int P(x) dx}
\tag{4}
\]とおき、微分方程式に代入。
\[
C'(x) e^{-\int P(x) dx} = Q(x)
\]となり、\[
C'(x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}
\tag{5}
\]
積分して、\[
C(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C_1
\tag{6}
\]
よって、(1) の解は、
\[
y = \left[
\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C_1
\right] e^{-\int P(x) dx}
\tag{7}
\]となる。
非同次方程式の一般解 = 同次方程式の一般解 + 非同次方程式の特解
となっている。

 
\[
y' -2y = e^x
\tag{8}
\]の解は、
\[
y = \left[ \int e^x e^{-2x} dx + C \right] e^{2x} \\
= Ce^{2x} - e^x
\tag{9}
\]
この場合は、Q(x) の形から類推して、特解を$y = Ae^x$ とおいて求めてもよい。
(8) に代入すると、$A - 2A = 1$ より $A = -1$。
\[
y = -e^x
\tag{10}
\]と、特解が求められる。同次方程式の一般解 $y = Ce^{2x}$ と合わせて、
一般解 (9) が得られる。

参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
[2] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)

数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/28 19:13

微分方程式の級数解法 (3)

次は、典型的な定数係数の2階微分方程式を級数解法で解くことができるか見てみたい。
\[
y'' - 3y' + 2y = 0
\tag{1}
\]
まずは、普通の解法。
解を $e^{\lambda x}$ とおいて、代入すると、\[
\lambda^2 -3\lambda + 2 = 0
\tag{2}
\]となり、$\lambda = 1$ または $\lambda = 2$ である。
よって、一般解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{2x}
\tag{3}
\]となる。

これを級数解法で解くことはできるんでしょうか?
いつものように、\[
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{4}
\]とおいて、\[
y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
= \sum_{n=0}^\infty (n+1) a_{n+1} x^n
\tag{5}
\]\[
y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}
= \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n
\tag{6}
\]を微分方程式 (1) に代入して、べきの係数をゼロとすると、\[
(n+2)(n+1) a_{n+2} - 3(n+1) a_{n+1} + 2 a_n = 0
\tag{7}
\]という漸化式が得られる。

しかし、この漸化式をどうやって解いたらよいものやら・・・???

こんな簡単な微分方程式が級数解法で解けない気もしないのですが・・・
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/25 13:08

微分方程式の級数解法 (2)

とりあえず、次は2階の場合の簡単な例を考えようかと思います。
\[
y'' = -k^2 y
\tag{1}
\]
簡単ですね・・・普通に解けば、\[
y = c_1 \cos kx + c_2 \sin kx
\tag{2}
\]これを級数解法で解けるでしょうか。
まず、\[
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{3}
\]とおいてみる。2回微分すると、
\[
y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
\tag{4}
\]\[
y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}
\tag{5}
\]となり、微分方程式 (1) に代入すると、\[
\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2} = -k^2 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{6}
\]前と同様に、x のべきを揃えて、係数を等値すると、\[
(n+2)(n+1)a_{n+2} = -k^2 a_n
\tag{7}
\]漸化式は、こんな風になる。\[
a_{n+2} = -\frac{k^2}{(n+2)(n+1)} a_n
\tag{8}
\]
よって、偶数項は $a_0$ によって決まり、奇数項は $a_1$ によって決まる。
$a_0 = c_1$ 、$a_1 = c_2$ とすると、
\[
a_{2n} = (-1)^n \frac{k^{2n}}{(2n)!} c_1
\tag{9.1}
\]\[
a_{2n+1} = (-1)^n \frac{k^{2n+1}}{(2n+1)!} c_2
\tag{9.2}
\]となり、\[
y = c_1 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(kx)^{2n}}{(2n)!}
+ c_2 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(kx)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
= c_1 \cos kx + c_2 \sin kx
\tag{10}
\]が得られ、やはり、(2) と同じ結果が得られることが分かりました。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/22 20:19
 | HOME | Next »

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。