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ネーターの定理 (2)

例1:並進対称性
デカルト座標系 x, y, z で考える。
ポテンシャル V が x によらないとすると(つまり、x 軸方向に力が働かない)、
ラグランジアンは\[
L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(y,z)
\tag{1}
\]となり、x 軸方向の無限小並進変換\[
x' = x + \varepsilon \\
y' = y \\
z' = z
\tag{2}
\]に対して不変である。
このとき、$S_x = 1$、$S_y = S_z = 0$ であるから、ネーターの保存量は、\[
X = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} S_x = m\dot{x} = p_x
\tag{3}
\]となり、運動量の x 成分の保存則が導かれる。

例2:平面内の回転対称性
平面内の極座標 r, θで考える。
ポテンシャルが θ によらない(つまり中心力場)と仮定すると、
ラグランジアンは、\[
L = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 ) - V(r)
\tag{4}
\]となり、無限小回転変換\[
r' = r\\
\theta' = \theta + \varepsilon
\tag{5}
\]に対して不変である。

$S_r = 0$、$S_\theta = 1$ だから、
ネーターの保存量は、\[
X = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} S_\theta = mr^2 \dot{\theta} = l
\tag{6}
\]となり、角運動量保存則が導かれる。

・・・と、ここまでは分かりやすいのですが、
時間も無限小変化させたバージョンのネーターの定理があって、
それが難しくて、理解できない。。。
でも、これが場の量子論には必要なようです。
(場の量子論は、基本的に4元形式で記述されるから・・・)

参考文献
[1] 大貫義郎 「解析力学」 (岩波物理テキストシリーズ)
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物理>古典力学 | コメント(0) | 2015/02/10 23:48

ネーターの定理 (1)

場の量子論の初歩を勉強していて、「ネーターカレント」なるものが出てきて、
よく分からなくなったので、まずは、古典力学の「ネーターの定理」をお勉強。

無限小の点変換\[
q'_r(t) = q_r(t) + \delta q_r(t)
\tag{1}
\]を行った時に、ラグランジアンが不変であるような場合を考える。

「ラグランジアンが不変」の意味は、$L(q, \dot{q}, t)$ が
そのまま L の関数形を変えずに、 $L(q', \dot{q'}, t)$ になるということ。

この時、ラグランジアンの変化は、\[
\delta L
= \frac{\partial L}{\partial q_r} \delta q_r
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta \dot{q}_r
\tag{2}
\]ただし、アインシュタイン表記を用いて、r についての和を取る。
第二項を変形して、\[
\delta L
= \left \{
\frac{\partial L}{\partial q_r} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \right \} \delta q_r
+ \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta q_r \right)
\tag{3}
\]{・・・}の部分は、実際の古典軌道であるならば、
オイラーラグランジュ方程式が満たされるので、ゼロとなる。
すなわち、\[
\delta L = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta q_r \right)
\tag{4}
\]ラグランジアンが不変であるから、$\delta L = 0$ より、\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta q_r \right) = 0
\tag{5}
\]無限小変換が無限小パラメータ ε を用いて、\[
\delta q_r = \varepsilon S_r(q, t)
\tag{6}
\]と表せるとすると、\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} S_r \right) = 0
\tag{7}
\]となり、\[
X \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} S_r
\tag{8}
\]で定義される量は、保存量となる。

つまり、ラグランジアンが不変となるような何らかの対称性があれば、
そこから保存則を導くことができる。


参考文献
[1] 大貫義郎 「解析力学」 (岩波物理テキストシリーズ)
物理>古典力学 | コメント(0) | 2015/02/10 23:10

正準変換 (4)

母関数が $F_3(p,Q,t)$ の場合、$F_4(p,P,t)$ の場合についても
同様に考えることができて、これら4パターンをまとめておきます。
ゴールドスタイン[1]に表にまとめられています。

$F_1(q,Q,t)$
\[
F = F_1(q,Q,t) \\
p = \frac{\partial F_1}{\partial q} \\
P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q}
\tag{1}
\]

$F_2(q,P,t)$
\[
F = F_2(q,P,t) - QP \\
p = \frac{\partial F_2}{\partial q} \\
Q = - \frac{\partial F_2}{\partial P}
\tag{2}
\]

$F_3(p,Q,t)$
\[
F = F_3(p,Q,t) + qp \\
q = -\frac{\partial F_3}{\partial p} \\
P = - \frac{\partial F_3}{\partial Q}
\tag{3}
\]

$F_4(p,P,t)$
\[
F = F_4(p,P,t) + qp - QP \\
q = -\frac{\partial F_4}{\partial p} \\
Q = \frac{\partial F_4}{\partial P}
\tag{4}
\]

[1] ゴールドスタイン「古典力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/14 13:11

正準変換 (3)

母関数が (q, Q, t) の関数以外のパターンでは、
ルジャンドル変換を行って、変数を変換すればよい。

たとえば、(q, P, t) の関数 F2 の場合は、
\[
F = F_2(q,P,t) - QP
\tag{1}
\]
とおく。
\[
\frac{dF}{dt} = p\dot{q} - P\dot{Q} - H + K
\tag{2}
\]
に代入すると、
\[
\frac{dF_2}{dt} = p\dot{q} + Q\dot{P} - H + K
\tag{3}
\]
となり、
\[
p = \frac{\partial F_2}{\partial q} \\
Q = \frac{\partial F_2}{\partial P} \\
K = H + \frac{\partial F_2}{\partial t}
\tag{4}
\]

このパターンの例としては、
$F_2 = qP$ とすると、恒等変換 $Q=q$, $P=p$, $K=H$ となる。

[1] ゴールドスタイン「古典力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/13 00:35

正準変換 (2)

一般的な正準変換の探し方について。

正準方程式を満たしているということは、
ハミルトン形式の変分原理
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} \{ p\dot{q} - H(q,p,t) \} dt = 0
\tag{1}
\]
を満たしているということである。

変換後も、変分原理
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} \{ P\dot{Q} - K(Q,P,t) \} dt = 0
\tag{2}
\]
を満たしていれば、正準変換である。

被積分関数(ラグランジアンの部分)は、
任意関数の時間に関する全微分の任意性があるから
(変分の端点固定の条件より、時間積分するとゼロになる)
F を任意関数として、
\[
p\dot{q} - H = P\dot{Q} - K + \frac{dF}{dt}
\tag{3}
\]
すなわち、
\[
\frac{dF}{dt} = p\dot{q} - P\dot{Q} - H + K
\tag{4}
\]
であればよい。

Fを q, Q, t の関数 F1
\[
F = F_1(q, Q, t)
\tag{5}
\]
とした場合、
\[
\frac{dF}{dt}
= \frac{\partial F_1}{\partial q}\dot{q}
+ \frac{\partial F_1}{\partial Q}\dot{Q}
+ \frac{\partial F_1}{\partial t}
\tag{6}
\]

(4) と (6) を比較して、
\[
p = \frac{\partial F_1}{\partial q} \\
P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q} \\
K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}
\tag{7}
\]
を満たしていれば、正準変換となる。

F1 は母関数と呼ばれる。
母関数を適当に設定して、この式を解いて、
新しい変数 P, Q について解けば正準変換が得られる。

例として、
\[
F_1 = qQ
\]
とすると、
\[
Q = p \\
P = -q \\
K = H
\]
となり、座標と運動量の交換が得られる。

[1] ランダウ・リフシッツ「力学」
[2] ゴールドスタイン「古典力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/12 18:07

正準変換 (1)

準備が整ったので、正準変換に入ります。

q と p を組み合わせて、
新しい2つの独立変数 Q と P に変換することを考える。
\[
Q = Q(q,p,t) \\
P = P(q,p,t)
\tag{1}
\]
この新しい2つの変数がなんらかの新しいハミルトニアン $K(Q,P,t)$ に対して、
正準方程式
\[
\dot{Q} = \frac{\partial K}{\partial P}
\tag{2.1}
\]\[
\dot{P} = -\frac{\partial K}{\partial Q}
\tag{2.2}
\]
を満たすならば、2つの変数 Q, P とハミルトニアン K を用いて、
運動を記述できる。
このような変換を正準変換と呼ぶ。

もっとも自明な正準変換は、恒等変換
\[
Q = q \\
P = p \\
K = H
\tag{3}
\]
で明らかに正準方程式 (2) を満たす。

次に、自明な正準変換は、座標と運動量の交換
\[
Q = p \\
P = -q \\
K = H
\tag{4}
\]
マイナスがついているのがミソで、これも新しい正準方程式 (2) を満たす。

次に、一般的に正準変換をどのように探すか見ていきます。

[1] ランダウ・リフシッツ「力学」
[2] ゴールドスタイン「古典力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/12 14:30

ハミルトン形式の変分原理

ようやく、量子力学の備忘録が一段落したので、
ずっと以前から宿題にしていた正準変換をやります。

そのための準備として、ハミルトン形式の変分原理について。

ラグランジュ形式では、変分原理にからオイラー・ラグランジュの方程式が導かれる。
同様に、正準方程式が導かれるような変分原理を探す。
簡単のために、座標は一変数で。

出発点は、ラグランジュ形式の変分原理(最小作用の原理)。
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt = 0
\tag{1}
\]

ハミルトン形式では、
\[
L = p\dot{q} - H(q, p, t)
\tag{2}
\]
を使って、ハミルトニアンに置き換えればよい。
\[
\delta \int_{t_1}^{t_2} \{ p\dot{q} - H(q,p,t) \} dt = 0
\tag{3}
\]
変形して、
\[
\int_{t_1}^{t_2} \left\{
\dot{q}\delta p + p\delta{\dot{q}}
- \frac{\partial H}{\partial q}\delta q
- \frac{\partial H}{\partial p}\delta p
\right\} dt = 0
\tag{4}
\]

ラグランジュ形式の時と同じく、端点固定の条件 $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$ を仮定すると、
$p\delta \dot{q}$ の項は部分積分で、$-\dot{p}\delta q$ に置き換えられて、
\[
\int_{t_1}^{t_2} \left\{
\left( \dot{q} - \frac{\partial H}{\partial p} \right) \delta p
- \left( \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial q} \right) \delta q
\right\} dt = 0
\tag{5}
\]

ハミルトン形式では、p と q を独立変数とみなすから、
独立に変分を行ったとき、(5)が成立する条件は、
\[
\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}
\tag{6.1}
\]\[
\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}
\tag{6.2}
\]
となり、正しく正準方程式が導かれることが確かめられた。

ここで、p と q は独立変数と考えているから、
端点固定の条件についても、 δp に関するものを加えておく。
\[
\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = \delta p(t_1) = \delta p(t_2) = 0
\tag{7}
\]

余計な条件を付け加えるようで、気持ち悪さがあるが、問題ではない。
というのも、この条件を加えても、変分原理 (3) から得られる式は変わらず、
正準方程式 (6) が得られるからである。
正準方程式が運動を支配している基本方程式なわけなので、
それが得られるならば、変分原理も正しい。


このあたりは、僕の理解ですが、
ゴールドスタイン[2]にはこの辺のjustificationが長文で丁寧に書かれていて、面白いです。
一方、ランダウ・リフシッツ[1]は、当然という感じにさらっと一言
「独立な変分量とみなす」と書かれているだけで、
このあたりの性格の違いもまた面白いです(笑)


[1] ランダウ・リフシッツ「力学」
[2] ゴールドスタイン「古典力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/04/12 00:26

隕石の威力

先日、ニュースで・・・
恐竜絶滅の原因が隕石衝突による酸性雨と海洋酸性化であることを
千葉工業大のチームが実験で確かめることに成功したと報道していました。

隕石落下による寒冷化が原因という説は昔から有名ですが、
隕石が落下したとされるユカタン半島の硫黄成分による
硫酸の酸性雨によって、海洋生物も死滅したという説のようです。
レーザーを使って、疑似的な環境を実験室で作り出して、確かめたようですね。

非常に興味深いニュースですね。
詳しくは、千葉工大のプレスリリース[1]を参照。

で、そのニュースでは、
隕石の衝突によるエネルギーは原爆の10億倍と言っていて、
そんなに莫大なエネルギーなのかと驚きました。
(はじめ、16倍と聞き違えておりましたが・・・^^;)

というわけで、簡単に計算できそうなので、計算してみました。

隕石の直径は d = 10 (km) 半径は r = 5 (km)
落下速度は v = 20 (km/s)

隕石の密度は、参考文献[2]のサイトによると、
隕石の種類によって、4 g/cm3 か 8 g/cm3 程度だそうです。
ユカタン半島に落ちた隕石の材質は分からないので、
とりあえずは、ρ = 4 (g/cm3) としておきます。

これをもとに、隕石の質量を計算すると、
\[
m = \frac{4\pi}{3}r^3\rho \simeq 2 \times 10^{15} ({\rm kg})
\]

運動エネルギーは、
\[
E = \frac{m}{2}v^2 = 10^{23} ({\rm J})
\]

一方、参考文献[3]によると、
広島の原爆で 55 TJ、長崎の原爆で 84 TJ ですから、
オーダーとして、100 TJ = 1014 J とすると、
隕石のエネルギーは、原爆の 109倍、すなわち10億倍。

なるほど・・・
そんなに莫大なエネルギーだったのですね。
それならば、生物が絶滅してもおかしくないですね・・・


参考文献
[1] 千葉工業大 プレスリリース
http://www.it-chiba.ac.jp/topics/press24.pdf
[2] 流星物理教室
http://www5e.biglobe.ne.jp/~shibaya/fireballs/physics/dencity.htm
[3] エネルギーの比較 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/03/16 16:50

電磁場中の荷電粒子の正準運動量

電磁場中の荷電粒子の正準運動量
\[
{\bf p} = m{\bf v} + \frac{e}{c}{\bf A}
\tag{1}
\]
の物理的意味について考察します。

完全に我流な解釈なので、ご注意ください!

一見、eA/c という妙な付加項がついていて、何だろう?と思うのですが、
電磁場が空間的に一様である場合を仮定すると、
意味が分かりやすくなります。

すなわち、静電場は存在しないとして、
さらに、磁場も存在しないとします。

通常の強度の電磁波で、通常の速度の電荷が磁場から受ける力は弱く、
さらに、長波長の電磁波だと、空間的な電場の変化も無視できるので、
わりと妥当な想定だと思われます。

電磁場が一様であると仮定して、EL方程式を立ててみると、
\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = m\frac{d{\bf v}}{dt} + \frac{e}{c}\frac{d{\bf A}}{dt} = 0
\tag{2}
\]
ここで、
\[
\frac{d\bf A}{dt} = \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{3}
\]
だから、(2)式は、
\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = m\frac{d{\bf v}}{dt} - e{\bf E} = 0
\tag{4}
\]
となります。この電場の項を右辺に移せば、
\[
m\frac{d{\bf v}}{dt} = e{\bf E}
\tag{5}
\]
単純に、電場から力を受けている状態を示す運動方程式ですね。

つまり、(4)式は、
「電場の影響を織り込んだ運動量」が
電場以外の外力がないため、保存している

という様子を表しているように読めます。

ここでいう正準運動量とは、
「電場の効果が織り込まれた運動量」のようなイメージになりそうです。

もちろん、「正準運動量」という概念は、正準変換や正準量子化との関係で
もっと深い抽象的な概念であることは承知していますが、
今回のケース限定では、具体的にこういうイメージを持つとイメージしやすいかなと思っています。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/02/26 12:29

電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン

前回のラグランジアンからハミルトニアンを作っていきます。

ラグランジアンからハミルトニアンを作るには、
こちらの記事でみたとおり、
\[
H = {\bf p}\cdot{\bf v} - L
\tag{1}
\]
とすればよい。

ラグランジアンは、
\[
L = \frac{m}{2}{\bf v}^2 - e\phi + \frac{e}{c}{\bf v}\cdot{\bf A}
\tag{2}
\]

一般化運動量は、
\[
{\bf p} = m{\bf v} + \frac{e}{c}{\bf A}
\tag{3}
\]
これを v について逆に解いて、
\[
{\bf v} = \frac{1}{m}\left( {\bf p} - \frac{e}{c}{\bf A} \right)
\tag{4}
\]
(2)と(4)を(1)に代入して、整理すると、ハミルトニアンの表式ができあがる。
\[
H = \frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi
\tag{5}
\]

このハミルトニアンに、再び(4)を代入してみると、
\[
H = \frac{m}{2}{\bf v}^2 + e\phi
\tag{6}
\]
となるから、期待通り、
「運動エネルギー+位置エネルギー」となっていることが分かる。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/02/26 00:48
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