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近傍

近傍(定義)
S の点 x が $V (\subset S)$ の内点である時、
つまり、$x \in V^\circ$ である時、V は x の近傍であるという。
$x \in O, O \subset V$ なる開集合 O が存在することと同等である。

開近傍(定義)
開集合である近傍。
点 x を含む開集合はすべて x の開近傍である。

近傍系(定義)
近傍全体の集合系。
x の近傍系を ${\bf V}(x)$ と書くと、$V \in {\bf V}(x) \Leftrightarrow x \in V^\circ$


近傍系の性質

(1) $V \in {\bf V}(x)$ ならば $x \in V$
(2) $V \in {\bf V}(x), V \subset V'$ ならば $V' \in {\bf V}(x)$
(3) $V_1 \in {\bf V}(x), V_2 \in {\bf V}(x)$ ならば $V_1 \cap V_2 \in {\bf V}(x)$
(4) 任意の $V \in {\bf V}(x)$ に対して、以下を満たす $W \in {\bf V}(x)$ が存在。
   W の任意の点 y に対して、$V \in {\bf V}(y)$


(証明概略)
(1) $x \in V^\circ \subset V$
(2) $x \in V^\circ \subset {V'}^\circ$
(3) $x \in V_1^\circ \cap V_2^\circ = (V_1\cap V_2)^\circ$
(4) $x \in V^\circ$ より $W = V^\circ$ とすれば、W は開集合だから、x の近傍であり、
W の任意の点 y に対して $y \in W = V^\circ$
(証明終)

逆に、各点 x において、上記4つの性質を満たすような部分集合系 ${\bf V}(x)$ があれば、
ある位相 $\mathfrak{O}$ を導入して、それによる近傍系と一致させることができる。
このような位相は一意的に決まる。

これにより、開集合系を与える代わりに、
近傍系を与えても位相構造を定めることができる。


(証明略)


参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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位相空間 | コメント(0) | 2015/11/25 07:14

点の分類

内点(定義)
内部(開核)に属する点。

触点(定義)
閉包に属する点。

外部(定義)
補集合の内部(開核)。つまり、$M^{ci}$ のこと。
ここでは、$M^e$ と書くことにする。

外点(定義)
外部に属する点。

境界(定義)
閉包から内部を除いた部分。つまり、$\bar{M} - M^\circ$ のこと。
ここでは、$M^f$ と書くことにする。

境界点(定義)
境界に属する点。


位相空間全体は、内部と境界と外部に直和分割される。\[
S = M^\circ \cup M^f \cup M^e (直和)\]


(証明概略)
境界の定義より、閉包は内部と境界の直和である。
$M^{ac} = M^{ci} = M^e$ より位相空間全体は閉包と外部の直和である。
(証明終)

集積点(定義)
$M-\{ x \}$ の触点となるような点 $x \in S$ のこと。 $x \in \overline{M-\{ x \}}$
$x \not\in M$ ならば、「M の触点である」ことと同等。

孤立点(定義)
集合に属する点であって、その集積点ではない点。
$x \in M, x \not\in \overline{M-\{ x \}}$



参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
位相空間 | コメント(0) | 2015/11/24 20:30

閉包作用子

閉包作用子(定義)

S の部分集合 M にその閉包 $\bar{M}$ を対応させる写像を閉包作用子と呼ぶ。


閉包作用子の性質

(1) $\bar{\phi} = \phi$
(2) $\bar{M} \supset M$
(3) $\overline{M \cup N} = \bar{M} \cup \bar{N}$
(4) $\bar{\bar{M}} = \bar{M}$


(証明概略)
松坂 [1] では、$M^{ca} = M^{ic}$ を用いて、開核の性質から導いているのですが、
ここでは我流で、閉包の定義に基づいた証明を試みることにします。

(1) $\phi$ は閉集合である。
(2) 閉包の定義から。
(3) $M \cup N$ に対して、$\bar{M} \cup \bar{N}$ がその閉包となることを確かめる。
$M \subset \bar{M}$、$N \subset \bar{N}$ より $M \cup N \subset \bar{M} \cup \bar{N}$。
$\bar{M}$、$\bar{N}$ は閉集合であるから、$\bar{M} \cup \bar{N}$ は閉集合。
A を $M \cup N$ を含む任意の閉集合とすると、
$M \subset A$ より $\bar{M} \subset A$。
$N \subset A$ より $\bar{N} \subset A$。
よって、$\bar{M} \cup \bar{N} \subset A$。
以上より、$\bar{M} \cup \bar{N}$ が $M \cup N$ の閉包であることが示される。
(4) $\bar{M}$ は閉集合である。
(証明終)

逆に、上記4つの性質を満たす写像があれば、
ある位相 $\mathfrak{O}$ を導入して、その閉包作用子と一致させることができる。
このような位相は一意的に決まる。

これにより、開集合系を与える代わりに、
閉包作用子を与えても位相構造を定めることができる。


(証明略)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
位相空間 | コメント(0) | 2015/11/22 22:05

閉集合・閉包

閉集合(定義)

位相空間 S において、開集合の補集合を閉集合と呼ぶ。


閉集合の性質

(A1) S 自身と空集合 $\phi$ は閉集合である。
(A2) 有限個の閉集合の和集合は閉集合である。
(A3) 閉集合からなる集合族(無限個でもよい)の共通部分は閉集合である。


(証明概略)
すべて、開集合の定義からド・モルガンの法則を用いて得られる。(証明終)

逆に、閉集合を上記で定義すると、開集合の定義の3要件を導くことができるので、
閉集合を用いても、位相を導入することができる。

閉包 (触集合)(定義)

位相空間 S の任意の部分集合 M に対して、
M に含まれる閉集合全体の共通部分を M の閉包(触集合) と呼び、
$\bar{M}$ または $M^a$ と書く。
M を含む最小の閉集合とも表現できる。

すなわち、閉集合系を $\mathfrak{A}$ とすると、以下の条件を満たす集合である。
(1) $M \subset \bar{M}$
(2) $\bar{M} \in \mathfrak{A}$
(3) $M \subset A, A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \bar{M} \subset A$


閉包と開核の関係

$\bar{M^c} = (M^\circ)^c$ または、 $M^{ca} = M^{ic}$


(証明概略)
$(M^\circ)^c$ が上記の閉包の3条件を満たすことを示す。
(1) $M^\circ \subset M$ より $(M^\circ)^c \supset M^c$。
(2) $M^\circ$ は開集合であるから、$(M^\circ)^c$ は閉集合。
(3) $M^c$ を含む任意の閉集合を A とすれば、
$A^c$ は M に含まれる開集合となるから、 $A^c \subset M^\circ$
よって、$A \supset (M^\circ)^c$。
(証明終)

(1) $M^{cac} = M^i$
(2) $M^a = M^{cic}$
(3) $M^{ac} = M^{ci}$


(証明概略)
(1) $M^{ca} = M^{ic}$ の補集合を取る。
(2) $M^{ca} = M^{ic}$ の M に $M^c$ を入れる。
(3) (2) の補集合を取る。
(証明終)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
位相空間 | コメント(0) | 2015/11/21 00:14

開核作用子

開核作用子(定義)

S の部分集合 M にその開核 $M^\circ$ を対応させる写像を開核作用子と呼ぶ。


開核作用子の性質

(1) $S^\circ = S$
(2) $M^\circ \subset M$
(3) $(M \cap N)^\circ = M^\circ \cap N^\circ$
(4) $M^{\circ\circ} = M^\circ$


(証明概略)
(1) S は開集合である。
(2) 開核の定義から。
(3) $M\cap N$ に対して、$M^\circ \cap N^\circ$ がその開核になることを確かめる。
まず、$M^\circ \subset M$、$N^\circ \subset N$ より $M^\circ \cap N^\circ \subset M\cap N$。
$M^\circ$、$N^\circ$ ともに開集合であるから、$M^\circ \cap N^\circ$ も開集合。
$O \subset M \cap N$ なる任意の開集合 O を考えると、
$O \subset M$ より $O \subset M^\circ$、 $O \subset N$ より $O \subset N^\circ$。
よって、$O \subset M^\circ \cap N^\circ$。
(4) 開核の定義から $M^\circ$ は開集合である。
(証明終了)

逆に、上記4つの性質を満たす写像があれば、
ある位相 $\mathfrak{O}$ を導入して、その開核作用子と一致させることができる。
このような位相は一意的に決まる。

これにより、開集合系を与える代わりに、
開核作用子を与えても位相構造を定めることができる。


証明は理解できましたが、長いので省略します。
(また気が向けば書くかもしれません)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
位相空間 | コメント(0) | 2015/11/17 20:09

位相空間

ユークリッド空間 $R^n$ でのウォーミングアップを終えて、
いよいよ一般の位相空間に入ります!

$R^n$ での開集合の性質を抽出しておいて、
逆にその性質から一般的な「開集合」を定義して、
それを使って、「位相」なるものを定義するという論理。
なるほど、考えましたね!って感じですね。
脳みそ使いまくりますが、面白いです。

まず初めに定義をいろいろ。

位相空間(定義)

集合 S (空でない)の部分集合系 $\mathfrak{O}$ が以下の3条件を満たすとき、
$\mathfrak{O}$ は S に1つの位相構造を定めるという。
$\mathfrak{O}$ は S の1つの位相であるという。
$(S,\mathfrak{O})$ を位相空間と呼ぶ(略して、単に S とも書く)。
S を位相空間の台(台集合)という。

(O1) S 自身と空集合 $\phi$ は $\mathfrak{O}$ に属する。
(O2) $\mathfrak{O}$ の有限個の元の共通部分は$\mathfrak{O}$ に属する。
(O3) $\mathfrak{O}$ の元からなる集合族(無限でもよい)の和集合は $\mathfrak{O}$ に属する。


開集合(定義)

位相空間 $(S,\mathfrak{O})$ に対して、$\mathfrak{O}$ に属する集合を S の開集合と呼ぶ。


開核(内部)(定義)

位相空間 S の任意の部分集合 M に対して、
M に含まれる開集合全体の和集合を M の開核(内部) と呼び、
$M^\circ$ または $M^i$ と書く。
M に含まれる最大の開集合とも表現できる。

すなわち、以下の条件を満たすような集合である。
(1) $M^\circ \subset M$
(2) $M^\circ \in \mathfrak{O}$
(3) $O \subset M, O \in \mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^\circ$


開核の性質

(1) $M \in \mathfrak{O} \Leftrightarrow M^\circ = M$
(2) $M \subset N \Rightarrow M^\circ \subset N^\circ$


(証明概略)
(1) M が開集合であれば、M は M に含まれる最大の開集合である。
逆に、M が M の開核であれば、開核の定義より M は開集合である。
(2) M に含まれる最大の開集合は N にも含まれるので、
N に含まれる最大の開集合に含まれる。
(証明終了)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
位相空間 | コメント(0) | 2015/11/14 21:14

開核・閉包の特徴づけ

また、多様体の本が読みたくなり、再び位相を始めました。
まだ、位相空間を導入する準備として、
n 次元ユークリッド空間 $R^n$ を考えているところです。

開核、閉包は以下のように特徴づけることができる。

$M \subset R^n$ とすると、
(1) 開核 $M^\circ$ は M に含まれる最大の開集合である。
(2) 閉包 $\bar{M}$ は M を含む最小の閉集合である。


(証明概略)
(1) まず、任意の $N_1, N_2 \subset R^n$ に対して、以下が成立することを確認しておく。\[
N_1 \subset N_2 \Rightarrow N_1^\circ \subset N_2^\circ
\tag{1}
\]なぜなら、$N_1^\circ$ の任意の点 a は、$U(a,\varepsilon) \subset N_1 \subset N_2$ より $N_2$ の内点でもあるから。

$M^\circ$ の点は M の内点であるから、明らかに $M^\circ$ は M に含まれる。

$M^\circ$ の任意の点 a は M の内点であるから、$U(a,\varepsilon) \subset M$。
式 (1) より $U(a,\varepsilon)^\circ \subset M^\circ$ であるが、U は開集合であるから、
$U(a,\varepsilon) \subset M^\circ$ となり、a は $M^\circ$ の内点である。
すなわち、$M^\circ$ は開集合である。

また、M に含まれる任意の開集合 $N \subset M$ に対して、式 (1) より
$N = N^\circ \subset M^\circ$ である。

(2) $\bar{M}$ は $M^\circ$ の補集合であるから、(1) より
M を含む最小の閉集合である。
(証明終了)


参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
ユークリッド空間 | コメント(0) | 2015/11/12 00:23

開集合・閉集合の性質

集合 M の内部は、補集合 $M^c$ にとっての外部であり、
集合 M の外部は、補集合 $M^c$ にとっての内部であり、
$R^n$ は、内部・外部・境界で直和分割されているから、

集合 M の境界は、補集合 $M^c$ にとっての境界でもある。

このことに注意すると、以下のことがほぼ自明に分かる。

(1) 開集合の補集合は、閉集合である。
なぜなら、開集合は内部だけからなるので、補集合は外部と境界。

(2) 閉集合の補集合は、開集合である。
なぜなら、閉集合は内部と境界からなるので、補集合は外部のみ。

開集合系(定義)
$R^n$ の開集合全体の集合。
$\mathfrak{O}(R^n)$ (以下、略して$\mathfrak{O}$)で表す。

閉集合系(定義)
$R^n$ の閉集合全体の集合。
$\mathfrak{A}(R^n)$ (以下、略して$\mathfrak{A}$)で表す。

開集合の性質
(1) $R^n$、$\phi$ は開集合である。\[
R^n \in \mathfrak{O}, \phi \in \mathfrak{O}
\]
(2) 有限個の開集合の共通部分は、開集合である。\[
O_1, \cdots, O_n \in \mathfrak{O} \Rightarrow O = O_1 \cap \cdots \cap O_n \in \mathfrak{O}
\](証明概略)
O の点は、各 $O_i$ の点であるから、各々について、あるε近傍が $O_i$ に含まれる。
このうち、εの最小値を選び出すと、ε近傍はすべての $O_i$ に含まれ、O に含まれる。
(最小値を選ぶところで、有限個でないとダメ)(証明終了)

(3) 無限個の開集合の和集合は、開集合である。\[
O_\lambda \in \mathfrak{O} \Rightarrow O = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \in \mathfrak{O}
\](証明概略)
O の点はいずれかの $O_\lambda$ の点であるから、あるε近傍が $O_\lambda$ に含まれ、その結果、O に含まれる。
(証明終了)

以上の性質の補集合を取ると、同様に、閉集合の性質も得られる。
この際、和集合や共通部分の補集合には、ド・モルガンの法則を使う。

ところで、ド・モルガンって、無限個でも使えるんだっけ?
使えるっぽいですね・・・

というわけで、

閉集合の性質
(1) $R^n$、$\phi$ は閉集合である。\[
R^n \in \mathfrak{A}, \phi \in \mathfrak{A}
\]
(2) 無限個の閉集合の共通部分は、閉集合である。\[
A_\lambda \in \mathfrak{A} \Rightarrow A = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \in \mathfrak{A}
\]
(3) 有限個の閉集合の和集合は、閉集合である。\[
A_1, \cdots, A_n \in \mathfrak{A} \Rightarrow A = A_1 \cup \cdots \cup A_n \in \mathfrak{A}
\]

ここで、「有限個」と「無限個」の修飾語句が逆になっていることに注意!
(ド・モルガンを使うと、共通部分と和集合が逆になることに起因している)

それにしても、漢字で「開」と「閉」は、ほんと紛らわしいですね!
昔のエレベーターに乗ると、ボタンが漢字でとっさにどっち押していいか分からん!
って話ありますよね(笑)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
ユークリッド空間 | コメント(0) | 2014/11/18 19:41

開集合・閉集合再論 (2)

前記事の松坂 [1] の定義で、触点閉包を考えてみます。

閉包(または触集合)(定義)
M の内部と境界の和集合を M の閉包、または触集合と呼び、
$\bar{M}$ または $M^a$ で表す。\[
\bar{M} = M^a = M^\circ \cup M^f
\]

触点(定義)
M の閉包に属する点を M の触点と呼ぶ。

$R^n$ は、内部・外部・境界に直和分割されるから、
触点とは「外点ではない点」である。

つまり、「補集合の内点ではない点」ということであるから、
任意の正数εに対して、\[
U(a, \varepsilon) \cap M \neq \phi
\]が成り立つような点 a である。

この性質は、以前の杉浦 [2] による定義に一致している。

M の点は必ず、M の触点であるから、\[
M \subset \bar{M}
\]

ここで、開集合・閉集合を定義する。

開集合(定義)\[
M = M^\circ
\]を満たす集合。

閉集合(定義)\[
M = \bar{M}
\]を満たす集合。

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
[2] 杉浦光夫 「解析入門I」(東大出版会)
ユークリッド空間 | コメント(0) | 2014/11/18 12:57

開集合・閉集合再論 (1)

再び、松坂 [1] で、「位相」に挑戦してみようと思っています。
以前に読んでみようとしたけど、難しくて、
とりあえず、杉浦 [2] の解析で基礎知識を蓄えていたのでした。

松坂 [1] の開集合・閉集合あたりの定義が以前、杉浦 [2] に基づいて
記事にしたものと少し異なるので、
[1] の定義でおさらいしておきたいと思います。

まずは、$R^n$ における話です。

内点(定義)
点 a のあるε近傍が 集合 M に含まれる時、a を M の内点という。
あるεに対して、$U(a,\varepsilon) \subset M$。

内部(または開核)(定義)
M の内点全部の集合を M の内部、または開核と呼び、
$M^\circ$ または $M^i$ と表す。

M の内点はかならず、M の点であるから、\[
M^\circ \subset M
\]

外点(定義)
M の補集合 $M^c$ の内点を M の外点という。

外部(定義)
M の外点全部の集合を M の外部と呼び、$M^e$ で表す。\[
M^e = (M^c)^\circ = M^{ci}
\]

$M^\circ \subset M$、$M^e \subset M^c$ であるから、内部と外部は交わらない。\[
M^\circ \cap M^e = \phi
\]

境界点(定義)
M の内点でも外点でもない点を M の境界点と呼ぶ。

境界(定義)
M の境界点全部の集合を M の境界と呼び、 $M^f$ で表す。\[
M^f = R^n - (M^\circ \cup M^e)
\]

以上より、$R^n$ は、内部、外部、境界の直和となる。\[
R^n = M^\circ \cup M^e \cup M^f (直和)
\]

とても分かりやすい定義ですね!
次回、この定義に基づいて、以前に述べた触点や閉包について考えていきます。

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
[2] 杉浦光夫 「解析入門I」(東大出版会)
ユークリッド空間 | コメント(0) | 2014/11/16 18:58
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