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ルジャンドル多項式で遊ぶ (3)

次に、多項式でない関数を展開してみたい。
とりあえず、なんとなく・・・\[
f(x) = \cos x
\]なる関数を選んでみた。
係数を計算してみる。\[
a_0 = \frac{1}{2} \int \cos x dx = \sin 1
\]積分範囲は[-1,1]。以後も省略。\[
a_1 = \frac{3}{2} \int x\cos x dx = 0
\]奇関数だから、積分するとゼロ。\[
a_2 = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} \int (3x^2-1) \cos x dx
\]これは真面目に計算しないといけない(汗)
部分積分を使うんだろうけど、面倒なので、Maximaでやると、\[
a_2 = \frac{5}{4} (12 \cos 1 - 8 \sin 1)
\]となるようだ。
追記(3/16) ↑Maximaの答をそのまま書きましたが、よく見ると、4で約分できますね・・・

というわけで、2次までの展開では、\[
\cos x \simeq (\sin 1) P_0(x) + \frac{5}{4} (12 \cos 1 - 8 \sin 1) P_2(x)
\tag{1}
\]となることが分かった。

Pn を書き下すと、\[
\cos x \simeq \sin 1 + \frac{5}{8} (12 \cos 1 - 8 \sin 1)(3x^2-1)
\tag{2}
\]グラフにして、厳密な cos x と比較してみると、
LegendreCosExpandN2.png
おお、2次までの展開でもかなり合ってますね!

しかし、予想では、厳密にテーラー展開\[
\cos x \simeq 1 - \frac{1}{2} x^2
\tag{3}
\]に一致するのかと思っていたのだけど、そうはならないらしい・・・

もちろん、当然ですが、
sin 1 や cos 1 の近似値を入れると、近い値にはなるようです。\[
\cos x \simeq 0.99655861483633-0.46526289008529 x^2
\]

2次までの展開と言っても、この場合は、
n > 2 の Pn にも、$x^2$ の項は無限に含まれていくので、
それらの項もすべて足しあわすことができれば、テーラー展開に一致するんでしょうか?

どうやって計算したらいいか分かりませんが・・・

とりあえず、実用的には、直交多項式展開の要領が分かってきた気がします。

ルジャンドル多項式で遊ぶ記事は、ひょっとすると、もう少し続けるかもしれません。
一つ、気になってることがあるので・・・
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ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2015/03/10 20:04

ルジャンドル多項式で遊ぶ (2)

関数 $f(x)$ が(規格化されていない)直交多項式 $P_n(x)$ を用いて、\[
f(x) = a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x) + \cdots
\tag{1}
\]と展開できるとして、$P_n(x)$ との内積を取って、\[
(f, P_n) = a_n (P_n, P_n)
\]より、係数は\[
a_n = \frac{(f, P_n)}{(P_n, P_n)}
\tag{2}
\]と求められる。

Pn がルジャンドル多項式の場合は、\[
a_n = \left(n + \frac{1}{2} \right) (f, P_n)
\tag{3}
\]となる。

まず手始めに、自明な例として、もともとが多項式の場合、\[
f(x) = x^2
\]を展開してみることにする。
この場合は暗算で、\[
f(x) = x^2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}(3x^2-1) + \frac{1}{3} \times 1 \\
= \frac{2}{3} P_2(x) + \frac{1}{3} P_0(x)
\tag{4}
\]となりそうである。
ためしに、n=2 までの係数を計算してみると、\[
a_0 = \frac{1}{2} \int x^2 dx = \frac{1}{3} \\
a_1 = \frac{3}{2} \int x^3 dx = 0 \\
a_2 = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} \int x^2 (3x^2 - 1) dx = \frac{2}{3}
\]となり、上記 (4) の展開係数と一致する。
(積分範囲は、-1から1とする。今後も省略する)

高次の展開係数については、(4) より、n > 2 に対して、\[
(f, P_n) = \frac{2}{3} (P_2, P_n) + \frac{1}{3} (P_0, P_n) = 0
\]から、必ず、ゼロとなる。

ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2015/03/10 18:34

ルジャンドル多項式で遊ぶ (1)

ルジャンドル多項式を直交基底として用いて、
いろんな関数を展開して遊んでみたいと思っています。

ワイヤストラスの近似定理なるものがあって、
有界閉区間で連続な任意の関数は、多項式で一様に近似できる
らしい。

つまり、$\{ 1, x, x^2, x^3, \cdots \}$ から生成される基底は、完全系をなす。

これを線形結合にして、直交化させたものがルジャンドル多項式だから、
ルジャンドル多項式も完全系をなす基底となる。
(厳密な論理にはなってないけど、雰囲気として・・・)

というわけで、
閉区間 [-1,1] で連続な関数は、ルジャンドル多項式で展開できるはず。

まずは、低次のいくつかを書いてみよう。\[
P_0(x) = 1 \\
P_1(x) = x \\
P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \\
P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \\
P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)
\tag{1}
\]
イメージを高めるために、Maxima でグラフにしてみる。
LegendrePolyN0-4.png

Maxima では、legendre_p(n, x) という関数も実装されてるようだが、
式の定義がちょっと違うようで、分かりにくいので、使わないことにした。

以前の記事で直交性は確認している。\[
\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}
\tag{2}
\]
2/(2n+1) の係数がついているので、規格化はされていない。
規格化されていない直交基底になっている。

いくつか低次のもので確認しておこう。
\[
(P_0, P_0) = \int_{-1}^1 P_0(x)^2 dx = \int_{-1}^1 dx = 2 \\
(P_1, P_1) = \int_{-1}^1 P_1(x)^2 dx = \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac{2}{3} \\
(P_2, P_2) = \int_{-1}^1 P_2(x)^2 dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (3x^2-1)^2 dx = \frac{2}{5}
\]
残りは面倒なので、Maxima にやらせる(笑)
LegendrePolyNormMaxima.png
つまり、\[
(P_3, P_3) = \int_{-1}^1 P_3(x)^2 dx = \frac{2}{7}
\]
直交性の方もいくつか確認しておくと、\[
(P_0, P_1) = \int_{-1}^1 P_0(x)P_1(x) dx = \int_{-1}^1 x dx = 0 \\
(P_0, P_2) = \int_{-1}^1 P_0(x)P_2(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 (3x^2-1) dx = 0 \\
(P_1, P_2) = \int_{-1}^1 P_1(x)P_2(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 x(3x^2-1) dx = 0 \\
\]など。

次は、これらの多項式で実際に関数を展開してみようと思います。

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2015/03/09 20:16

ルジャンドル多項式 (6)

また、ルジャンドル多項式の続き。

もともと、輻射場による遷移の選択則を見ておこうという目的で、
ルジャンドル多項式の復習を始めたのですが、
乗り掛かった舟なので、もう少しつっこんでみたいと思います。

小野寺先生の本[1]では、下図のように、
母関数からスタートして諸性質を示していくスタイルですが、
他の道筋もいろいろあるようです。

LegnedreScheme01.png

他の本を参考に、いろいろな道筋を見てみると、
理解が深まるかなと思っています。

今回は、参考文献[2]を参考に、
微分方程式からロドリグの公式を導きます。

微分方程式
\[
(1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0
\tag{1}
\]
関数
\[
v(x) \equiv (x^2-1)^n
\tag{2}
\]
を定義して、一回微分すると、
\[
v'(x) = 2nx(x^2-1)^{n-1}
\tag{3}
\]
となるから、v は微分方程式
\[
(1-x^2)v' + 2nxv = 0
\tag{4}
\]
の解である。
これをライプニッツ則を用いて、さらに n+1 回微分する。
第一項の微分が
\[
(1-x^2)v^{(n+2)} - 2(n+1)xv^{(n+1)} - 2\frac{n(n+1)}{2}v^{(n)}
\]
第二項の微分が
\[
2nxv^{(n+1)} + 2n(n+1)v^{(n)}
\]
であるから、整理すると、
\[
(1-x^2)v^{(n+2)} - 2xv^{(n+1)} + n(n+1)v^{(n)} = 0
\tag{5}
\]
となり、$v^{(n)}$ は、微分方程式 (1) の解である。

つまり、
\[
y = a \frac{d^n}{dx^n}(1-x^2)^n
\tag{6}
\]
(1)は線形な方程式なので、任意の係数 a がかかる。

係数は微分方程式からは決められないが、
ロドリグの公式が導かれた。


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
[2] 神部 勉「偏微分方程式」(理工学者が書いた数学の本シリーズ)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/16 15:12

ルジャンドル多項式 (5)

こういう計算はあんまり面白くないし、
飽きてきて、疲れますね!はあ・・・
まあ、思い出す意味でもう少し頑張ります。。。

直交性
\[
\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}
\tag{1}
\]

証明
母関数を使って、
\[
\sum_m\sum_n t^m s^n
\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx \\
= \int_{-1}^1
\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}
\frac{1}{\sqrt{1-2sx+s^2}} dx
\tag{2}
\]

右辺を計算するのに、
\[
\int \frac{dx}{\sqrt{a-x}\sqrt{b-x}}
= -2 \log(\sqrt{a-x} + \sqrt{b-x})
\tag{3}
\]
という公式を使うとのこと(積分定数は省略)

これをきちんと左から右へはどう積分したらいいのか分かりません。
右を微分したら、左になることは確認できました。
(ここでは省略しますが)

この公式で、
\[
a = \frac{1+t^2}{2t}
\tag{4}
\]\[
b = \frac{1+s^2}{2s}
\]
とおけば、(2)が計算できる。
右辺は、
\[
\frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}}
\]
(4)を代入すると、
\[
\frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{(1+t)/\sqrt{2t} + (1+s)/\sqrt{2s}}
{(1-t)/\sqrt{2t} + (1-s)/\sqrt{2s}} \\
= \frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{(1+t)\sqrt{s} + (1+s)\sqrt{t}}
{(1-t)\sqrt{s} + (1-s)\sqrt{t}} \\
= \frac{1}{\sqrt{ts}} \log
\frac{1+\sqrt{ts}}{1-\sqrt{ts}}
\tag{5}
\]

これをべき級数に展開する・・・んだそうで、
めんどくさいですが・・・
\[
\log\frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)
\tag{6}
\]
より、それぞれをテイラー展開して、
\[
\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}
\tag{7}
\]\[
\log(1-x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}
\]
となるから、
\[
\log\frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty \{(-1)^{n-1}+1\} \frac{x^n}{n}
\tag{8}
\]
奇数項だけが残り、
\[
\log\frac{1+x}{1-x} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
\tag{9}
\]
となる。
これを (5) に適用すると、結局、(2)の右辺は、
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} t^ns^n
\tag{10}
\]
となるから、(2)の左辺と比較することにより、(1)が得られる。

(証明終了)

いやあ、直交多項式や特殊関数関係の計算は、
計算力維持のためのよい訓練になりますね(^^;


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/12 19:44

ルジャンドル多項式 (4)

ルジャンドルの微分方程式
ルジャンドル多項式は、以下の微分方程式の解である。
\[
(1-x^2) \frac{d^2}{dx^2}P_n(x) - 2x \frac{d}{dx}P_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0
\tag{1}
\]
または、
\[
\frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \frac{d}{dx}P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0
\tag{2}
\]

証明
前記事で証明した漸化式の微分の入った2つを用いる。

漸化式
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - (n+1)x \right]P_n = -(n+1)P_{n+1}
\tag{2}
\]
の n+1 を n にして、
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - nx \right]P_{n-1} = -nP_n
\tag{3}
\]
この $P_{n-1}$ に漸化式
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} + nx \right]P_n = nP_{n-1}
\tag{4}
\]
を代入すると、$P_n$ のみの式が得られる。
\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - nx \right]
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} + nx \right]P_n
= -n^2 P_n
\tag{5}
\]
これを展開して整理すると、(2)が得られ、
さらに展開すると、(1)が得られる。

(証明終了)


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/12 12:30

ルジャンドル多項式 (3)

漸化式
\[
(2n+1)xP_n(x) = (n+1)P_{n+1}(x) + nP_{n-1}(x)
\tag{1.1}
\]\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} - (n+1)x \right]P_n(x) = -(n+1)P_{n+1}(x)
\tag{1.2}
\]\[
\left[(1-x^2)\frac{d}{dx} + nx \right]P_n(x) = nP_{n-1}(x)
\tag{1.3}
\]

証明
母関数
\[
g(t,x) = \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}} = \sum_n P_n(x) t^n
\tag{2}
\]
を t で微分。
\[
\frac{\partial g}{\partial t}
= \frac{x-t}{1-2tx+t^2}g = \sum_n nP_n(x)t^{n-1}
\tag{3}
\]
(2)を(3)に代入して、整理。
\[
(x-t) \sum_n P_n t^n = (1-2tx+t^2) \sum_n nP_n t^{n-1}
\]\[
\sum_n P_n \{ (2n+1)xt^n - (n+1)t^{n+1} - nt^{n-1} \} = 0
\]
n をずらして、t のべきをそろえると、$t^n$の係数は
\[
(2n+1)xP_n - nP_{n-1} - (n+1)P_{n+1}
\]
任意の t について成立するためには、ゼロにならなければならないので、
(1.1)式が成立。

さて、(1.2)の証明については、本[1]にも
「答を知っていて証明を考えるのはいささか不純であるが・・・」
と書かれていて、確かに気持ち悪いんですが、
他によい方法がないかと考えてみたものの、見つからないんですよね。
(まあ、あれば、小野寺先生がそれを書いているはずですから)

というわけで、その不純な方法で(笑)

まず、証明すべき(1.2)式を証明しやすいように変形する。
(1.2)に $t^n$ を乗じて、n で足し合わせる。

\[
(1-x^2)\frac{\partial}{\partial x} \sum_n P_n t^n
- x \sum_n n P_n t^n
- x \sum_n P_n t^n
= - \sum_n (n+1) P_{n+1} t^n
\]
母関数に置き換えると、
\[
(1-x^2)\frac{\partial g}{\partial x}
- xt \frac{\partial g}{\partial t}
- xg
= - \frac{\partial g}{\partial t}
\tag{4}
\]
これを証明すれば、逆にたどって、(1.2)が示されたことになる。
\[
\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{t}{1-2tx+t^2}g
\tag{5}
\]
と、$\partial g/\partial t$ の表式 (3) を (4) に代入すると、
(4)が成立することが分かる。
よって、(1.2)が成立。

さらに、(1.1)と(1.2)の辺々を加えると、(1.3)が導き出される。

(証明終了)


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/11 12:00

ルジャンドル多項式 (2)

ロドリグの公式
\[
P_n(x) = \frac{1}{2^nn!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
\tag{1}
\]

証明
$(x^2-1)^n$ を2項展開。
\[
\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
= \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{d^n}{dx^n} (x^2)^{n-r} (-1)^r
\tag{2}
\]
ここで、$r \leq n/2$ であるならば、
\[
\frac{d^n}{dx^n} x^{2n-2r} = \frac{(2n-2r)!}{(n-2r)!} x^{n-2r}
\tag{3}
\]
であり、$r > n/2$の場合は、微分はゼロになることを用いて、
\[
\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n
= \sum_{r=0}^{[n/2]} \frac{n!}{r!(n-r)!} (-1)^r \frac{(2n-2r)!}{(n-2r)!} x^{n-2r}
\tag{4}
\]
これを(1)式の右辺に代入すると、
前記事で得たルジャンドル多項式の表式
\[
P_n(x) = \sum_{r=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^r (2n-2r)!}{2^n r!(n-r)!(n-2r)!}x^{n-2r}
\tag{5}
\]
に一致する。
(証明終了)


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/10 19:29

ルジャンドル多項式 (1)

この後の話の都合で、ルジャンドル多項式を復習したいと思います。

数年前、この勉強を始めた時、まず初めにやったのが特殊関数や直交多項式の勉強。
テキストは、こちらで紹介した小野寺先生の本 [1]。
入門書としては、すごく分かりやすいです!

まずは、ルジャンドル多項式の定義。
いろいろ流儀はありますが、このテキストでは一貫して母関数で定義します。
\[
g(t,x) = \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}
= \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n
\tag{1}
\]
ただし、|t| < 1 とする。

直接的な表式
\[
P_n(x) = \sum_{r=0}^{[n/2]}
\frac{(-1)^r (2n-2r)!}{2^n r!(n-r)!(n-2r)!}x^{n-2r}
\tag{2}
\]

証明
\[
y = 2tx - t^2
\tag{3}
\]
とおいて、母関数をテイラー展開。
\[
g(t,x) = (1-y)^{-1/2} = \sum_{p=0}^\infty \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}y^p
\tag{4}
\]
さらに、$y^p$を2項展開。
\[
y^p = t^p(2x-t)^p
= t^p \sum_{r=0}^p \binom{p}{r} (2x)^{p-r}(-t)^r
\tag{5}
\]
(5)を(4)に代入して、
\[
g(t,x) = \sum_{p=0}^\infty \sum_{r=0}^p
\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}
t^{p+r} \frac{p!(-1)^r}{r!(p-r)!} (2x)^{p-r} \\
= \sum_{p=0}^\infty \sum_{r=0}^p
\frac{(2p)!(-1)^r}{2^{p+r}p!r!(p-r)!} x^{p-r} t^{p+r}
\tag{6}
\]
$p+n=r$と置いて、p から n に変換すると、r の範囲は、$0 \leq r \leq [n/2]$。
\[
g(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^{[n/2]}
\frac{(-1)^r (2n-2r)!}{2^n r!(n-r)!(n-2r)!} x^{n-2r} t^n
\tag{7}
\]
となり、(2)を得る。
(証明終了)

この表式をもとに、n の小さいものをいくつか書き下してみると・・・

\[
P_0(x) = 1
\]\[
P_1(x) = x
\]\[
P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)
\]\[
P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)
\]\[
P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)
\]

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2014/03/09 23:59
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