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行列の正則性~まとめ

ついでに、行列の正則性についても、自分用にまとめておきます。

あとで迷った時に、ここに帰ってこれるように・・・
自分で考えてまとめただけなので、間違ってるかもです(汗)

行列が正則であるとは・・・

逆行列が存在する。

行列式がゼロでない。

階数が n である。

すべての列ベクトル(行ベクトル)が線形独立。

左右基本変形で、すべての対角成分に1が並ぶ。

写像の像空間の次元が n である。

写像が全単射(一対一対応)である。

写像の核空間の次元が 0 である(ゼロベクトルのみ)。

こんなとこでしょうか・・・
まだあるかもしれません。後で追加するかもです。
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/26 08:15

行列の階数~ まとめ

ここで、行列の階数について、まとめておきます。

行列の階数とは・・・

左右基本変形で標準形にしたときの、対角成分に並ぶ1の個数。

行列の与える線形写像の像空間の次元。

線形独立な列ベクトル(行ベクトル)の数。


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/26 08:00

階数と線形独立性

階数について、もう一つ大事なことを書き忘れてました。

行列に含まれる線形独立な列ベクトル(行ベクトル)の数は、行列の階数に等しい。

(証明)
行列 A の列ベクトルを $a_i$ とすると、
$K^n$ の単位列ベクトル $e_i$ (第 i 成分のみが1で他が0のベクトル)を用いて、
$a_i = A e_i$ と書ける。

$K^n$ は、$e_i$ によって生成される空間($e_i$ の線形結合で表せるベクトルの集合)だから、
A の与える写像 $T_A$ の像 Im $T_A$ は、$a_i$ によって生成される。

Im $T_A$ の次元は、行列の階数 r に等しいから、
$a_i$ のうち線形独立なベクトルの数は r である。

行ベクトルに関しては、階数が転置に対して不変であることを用いると、明らか。
(証明終了)


階数が転置に対して不変、すなわち\[
r(A) = r(A^T)
\]であることを示しておく。

(証明)
ある正則行列 P, Q を用いて、$PAQ = F(r)$ とできる。
両辺の転置を取ると、$Q^T A^T P^T = F(r)$ 。
$P^T$ も $Q^T$ も正則であるから、上式は $r(A^T) = r$ を意味する。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/26 07:21

直和

直和
和空間において、和の表し方が一意的である時、直和と呼ぶ。

$W = W_1 + W_2$ において、$x \in W$ が
$x = x_1 + x_2$ ($x_1 \in W_1$、$x_2 \in W_2$)と一意的に表される時、
W を W1 と W2 の直和であるといい、
$W = W_1 \dot{+} W_2$ と書くことにする。


直和の条件は、以下の各々の条件と同値である。

(1) $W_1 \cap W_2 = \{ o \}$

(証明)
W1 + W2 が直和であると仮定する。
もし、W1∩W2 に o 以外の元 a が存在したとすると、-a も元である。
$o = o + o = a + (-a)$ の2通りの和が存在するため矛盾。

逆に、(1) が成立すると仮定する。
2通りの和 $x = x_1 + x_2 = x'_1 + x'_2$ が存在したとすると、
$x_1 - x'_1 = x'_2 - x_2$ となり、両辺は W1∩W2 の元であり、o と等しい。
よって、$x_1 = x'_1$、$x_2 = x'_2$
(証明終了)


(2) ${\rm dim} W_1 + {\rm dim} W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2)$

(証明)
前記事より\[
{\rm dim} W_1 + {\rm dim} W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2) + {\rm dim}(W_1 \cap W_2)
\](1) は、${\rm dim}(W_1 \cap W_2) = 0$ と同値であるから、
(2) は (1) と同値である。
(証明終了)

参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/11 08:08

和空間

なぜか、畳に床の間、掛け軸に生け花を彷彿とさせる言葉です(笑)
我が家にはないので、非常に欲しいものの一つです。

和空間
線形空間 V の部分空間 $W_1$, $W_2$ に対して、
$W_1$ の元と $W_2$ の元の和全体からなる集合は線形空間となる。
これを和空間と呼び、$W = W_1 + W_2$ で表す。\[
W_1 + W_2 = \{ x_1 + x_2 | x_1 \in W_1, x_2 \in W_2 \}
\]合併集合 $W_1 \cup W_2$ とは異なるので、注意!
(合併集合にはないようなものも含まれる)

和空間の次元に関して、以下の定理が成立。\[
{\rm dim}W_1 + {\rm dim}W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2) + {\rm dim}(W_1 \cap W_2)
\]
(証明)
W1∩W2 の次元を r, W1 及び W2 の次元をそれぞれ、r + s, r + t とすると、
W1 + W2 の次元が r + s + t となることを示す。

まず、W1∩W2 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r \rangle$ と選び、
これを拡張して、W1 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r, b_1, \cdots, b_s \rangle$、
W2 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r, c_1, \cdots, c_t \rangle$
とする。
この時、$E = \langle a_1, \cdots, a_r, b_1, \cdots, b_s, c_1, \cdots, c_t \rangle$ が
W1 + W2 の基底となることを示す。

W1 + W2 の任意の元は、W1 の元と W2 の元の和で表せるから、
E の線形結合で表されることは明らか。
そこで、E の線形独立性を示せばよい。

線形関係\[
\sum_{i=1}^r \alpha_i a_i + \sum_{i=1}^s \beta_i b_i + \sum_{i=1}^t \gamma_i c_i = o
\tag{1}
\]を仮定する。移項すると、\[
\sum_i \alpha_i a_i + \sum_i \beta_i b_i = -\sum_i \gamma_i c_i
\]となり、左辺は W1 の元、右辺は W2 の元であるから、両辺ともに W1∩W2 の元である。
よって、\[
\sum_i \gamma_i c_i = \sum_i \lambda_i a_i
\]と書けて、W2 の基底の線形独立性より $\gamma_i = 0$ および $\lambda_i = 0$ となる。

(1) に代入すると、\[
\sum_{i=1}^r \alpha_i a_i + \sum_{i=1}^s \beta_i b_i = o
\]となり、今度は W1 の基底の線形独立性より、$\alpha_i = 0$ および $\beta_i = 0$ が言え、
E の線形独立性が示された。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/09 07:25

線形写像の階数

そろそろ、ブログタイトルを「ゆるゆる数学☆たま~に物理」に変えましょうか?

線形写像の階数
線形写像において、像空間の次元をその写像の階数と呼ぶ。

線形写像 T (V → V') において、T の階数を r とする時、
V, V' の基底を適当に選ぶと、T の行列を標準形\[
F(r) = \left[ \begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array} \right]
\]とできる。

(証明)
Im T の基底を $\langle e'_1, \cdots, e'_r \rangle$ とし、
これを拡大して、$E' = \langle e'_1, \cdots, e'_r, \cdots, e'_m \rangle$ を V' の基底とする。

次に、$Te_i = e'_i $ (1≦i≦r) となる $e_i$ を V 上に選ぶ。
線形関係 $\sum_i c_i e_i = o$ を仮定すると、
$\sum_i c_i Te_i = T(\sum_i c_i e_i) = o'$ であるから、$Te_i$ の線形独立性より、$c_i = 0$。
よって、$e_i$ (1≦i≦r) は線形独立。

Ker T の次元は n-r であるから、Ker T の基底 $\langle e_{r+1}, \cdots, e_n \rangle$ を決める。
線形関係 $c_1 e_1 + \cdots + c_n e_n = o$ を仮定して、T を施すと、
$c_1 Te_1 + \cdots + c_r Te_r = o'$ となり、$c_1 = \cdots = c_r = 0$。
元の式に戻ると、$c_{r+1} e_{r+1} + \cdots + c_n e_n = o$ となり、 $c_{r+1} = \cdots = c_n = 0$。
よって、$e_1, \cdots, e_n$ は線形独立。
$E = \langle e_1, \cdots, e_n \rangle$ は V の基底となる。

このように選んだ基底 E, E' に対して、T の行列は明らかに、標準形 F(r) となる。
(証明終了)


線形写像の行列の階数は、基底によらず、その写像の階数に等しい。

(証明)
上記のように選んだ特別な基底に関しては、明らか。

任意の基底に関しても、この特別な基底に取り替えると、
取り替え行列 P, Q に対して、$Q^{-1}AP = F(r)$ が成立する。

P, Q は正則であるから、基本行列の積で表せるので、
A の階数も r である。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/03 08:02

核と像

線形写像 T (V → V') に関する概念。

(kernel)
写像によって、零ベクトルに移されるベクトルの集合。\[
{\rm Ker} T = T^{-1}(o') = \{ x \in V| Tx = o' \}
\]
(image)
写像によって、すべての元全体が移された先の集合。\[
{\rm Im} T = T(V) = \{ Tx | x \in V \}
\]
核も像も線形空間であり、それぞれ、V と V' の部分空間である。

核と像の空間の次元に関して、以下が成立。\[
{\rm dim} V = {\rm dim Ker} T + {\rm dim Im} T
\]
(証明)
Ker T の基底を $\langle e_1, \cdots, e_s \rangle$ として、
これにベクトルを追加して、V の基底 $E = \langle e_1, \cdots, e_s, e_{s+1}, \cdots, e_n \rangle$ を構成する。
$E' = \langle T(e_{s+1}), \cdots, T(e_n) \rangle$ が Im T の基底となることを示せばよい。

Im T の任意の元 x' に対して、x' = Tx となる元 $x \in V$ が存在する。
基底 E で展開して、$x = \sum_i c_i e_i$ とすると、\[
x' = Tx = T (\sum_i c_i e_i) = \sum_i c_i Te_i = c_{s+1} Te_{s+1} + \cdots + c_n Te_n
\]となり、E' の線形結合で表される。

また、線形関係\[
c_{s+1} Te_{s+1} + \cdots + c_nTe_n = o'
\]を仮定すると、\[
T( c_{s+1} e_{s+1} + \cdots + c_n e_n ) = o'
\]より、$c_{s+1} e_{s+1} + \cdots + c_n e_n$ は Ker T の元であるから、\[
c_{s+1} e_{s+1} + \cdots + c_n e_n = c_1 e_1 + \cdots + c_s e_s
\]$e_i$ の線形独立性から、すべての $c_i$ はゼロとなり、E' の線形独立性が言える。
(証明終了)



参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/03 08:00

基底の取り替え

n 次元線形空間 V 上のベクトル v に対して、
基底 $E = \langle e_i \rangle$ によって対応付けられた $K^n$ の元を x とし、
別の基底 $F = \langle f_i \rangle$ によって対応付けられた $K^n$ の元を y とする。\[
v = \sum_i x_i e_i = \sum_i y_i f_i
\]
ここで、$K^n$ の元 x と y の関係は全単射の線形写像で結ばれるので、
正則な n 次正方行列 P を用いて、\[
x = Py
\]と書ける。
行列 P を基底の取り替え E→F の行列と呼ぶ。

基底の取り替えによって、線形写像の行列がどのように変化するか?

V → V' の線形写像 T を考え、
V と V' 上に基底 E と E' を導入した時には、行列 A で表現されるとする。\[
x' = Ax
\tag{1}
\]
これらの基底を F, F' に取り替えたとき、取り替えの行列を P, Q とすると、\[
x = Py
\tag{2}
\]\[
x' = Qy'
\tag{3}
\](2)、(3) を (1) に代入すると、\[
Qy' = APy
\]よって、\[
y' = Q^{-1}APy
\tag{4}
\]となる。
基底の取り替えによって、線形写像の行列 A は、$Q^{-1}AP$ に変化する。

特に、線形変換 (V = V', P = Q)の場合は、
行列 A は、 $P^{-1}AP$ に変化する。

参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/02 08:00

線形写像

数ベクトル空間における線形写像は、必ず、行列で表せる。

体 K 上の $x \in K^n \rightarrow x' \in K^m$ の任意の線形写像 $x' = Tx$ は、
ある (m, n) 行列 A を用いて、$x' = Ax$ と表される。

(証明)
$K^n$ 上で、第 i 成分のみが 1 、他成分がすべて0の単位列ベクトル
$e_i = (0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots, 0)^T$ を考え、
$a_i = Te_i$ とおき、$A = (a_1, \cdots, a_n)$ とする。

任意のベクトル $x \in K^n$ は、$x = \sum_i x_i e_i$ と表せるから、
$Tx = T(\sum_i x_i e_i) = \sum_i x_i Te_i = \sum_i x_i a_i$ となり、
$Tx = Ax$ と表される。
(証明終了)

n 次元数ベクトル空間と n 次元線形空間は同型である。

(証明)
n 次元線形空間 V 上に、ある基底 $\langle e_i \rangle$ を導入すると、
任意のベクトル $x \in V$ は、$x = \sum x_i e_i$ と一意に展開できる。
(基底の定義と線形独立性から)

$x \rightarrow (x_1, \cdots, x_n)^T \in K^n$ の写像は、線形で全単射であり、
V と $K^n$ の同型対応を与える。
すなわち、V と $K^n$ は同型である。
(証明終了)

以上を踏まえると・・・
一般の線形空間上の線形写像は、行列で表現できる。

n 次元線形空間 V から m 次元線型空間 V' への線形写像 T を考える。
V , V' 上に適当な基底 $E = \langle e_i \rangle$、$E' = \langle e'_i \rangle$ を設定すると、
それぞれ、$K^n$、$K^m$ と対応付けられ、
線形写像 T に対して、$K^n \rightarrow K^m$ の線形写像 $T_A$ が対応付けられ、
(m, n) 行列 A が対応付けられる。

すなわち、$x' = Tx$ に対して、\[
x = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n
\]\[
x' = x'_1 e'_1 + \cdots + x'_m e'_m
\]とすれば、\[
\left[
\begin{array}{c}
x'_1 \\ \vdots \\ x'_m
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
& \cdots & \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right]
\]と表現できる。

参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/02 07:02

行列の階数と正則性

n 次正方行列 A に対して、以下は同値である。
(a) A は正則である。
(b) r(A) = n


(証明)
(a) ⇒ (b)
ある正則行列 P, Q を用いて、PAQ = F(r) とできる。
A は正則であるから、F(r) も正則であり、r(A) = n でなければならない。

(b) ⇒ (a)
r(A) = n であれば、F(r) = E (E は n 次単位行列)。
ある正則行列 P, Q を用いて、PAQ = E とできる。
よって、$A = P^{-1} Q^{-1}$ となり、A は正則である。
(証明終了)


任意の正則行列は、基本行列の積で表される。

(証明)
任意の正則行列 A に対して、上記より r(A) = n であるから、
ある基本行列の積 P, Q を用いて、 PAQ = E とできる。
よって、 $A = P^{-1} Q^{-1}$ と表すことができ、
$P^{-1}$、$Q^{-1}$ は基本行列の積であるから、題意は証明された。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/05/30 11:56
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