カテゴリ:球対称ポテンシャル の記事一覧

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球対称ポテンシャル (2)

球対称ポテンシャル問題の続き。
動径部分と角部分に分離して、角部分について考える。
\[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}
+ \lambda Y = 0
\tag{1}
\]さらに、
\[
Y(\theta,\phi) = \Theta(\theta) \Phi(\phi)
\tag{2}
\]によって、θとΦに分離。\[
\frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right)
+ \lambda\sin^2\theta
= -\frac{1}{\Phi} \frac{d^2\Phi}{d\phi^2}
\tag{3}
\]同様に、両辺を定数 ν とおけるので、\[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right)
+ \left( \lambda - \frac{\nu}{\sin^2\theta} \right) \Theta = 0
\tag{4}
\]\[
\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} + \nu \Phi = 0
\tag{5}
\]なる2つの固有方程式に分離できる。

まずは、(5)式から。$m^2 = \nu$ として、
\[
\Phi = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{im\phi}
\tag{5}
\]2πの周期性から、m は整数でなければならない。

ところで、シッフ[1]では、この部分、
$\Phi$ と$d\Phi/d\phi$ が定義域 0 ~ 2πで連続でなければならないから、
と書かれているのですが、
2πの点で連続(つまり周期的境界条件)という意味なんでしょうね。

規格化因子は、\[
\int_0^{2\pi} |\Phi(\phi)|^2 d\phi = 1
\tag{6}
\]となるように選ばれている。

次に、θに関する (4) 式を見る。
$\nu = m^2$ として、さらに、$\cos\theta = w$ とおき、
$P(w) = \Theta(\theta)$ と変数を置換すると、
\[
\frac{d}{dw} \left[ (1-w^2) \frac{dP}{dw} \right]
+ \left( \lambda - \frac{m^2}{1-w^2} \right) P = 0
\tag{7}
\]と変形される。

これを解くわけですが、長くなるので、次回へ。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
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球対称ポテンシャル | コメント(0) | 2014/09/10 12:30

球対称ポテンシャル (1)

球対称ポテンシャル(中心力場)におけるシュレディンガー方程式を解き、
エネルギー固有値及び固有関数を求めます。
水素原子の波動関数を求めるための前段階です。

座標は球座標で表すこととし、球対称ポテンシャル\[
V = V(r)
\tag{1}
\]を仮定。
シュレディンガー方程式は、\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 u(r,\theta, \phi) + V(r) u(r,\theta, \phi) = Eu(r,\theta,\phi)
\tag{2}
\]と書ける。
ラプラシアンを球座標表示で表すと、\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\right] u \\
\hspace{5cm} + V(r) u = Eu
\tag{3}
\]となる。波動関数を以下のように変数分離。
\[
u(r,\theta,\phi) = R(r)Y(\theta,\phi)
\tag{4}
\]
シュレディンガー方程式に代入して、$-2mr^2/\hbar^2u$ を乗じると、
\[
\frac{1}{R} \frac{d}{dr} \left(r^2 \frac{dR}{dr} \right)
+ \frac{2mr^2}{\hbar^2} [ E - V(r) ]
\\ \hspace{3cm} = -\frac{1}{Y} \left[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}
\right]
\tag{5}
\]
左辺は r のみに依存し、右辺は θ、Φのみに依存するから、
両辺ともに定数λと等しいとおけるので、
動径部分は、\[
\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right)
+ \left\{ \frac{2m}{\hbar^2} [ E - V(r) ] - \frac{\lambda}{r^2} \right\} R
= 0
\tag{6}
\]角部分は、\[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}
+ \lambda Y = 0
\tag{7}
\]となる。
動径部分は具体的なポテンシャル形状が分からないと、これ以上は進めないので、
以後、角部分に注目していく。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
球対称ポテンシャル | コメント(0) | 2014/09/09 12:22
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