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位置演算子の運動量表示

ようやく備忘録として書こうとしていたところにたどりつきました!(汗)

運動量演算子の位置表示は既にやりましたが、
今度は、位置演算子の運動量表示です。
$\langle p|\hat{x}| p'\rangle$を求めます。

これは、サクライには載ってないので、
どうやって導出したらよいか分からず、
「EMANの物理学」の掲示板で質問して、ようやく分かりました。
その時の回答をもとに、記事を進めていきます。

\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= \int dx \langle p|\hat{x}|x\rangle \langle x|p'\rangle
= \int dx x \langle p|x\rangle \langle x|p'\rangle
\tag{1}
\]
x と p の関係式
\[
\langle x|p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}
\exp \left( i\frac{p}{\hbar}x \right)
\tag{2}
\]
を用いると、
\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= \frac{1}{2\pi\hbar} \int x
\exp\left(i\frac{p'-p}{\hbar}x \right) dx
\tag{3}
\]
右辺を変形すると、
\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= \frac{1}{2\pi\hbar} \int
i\hbar\frac{\partial}{\partial p}
\exp\left(i\frac{p'-p}{\hbar}x \right) dx \\
= i\hbar \frac{\partial}{\partial p} \delta(p'-p)
\tag{4}
\]
ここで、
\[
\int e^{ikx} dx = 2\pi\delta(k)
\tag{5}
\]
を用いた。
デルタ関数は偶関数的であるから、最終的に、
位置演算子の運動量表示は、
\[
\langle p|\hat{x}|p'\rangle
= i\hbar \frac{\partial}{\partial p} \delta(p-p')
\tag{6}
\]

運動量演算子の位置表示
\[
\langle x|\hat{p}|x'\rangle
= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \delta(x-x')
\tag{7}
\]
と見比べると、符号が反転しているだけですね。
正準交換関係の符号に由来しているのだろうか?

後者に比べて、前者はイメージがわきにくいと思いますが、
たとえば、自由粒子の状態(運動量固有状態)間の双極子遷移を考えると、
このような式が出てきます。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/11 12:26

位置表示と運動量表示の変換

位置の固有状態 |x> と運動量の固有状態 |p> の関係性を表す
< x | p > がどのように表されるかを導く。

運動量演算子の位置表示のところで出てきたこの式からスタート。
\[
\langle x|\hat{p}|\alpha\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|\alpha\rangle
\tag{1}
\]
|α> に |p> を入れると、
\[
p \langle x|p \rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|p \rangle
\tag{2}
\]
< x | p > について解くと、
\[
\langle x|p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp \left( i\frac{p}{\hbar}x \right)
\tag{3}
\]
ここで、規格化因子は、
\[
\langle x|x' \rangle = \int dp \langle x|p \rangle \langle p|x' \rangle = \delta(x-x')
\tag{4}
\]
の関係より決めた。(位相因子は1とする)

3次元の時は、
\[
\langle {\bf x}|{\bf p} \rangle = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \exp \left( i\frac{\bf p}{\hbar}\cdot{\bf x} \right)
\tag{5}
\]

< x | p > は、運動量固有状態の位置表示における波動関数を意味し、
(3)または(5)式は、それが平面波で表されることを示している。

サクライ[1]には、この性質がシュレディンガー方程式を使わずに出てくることが
面白いと書かれていて、確かに、そうですよね!
実は、運動量が空間並進の演算子であるという性質だけから出てくるんですね!
なんだか不思議ですが・・・

さて、この < x | p > の式を用いると、
位置表示と運動量表示の間で波動関数の変換を行うことができる。

\[
\langle x|\alpha\rangle
= \int dp \langle x|p \rangle \langle p|\alpha \rangle
\tag{6.1}
\]\[
\langle p|\alpha\rangle
= \int dx \langle p|x \rangle \langle x|\alpha \rangle
\tag{6.2}
\]
から、波動関数の用語に直すと、
\[
\psi_\alpha(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dp \exp\left(i\frac{p}{\hbar}x\right) \phi_\alpha(p)
\tag{7.1}
\]\[
\phi_\alpha(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dx \exp\left(-i\frac{p}{\hbar}x\right) \psi_\alpha(x)
\tag{7.2}
\]
となる。これを見ると、
位置表示と運動量表示の波動関数は、お互いにフーリエ変換で結ばれていることが分かる。
運動量固有状態は、位置表示で見ると、平面波なのだから、当然と言えば当然ですね。
でも、シュレディンガー方程式を用いずに、このことが示せるというのは面白いです。

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/10 12:48

運動量表示の波動関数

運動量演算子の固有ケットを導入する。
\[
\hat{p}|p\rangle = p|p\rangle
\tag{1}
\]

運動量演算子もエルミートだから直交していて、
さらに規格化しておく。
\[
\langle p|p' \rangle = \delta(p-p')
\tag{2}
\]

一般の規格化された状態|α> を運動量ケットで展開して、
\[
|\alpha\rangle = \int dp |p\rangle \langle p|\alpha\rangle
\tag{3}
\]
位置の場合と同様に、確率的解釈を行うと、
状態αの運動量の測定値が p となる確率が $|\langle p|\alpha\rangle|^2$となると考えられる。
すなわち、
\[
\phi_\alpha(p) = \langle p|\alpha\rangle
\tag{4}
\]
は、運動量表示の波動関数とみなせる。

$\langle\alpha|\alpha\rangle = 1$ より、
\[
\int dp |\phi_\alpha(p)|^2 = 1
\tag{5}
\]
となる。

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/08 23:54

運動量の期待値

運動量演算子の位置表示
\[
\langle x|\hat{p}|x'\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \delta(x-x')
\tag{1}
\]
を使うと、たとえば、波動関数から運動量の期待値を求めることができる。

\[
\langle p \rangle_\alpha
= \langle \alpha |\hat{p}| \alpha \rangle
= \iint dx dx'\langle \alpha |x \rangle
\langle x|\hat{p}| x'\rangle
\langle x'|\alpha \rangle
\tag{2}
\]
であるから、(1)を用いると、
\[
\langle p \rangle_\alpha
= \int dx \psi^*_\alpha(x) \left[-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right] \psi_\alpha(x)
\tag{3}
\]
と波動関数を用いて書き表せる。

この式は、波動関数から導入する量子力学の入門書の初めの方に出てくるおなじみの式ですが、
大学入学したての頃は、運動量の期待値が(3)式のように演算子を挟み込む形になっているという意味が
どうにも腑に落ちなかった覚えがあります。

波動関数ありきからスタートすると、どうしてもこの表式に至る過程で、
飛躍があるような気がします。

J.J.サクライのようにブラケットの概念からスタートして、
波動関数を定義する方法だと、非常に明快ですね!

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/08 19:15

運動量演算子の位置表示

備忘録として書いておこうと思った箇所までなかなかたどりつけません^^;
もう少しです。

運動量演算子を位置基底で表示したもの
つまり、$\langle x|\hat{p}|x'\rangle$ を求めます。

これを求めるために、一般のケット |α> に無限小並進演算子を施したものを考える。
\[
T(dx)|\alpha\rangle = \left( 1-i\frac{\hat{p}}{\hbar}\cdot dx\right)|\alpha\rangle
\tag{1}
\]

左辺を位置基底を使って変形。
\[
T(dx)|\alpha\rangle
= \int dx' T(dx)|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle \\
= \int dx' |x'+dx\rangle \langle x'|\alpha\rangle \\
= \int dx' |x'\rangle \langle x'-dx|\alpha\rangle
\tag{2}
\]

ここで、
\[
\langle x'-dx|\alpha\rangle
= \left( 1 - dx \frac{\partial}{\partial x'} \right) \langle x'|\alpha\rangle
\tag{3}
\]
と書けるから、(1)の両辺に < x |をかけて、
\[
\langle x|\hat{p}|\alpha\rangle
= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|\alpha\rangle
\tag{4}
\]

この式は、波動関数の言葉で書くと、
\[
\hat{p}\psi_\alpha(x) = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi_\alpha(x)
\tag{5}
\]
というおなじみの式になる。

|α> に|x> を入れると、運動量演算子の位置表示
\[
\langle x|\hat{p}|x'\rangle
= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \delta(x-x')
\tag{6}
\]
が得られる。

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/08 12:01

位置表示の波動関数

位置表示(座標表示)の波動関数について。

一般にシュレディンガー方程式とともに登場する
いわゆる「波動関数」$\psi(x)$ のことです。

「座標表示」と呼ぶのが一般的みたいですが、
この一連の記事ではずっと「位置ケット」「位置演算子」と呼んできているので、
「位置表示」で通します。

位置演算子の記事で少しふれたように、
\[
|\alpha\rangle = \int dx |x \rangle \langle x|\alpha\rangle
\tag{1}
\]
と書くことができて、
\[
\psi_\alpha(x) = \langle x|\alpha \rangle
\tag{2}
\]
は、$|\psi_\alpha(x)|^2 dx$ が 位置 x の微小領域 dx の中に見出される確率を表すと解釈することができる。
すなわち、波動関数である。

後に運動量演算子の固有ケットを基底に取った場合の波動関数について述べるので、
それと区別するために、これを「位置表示」と呼ぶことにする。

ある演算子 A の行列要素を求めたいときは、
\[
\langle \beta|A|\alpha \rangle
= \iint dx dx' \langle \beta|x\rangle
\langle x|A|x' \rangle
\langle x'|\alpha \rangle \\
= \iint dx dx' \psi^*_\beta(x)
\langle x|A|x' \rangle
\psi_\alpha(x')
\tag{3}
\]
というように、A の位置表示における行列要素 $\langle x|A|x' \rangle$を波動関数で挟み込んで積分すればよい。

特に、A が位置演算子のみの関数の場合、
\[
\langle x|f(\hat{x})|x' \rangle
= f(x) \delta(x-x')
\tag{4}
\]
であるから、
\[
\langle \beta|f(\hat{x})|\alpha \rangle
= \int dx \psi^*_\beta(x) f(x) \psi_\alpha(x)
\tag{5}
\]
と簡単な形で表される。


[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/07 13:07

位置と運動量の交換関係

位置と運動量の交換関係を導きます。

まずは、無限小並進演算子と位置演算子の交換関係から。
\[
\hat{x}T(dx)|x\rangle
= \hat{x}|x+dx\rangle
= (x+dx)|x+dx\rangle
\tag{1}
\]
\[
T(dx)\hat{x}|x\rangle
= xT(dx)|x\rangle
=x|x+dx\rangle
\tag{2}
\]

この両式より、$(dx)^2$を無視すると、
\[
[ \hat{x}, T(dx)]|x\rangle = dx|x\rangle
\tag{3}
\]
$|x\rangle$は完全系をなすから、以下の交換関係が得られる。
\[
[ \hat{x}, T(dx)] = dx
\tag{4}
\]
並進演算子は、運動量演算子を用いて、
\[
T(dx) = 1 - i\frac{\hat{p}}{\hbar} \cdot dx
\tag{5}
\]
と表されるので、x と p がベクトル量であることを考慮すると、
位置と運動量の交換関係は、
\[
[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}
\tag{6}
\]
となる。

この導出を初めてサクライで知った時には、
なるほどね~と感動した覚えがあります。

普通は、波動関数に対する空間微分で運動量を定義して、
そこから交換関係を導きますからね。

論理の順序が変わると、とても新鮮です。

[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/04 12:31

運動量演算子

並進演算子を導入した真の目的は、運動量演算子を定義したいから。

古典力学では、無限小空間並進にあたる正準変換の生成子は運動量である。

このあたりは、不勉強でよく理解していないのですが。。。
理解したいのですが、時間があまりないので、先を急ぎます。

無限小並進にあたる正準変換
\[
X = x + dx \\
P = p
\tag{1}
\]
を与える母関数は、
\[
F(x,P) = x\cdot P + p\cdot dx
\tag{2}
\]
となるそうです。

$x\cdot P$ の部分は、恒等変換を与える母関数であることに注意して、
並進演算子の定義
\[
T(dx) = 1 - iK\cdot dx
\tag{3}
\]
と比較すると、運動量 p が 演算子 K と関連してそうということが推測できる。

K の次元は、$L^{-1}$。
運動量の次元は、$MLT^{-1}$
と異なるので、次元の変換をするプランク定数 $\hbar$ (ディラック定数というべきか)を導入して、
運動量演算子
\[
p = \hbar K
\tag{4}
\]
と定義する。

プランク定数の次元は、$ML^2T^{-1}$ となる。
この値が1でないのは、質量、長さなどの単位が独立にマクロな量から決められているから。
電磁気のSI単位で言うところの、$1/4\pi\varepsilon_0$みたいなものというサクライ先生の例えが分かりやすい!

i はどこへ行ってしまったのか?という疑問がわきますが、
あくまでも古典からの推測で話を進めているだけなので、
最終的に出来上がった原理が$\hbar\rightarrow 0$の極限で古典力学に帰結すればよいということでしょうね。

というわけで、並進演算子は、
\[
T(dx) = 1-i\frac{p}{\hbar}\cdot dx
\tag{5}
\]
と書き表せる。


[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/03 12:51

並進演算子 (1)

無限小並進演算子を導入する。
無限小並進演算子とは、位置ケットを無限小距離だけ変位させる演算子。
\[
T(dx)|x\rangle = |x+dx\rangle
\tag{1}
\]
x は3次元ベクトルで考えているが、太字は面倒なので略記する。

この演算子に要請される特徴を考える。

(1) ユニタリ性
演算子を作用させた後も、規格化されていなければならないことから、
演算子はユニタリである。
\[
T^\dagger T = 1
\tag{2}
\]

(2) 加法性
dx と dx' の並進を連続して行うと、dx + dx' の並進を行ったことに等しい。
\[
T(dx')T(dx) = T(dx+dx')
\tag{3}
\]

(3) 逆変換
逆変換は、-dx の変換を行うことに等しい。
\[
T^{-1}(dx) = T(-dx)
\tag{4}
\]

(4) 連続性
dx→0 で、恒等変換になる。
\[
\lim_{dx\rightarrow 0} T(dx) = 1
\tag{5}
\]

このような要請を満たす演算子として、以下のように定義する。
\[
T(dx) = 1 - iK\cdot dx
\tag{6}
\]
K はエルミート演算子として、dx の2次以上を無視すると、
4つの特性を満たすことが証明できる。(確認は省略)


[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/02 12:51

位置演算子

最近、話題があちこちに飛び火して申し訳ないのですが・・・

位置演算子運動量演算子について、
いろいろ勉強していたことがあって、
忘れないうちに簡単にまとめておきたいと思います。

後日、きちんと丁寧にやっていきたいと思っているのですが、
今回は簡単にエッセンスのみで。

教科書は、JJサクライ[1]です。

まず、位置演算子とその固有状態である位置ケットを導入。
日本語では、座標演算子と座標ケットの方が分かりやすいかもしれませんが、
原著の表現 position operator にならいました。

位置演算子とは、位置を測定することに相当する演算子。
位置 ${\bf x}$ に確定的に見出される状態を位置ケット $|{\bf x} \rangle$ で表すと、
位置ケットは、位置演算子の固有ケットであり、その固有値は位置を示す座標の値 ${\bf x}$ となる。

\[
\hat{{\bf x}} |{\bf x} \rangle = {\bf x} |{\bf x} \rangle
\tag{1}
\]

位置演算子はエルミートだから、位置ケットは直交していて、
さらに規格化しておくことにすると、
\[
\langle {\bf x}|{\bf x}' \rangle = \delta({\bf x}-{\bf x}')
\tag{2}
\]


一般の規格化された状態 $|\alpha\rangle$ を位置ケットで展開すると、
\[
|\alpha\rangle = \int d{\bf x} |{\bf x} \rangle \langle {\bf x}|\alpha\rangle
\tag{3}
\]

測定の確率的解釈から、
係数 $|\langle {\bf x}|\alpha\rangle|^2$ は、位置の測定において、
状態αが 位置 ${\bf x}$ に見出される確率を表すと解釈できる。

すなわち、これは波動関数と同一のものであると考えられる。

\[
\psi_\alpha({\bf x}) = \langle {\bf x}|\alpha \rangle
\tag{4}
\]

αのノルムを考えると、
\[
\langle \alpha|\alpha \rangle
= \int d{\bf x} \langle \alpha|{\bf x} \rangle \langle {\bf x}|\alpha \rangle
= \int d{\bf x} |\psi_\alpha({\bf x})|^2
\tag{5}
\]

となり、αが規格化されていれば、
確かに、波動関数の2乗を空間積分したものは1となっている。


[1] J.J.サクライ「現代の量子力学」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
位置と運動量 | コメント(0) | 2014/04/01 19:42
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