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自然放出

シッフにならって進めると、
今度は自然放出に進みます。

自然放出は、輻射場の量子化をしないと説明が難しいと思うのですが、
半古典論でも古典的な電荷振動による電磁波の輻射を量子化することによって、
一応、説明はできるようですね。

でも、任意性が残るらしくて、誘導放出のようにすっきりとはいかなさそう。
興味はあるのですが、場の量子化まで待つことにして、
この話題は飛ばそうと思います。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/03/07 15:19

電気双極子遷移

輻射による二準位間の遷移について、吸収および誘導放出の確率は、
\[
w_a = w_e = \frac{\pi e^2}{m^2c\omega_{kn}^2} I(\omega_{kn})
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\tag{1}
\]
と表せることが分かりました。
この積分の部分について考えます。

まず、系のサイズは、輻射の波長に比べて十分小さい
すなわち ${\bf k}\cdot{\bf r} \ll 1$ と仮定する。

たとえば、水素原子を考えると、
基底状態の波動関数のサイズは、ボーア半径 0.05 nm 程度。
これを励起するのに必要な紫外光の波長は、100 nm 程度。
ということで、仮定は成立している。

この仮定の下に、
\[
e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} = 1 + i{\bf k}\cdot{\bf r} + \cdots \sim 1
\tag{2}
\]
と近似できる。

そうすると積分は、
\[
\int u_k^* \nabla_A u_n d{\bf r}
\tag{3}
\]
となる。
簡単のために、A の方向を x 軸に取ると、
\[
\int u_k^* \frac{\partial u_n}{\partial x} d{\bf r}
= \frac{1}{i\hbar} \langle k | p_x | n \rangle
\tag{4}
\]

ここで、無摂動ハミルトニアン
\[
H_0 = \frac{{\bf p}^2}{2m} + V({\bf r})
\tag{5}
\]
に対して、x との交換関係を考えると、
\[
[x, H_0] = \frac{1}{2m}[x, p_x^2] = \frac{i\hbar}{m}p_x
\tag{6}
\]
これは、ハイゼンベルクの運動方程式
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[x, H_0] = \frac{p_x}{m}
\tag{7}
\]
にも対応している。

関係(6)を用いると、
\[
\langle k|p_x|n \rangle = \frac{m}{i\hbar}\langle k|[x,H_0]|n\rangle
\tag{8}
\]
となる。右辺は、
\[
\begin{array}{lll}
\langle k|[x,H_0]|n\rangle
&=& \langle k|xH_0|n\rangle - \langle k|H_0x|n\rangle \\
&=& E_n \langle k|x|n\rangle - E_k \langle k|x|n\rangle \\
&=& -\hbar\omega_{kn} \langle k|x|n\rangle
\end{array}
\tag{9}
\]
となるから、
\[
\langle k|p_x|n \rangle = im\omega_{kn} \langle k|x|n \rangle
\tag{10}
\]
これを用いて、運動量演算子の行列要素から位置演算子の行列要素に変換することができる。
(なんか不思議なんですけどね・・・)

というわけで、これを適用すると、(1)は、
\[
w_a = w_e = \frac{\pi e^2}{\hbar^2c} I(\omega_{kn}) |\langle k|r_A|n \rangle|^2
\tag{11}
\]
と表せる。
( $r_A$ は A 方向の座標成分を表す )

ここで、
\[
e\langle k|r_A|n \rangle = \langle k|er_A|n \rangle
\tag{12}
\]
は電気双極子モーメントを表すから、(11)で表される遷移を電気双極子遷移と呼ぶ。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)



ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/03/07 11:56

輻射の吸収・放出 (2)

状態 k (上準位)と n (下準位)の離散的な2準位( $E_k > E_n$) が存在して、
その準位間のエネルギーに共鳴したスペクトル広がりのある輻射
与えた場合を考える。

前回の結果を利用して、
光子を吸収して、n → k へ遷移する確率は、
\[
w_a = \frac{\pi e^2}{m^2c\omega_{kn}^2} I(\omega_{kn})
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\tag{1}
\]

光子を放出(誘導放出)して、k → n へ遷移する確率は、
\[
w_e = \frac{\pi e^2}{m^2c\omega_{kn}^2} I(\omega_{kn})
\left| \int u_n^* e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_k d{\bf r} \right|^2
\tag{2}
\]
前記事では、始状態が n 、終状態が k というお約束だったので、
今回は記号が入れ替わっていることに注意!

これを眺めると、違いは、|∫・・・|2 の部分だけ。
というわけで、この部分の違いを見ていくことにする。

(2)の方の積分を変形していく。部分積分を用いて、
\[
\int u_n^* e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_k d{\bf r}
= \int \nabla_A (u_n^* e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}) u_k d{\bf r}
\tag{3}
\]
無限遠境界で $u_n$, $u_k$ はゼロという条件を用いている。

ここで、
\[
\nabla e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} = -i{\bf k} e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}
\tag{4}
\]
で ${\bf k}\cdot{\bf A} = 0$ (横波の条件)だから、(3)は、
\[
\int (\nabla_A u_n^*) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} u_k d{\bf r}
\tag{5}
\]
となり、
\[
\left[ \int (\nabla_A u_n) e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} u_k^* d{\bf r} \right]^*
\tag{6}
\]
となる。

この絶対値の2乗を取ると、明らかに、(1) の|∫・・・|2の部分に一致する。 

つまり、
\[
w_a = w_e
\tag{7}
\]
となり、2準位間の吸収と誘導放出の確率は等しい。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/03/05 12:42

輻射の吸収・放出 (1)

始状態として束縛状態、終状態として連続状態を仮定すると、
以前の議論がそのまま使えて、
低エネルギーの束縛状態から高エネルギーの連続状態への遷移確率は、
\[
w = \frac{2\pi}{\hbar}|\langle k|H'_-|n \rangle|^2 \rho(k)
\tag{1}
\]
となる。

次に、束縛状態内部の離散準位間における遷移を考えたい。

まずは吸収の場合、すなわち
\[
E_k \sim E_n + \hbar\omega
\tag{2}
\]
の場合を考える。
この時、遷移振幅
\[
a_k^{(1)}(t) = -\frac{\langle k| H'_+ |n\rangle}{\hbar} \frac{e^{i(\omega_{kn}+\omega)t}-1}{\omega_{kn}+\omega} -\frac{\langle k| H'_- |n\rangle}{\hbar} \frac{e^{i(\omega_{kn}-\omega)t}-1}{\omega_{kn}-\omega}
\tag{3}
\]
において、第2項のみが支配的である。
\[
a_k^{(1)}(t) = -\frac{\langle k| H'_- |n\rangle}{\hbar} \frac{e^{i(\omega_{kn}-\omega)t}-1}{\omega_{kn}-\omega}
\tag{4}
\]\[
\langle k|H'_-|n \rangle = \frac{ie\hbar}{mc} \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0 \cdot \nabla u_n d{\bf r}
\tag{5}
\]
時刻 t において、状態 k に見出す確率は、
\[
|a_k^{(1)}(t)|^2
= \frac{4 |\langle k| H'_- |n\rangle|^2 \sin^2(\omega_{kn}-\omega)t/2 }
{\hbar^2(\omega_{kn}-\omega)^2}
\tag{6}
\]

今回は、終状態として離散準位を仮定しているため、
単色の輻射場の場合は、遷移確率はsin関数によって振動することになる。

一般には輻射場はある程度のスペクトル幅を有しており、単色光ではない。
そこでスペクトルの広がりを持った輻射場を仮定し、
さらに、スペクトル成分間に特別な位相関係を持たないと仮定する。

dωのスペクトル幅に含まれる輻射強度を $I(\omega) d\omega$ とする。
電磁波強度の式より、
\[
I(\omega)d\omega = d\left[\frac{2\omega^2}{c}|A_0|^2\right]
\tag{7}
\]
である。
行列要素の部分は、
\[
|\langle k|H'_-|n \rangle|^2
= \frac{e^2\hbar^2}{m^2c^2} |A_0|^2
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\tag{8}
\]
であるから($\nabla_A$ は A 方向の勾配)、(7)を用いて、
\[
d|\langle k|H'_-|n \rangle|^2
= \frac{e^2\hbar^2}{2m^2c\omega^2} I(\omega)d\omega
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\tag{9}
\]
(6)に代入して、
\[
d|a^{(1)}(t)|^2
= \frac{2e^2}{m^2c\omega^2} I(\omega)d\omega
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\frac{\sin^2(\omega_{kn}-\omega)t/2 }
{(\omega_{kn}-\omega)^2}
\tag{10}
\]

これをスペクトルで積分すると、全輻射に対する遷移確率が計算できる。
\[
w = \frac{1}{t} \int \frac{2e^2}{m^2c\omega^2} I(\omega)
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\frac{\sin^2(\omega_{kn}-\omega)t/2 }
{(\omega_{kn}-\omega)^2}
d\omega
\tag{11}
\]
十分な時間が経過すると、sin関数の部分はωに対してデルタ関数的になっていくので、
その他の部分は積分の外に出してよい。
積分変数を
\[
x = (\omega_{kn} - \omega)t/2
\]
と変換し、積分境界を∞に拡張して、
\[
w = \frac{e^2}{m^2c\omega_{kn}^2} I(\omega_{kn})
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\int_{-\infty}^\infty
\frac{\sin^2 x}{x^2} dx
\tag{12}
\]
積分公式
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \pi
\tag{13}
\]
を利用すると、最終的に離散準位間の吸収遷移の確率は、
\[
w_a = \frac{\pi e^2}{m^2c\omega_{kn}^2} I(\omega_{kn})
\left| \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\tag{14}
\]
と表される。

放出の場合、すなわち、
\[
E_k \sim E_n - \hbar\omega
\tag{15}
\]
の場合についても、今度は(3)において第1項のみを考えて同様の計算を行うと、
離散準位間の放出遷移の確率は、
\[
w_e = \frac{\pi e^2}{m^2c\omega_{nk}^2} I(\omega_{nk})
\left| \int u_k^* e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} \nabla_A u_n d{\bf r} \right|^2
\tag{16}
\]
となる。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/03/04 12:13

輻射の半古典論 (2)

輻射場のポテンシャルに、輻射ゲージ
\[
\nabla\cdot{\bf A} = \phi = 0
\tag{1}
\]
を用いることにする。
今、考えている電荷は、輻射場には影響を与えないものとして、
輻射場については、電荷も電流もない自由空間と仮定しておく。

すると、ハミルトニアンは以下のように少し簡単になる。
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2
+ \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
+ \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2 + V
\right] \psi
\tag{2}
\]

ここで、輻射電磁場 A は摂動論的に扱える程度に弱いとする。
すなわち、p << eA/c が成立しているようなケースを考える。

一次の摂動を考える上では、
A の二次の項は無視することができて、
A の一次の項のみを摂動と考えて、
\[
H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V
\tag{3.1}
\]\[
H' = \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
\tag{3.2}
\]
として、シュレディンガー方程式を
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = (H_0 + H')\psi
\tag{4}
\]
時間依存摂動論で近似的に解くことにする。

ベクトルポテンシャルとして、輻射ゲージにおける平面波の解
\[
{\bf A} = {\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\tag{6}
\]
を仮定する。
ここで、$\omega = ck$。

一次の時間依存摂動論の結果を用いる。

t=0 に摂動がかけられるとして、初期状態を |n> とすると、
時刻 t において、状態 |k> に遷移する振幅は、
\[
a_k^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t e^{i\omega_{kn}t'} \langle k| H'(t') |n\rangle dt'
\tag{7}
\]

(6)を(3.2)に代入して、
\[
H' = H'_+e^{i\omega t} + H'_-e^{-i\omega t}
\tag{8}
\]
\[
H'_+ = \frac{ie\hbar}{mc}e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0^* \cdot \nabla
\tag{9.1}
\]\[
H'_- = \frac{ie\hbar}{mc}e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0 \cdot \nabla
\tag{9.2}
\]

(8)を(7)に代入して、
\[
a_k^{(1)}(t)
= \frac{\langle k| H'_+ |n\rangle}{i\hbar} \int_0^t e^{i(\omega_{kn}+\omega)t'} dt'
+ \frac{\langle k| H'_- |n\rangle}{i\hbar} \int_0^t e^{i(\omega_{kn}-\omega)t'} dt'
\tag{10}
\]
積分して、
\[
a_k^{(1)}(t)
= -\frac{\langle k| H'_+ |n\rangle}{\hbar}
\frac{e^{i(\omega_{kn}+\omega)t}-1}{\omega_{kn}+\omega}
-\frac{\langle k| H'_- |n\rangle}{\hbar}
\frac{e^{i(\omega_{kn}-\omega)t}-1}{\omega_{kn}-\omega}
\tag{11}
\]

行列要素の部分は、
\[
\langle k|H'_+|n \rangle
= \frac{ie\hbar}{mc} \int u_k^* e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0^* \cdot \nabla u_n d{\bf r}
\tag{12.1}
\]\[
\langle k|H'_-|n \rangle
= \frac{ie\hbar}{mc} \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0 \cdot \nabla u_n d{\bf r}
\tag{12.2}
\]

以前の議論と同様に、
第1項は、$E_k - E_n = -\hbar\omega$ の時、
第2項は、$E_k - E_n = \hbar\omega$ の時のみ支配的となるから、
輻射場の量子(光子)の放出・吸収によって、状態が $\hbar\omega$だけ遷移している
と解釈することができる。
光子を厳密に扱えるようになるのは、輻射場の量子化をしてからですが・・・


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/02/28 12:55

輻射の半古典論 (1)

これまで、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンを計算してきたのは、
電場振動ではなく、輻射場(電磁波)による遷移
きちんと計算しようという意図でした。

ただ、ほんとにきちんとやるには、
輻射場自体をハミルトニアンに入れて、場の量子化を行わないといけないのですが、
今回は、まだ輻射場を古典的に導入する「半古典論」と呼ばれる方法です。

まずは、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン
\[
H = \frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi
\tag{1}
\]

これを用いて、時間依存シュレディンガー方程式は
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
= \left[
\frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi + V
\right] \psi
\tag{2}
\]
φは、輻射場のポテンシャル、
V は、輻射場以外の電荷を束縛しているポテンシャルと考える。

ここで、p は正準運動量なので、正準量子化の手続きに従って、
運動量演算子に置き換えることができる。
\[
{\bf p} = -i\hbar \nabla
\tag{3}
\]
さらに、
\[
\nabla\cdot({\bf A}\psi) = (\nabla\cdot{\bf A})\psi + {\bf A}\cdot\nabla\psi
\tag{4}
\]
であることに注意して、(1)を展開すると、
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
= \left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2
+ \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
+ \frac{ie\hbar}{2mc}(\nabla\cdot{\bf A})
+ \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2
+ e\phi + V
\right] \psi
\tag{5}
\]
となる。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/02/27 12:26
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