カテゴリ:群・環・体の定義 の記事一覧

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体の定義

(定義)

集合 K に加法・乗法の2つの演算が定義されていて、
以下の条件を満たす時、K はであるという。

(F1) 可換環である。

(F2) 0 以外のすべての元が単元である。


斜体(定義)
上記で環が非可換である場合、斜体と言う。

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/04/11 19:50

環の定義

(定義)

集合 A に加法・乗法の2つの演算が定義されていて、
以下の条件を満たす時、A はであるという。

(R1) 加法に関して、可換群をなす。
  単位元を 0 と書き、a の逆元を -a と書く。

(R2) 乗法に関して、結合法則が成り立つ。
  すべての $a,b,c \in A$ に対して、$(ab)c = a(bc)$。

(R3) 分配法則
  すべての $a,b,c \in A$ に対して、
  $a(b+c) = ab + ac$、$(a+b)c = ac + bc$。

(R4) 乗法に関して、単位元 1 が存在。
  すべての $a \in A$ に対して、$1a = a1 = a$。



可換環(定義)

上記に加えて、乗法に関しても交換法則を満たす。
(R5) 乗法に関する交換法則
   すべての $a,b \in A$ に対して、$ab = ba$。



0 の性質

任意の $a \in A$ に対して、$0a = a0 = 0$。

(証明)
$(0+0)a = 0a$ より、分配法則を用いて、$0a + 0a = 0a$。
両辺に -0a を加えると、$0a = 0$。
$a0 = 0$ に関しても同様。
(証明終了)

自明な環

$0=1$ ならば、元として、0 (=1) のみを持つ自明な環となる。

(証明)
任意の元 a に対して、$a = 1a = 0a = 0$。(証明終了)

単元・乗法群

乗法に関して逆元を持つ元を単元(可逆元・正則元)と呼び、
環 A の単元をすべて集めた集合を $A^\times$ と表記する。

$A^\times$ は乗法に関して群をなす。

(証明)
(G1) 閉性。任意の単元 a, b の積 $ab$ は逆元 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ を持つから、単元。
(G2) 結合法則は、環の定義より成立。
(G3) 単位元 1 の逆元は1 であるから、1 は単元である。
(G4) 逆元。任意の単元 a に対して、逆元 $a^{-1}$ の逆元は a 自身であるので、$a^{-1}$ も単元である。
(証明終了)

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/04/10 23:20

群の定義

以前から細々と代数系の勉強もしていて、
「群・環・体」の定義がようやく頭に入ってきたところです。
そこで、まとめておこうと思います。

(定義)

集合 G (≠Φ)上で G x G の演算が定義されていて、
以下の条件を満たすとき、G はであるという。

(G1) 閉性
 すべての $a, b \in G$ に対して、$ab \in G$。

(G2) 結合法則
 すべての $a,b,c \in G$ に対して、$(ab)c = a(bc)$ が成り立つ。

(G3) 単位元の存在
  ある元 $e \in G$ が存在して、すべての元 $a \in G$ に対して、$ae = ea = a$ となる。
  単位元は群に対して一意的であり、1 と書く。

(G4) 逆元の存在
  任意の元 $a \in G$ に対して、ある元 $b \in G$ が存在して、$ab = ba = e$ を満たす。
  逆元は与えられた元に対して一意的に決まり、$a^{-1}$ と書く。


(注)通常、(1) は演算の前提であって、群の公理としては (2)~(4) の3つを書くことが多いが、
   群かどうかのチェックをするのに、(1) も要件になるので、あえて、4つの条件とした。

単位元の一意性
$e = ee' = e'$

逆元の一意性
$b = be = b(ab') = (ba)b' = eb' = b'$

可換群(アーベル群、加法群)(定義)

上記に加えて、交換法則を満たす。
(G5) 交換法則
  すべての $a,b \in G$ に対して、$ab = ba$

 このとき、$ab$ を $a+b$ とも書き、単位元を 0、a の逆元を -a と書く。



群の位数(定義)

群 G の元の個数を G の位数と呼び、$|G|$ と表記する。
位数が有限の群を有限群、無限の群を無限群と呼ぶ。




参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/03/31 19:52
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