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ありえない入試問題 解答編 (2)

続いて、問2の解答編。

問2:犯罪行為である場合

コンビニ強盗がレジから10万円を奪い、逃走しました。
図のような碁盤の目状の道路を仲間が待つポイントまで最短経路で逃走するとして、
×印の検問に捕まらずに逃げ切れる確率はいくらか?
また、手にすることができる金額の期待値はいくらか?
(ただし、分岐点では等確率で→と↓を選択するものとします)

nyushimondai01.jpg
解答
これは、ちょっとした引っかけ問題です。
どこがひっかけなのかを説明する前に、まずは解答から。


上図の例のように、検問所へ最短経路で到達するには、
出発点(コンビニ)を含めて、必ず3回、分岐点(図中○印)を通る。

検問所に到達するのは、その3回の分岐のうち、
1回は右方向、2回は下方向を選択しなければならない。

それぞれの分岐点で分岐を決める確率は1/2なので、
3回分岐を選択して、一種類のルートを選択する確率は
(1/2)3 = 1/8

ルートの数は、3回のうち1回右方向を選ぶ組み合わせの数に等しいから、
3C1 = 3! / 2!1! = 3 (通り)

よって、検問所に至る確率は、
3 x 1/8 = 3/8

逃げ切れる確率は、その余事象だから、
1 - 3/8 = 5/8

逮捕された場合、奪ったお金は没収されるので、期待値は、
3/8 ×¥0 + 5/8 ×¥100,000 = ¥62,500

答え:逃げ切れる確率は5/8、期待値は¥62,500

間違い例
間違い例として、次のようなものが考えられます。

コンビニから仲間(ゴール)へ到達するすべての最短経路の数は、
合計6回、右方向と下方向を選択して、
そのうち3回右方向を選択しなければならないから、
6個から3個を選択する組み合わせの数に等しい。
すなわち、
6C3 = 6! / (3!3!) = (6x5x4) / (3x2) = 20 (通り)

そのうち、途中で検問所を通るルートの数は、同様の考え方で
検問所へ至るまでのルートの数が3C1
検問所から仲間までのルートの数が3C2なので、
3C1 x 3C2 = 3 x 3 = 9 (通り)

よって、検問所へ到達する確率は、9/20
逃げ切れる確率は余事象なので、
1 - 9/20 = 11/20

上の解答と答えが違ってますが・・・
さて、どこで間違えたのでしょうか???
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数学>高校+α | コメント(6) | 2009/07/22 22:02

ありえない入試問題 解答編 (1)

まずは、問1の解答編。

問1:世俗的過ぎる問題
Aさんは実年齢34歳ですが、人前では若く見られるように、
適度にサバを読んでいます。
サバ分と嘘年齢を掛け算すると、168になるそうです。
さて、Aさんは何歳サバを読んでいるでしょうか?

解答
サバをα、嘘年齢をβとすると、
α +β = 34 ・・・①
また、サバと嘘年齢の積の条件から、
αβ = 168 ・・・②

ここで、二次方程式の解と係数の関係を用いると、
α、βは、二次方程式 x2 - (α+β) x +α β = 0
の解であるから、①、②を満たすα、βは、
x2 - 34 x + 168 = 0 ・・・③
の2つの解である。

左辺を以下のように平方完成して、
x2 - 34 x + 168 = 0
x2 - (2×17) x = -168
x2 - (2×17) x + 172 = -168 + 172
( x - 17 )2 = 121

両辺の平方根を取る。
x - 17 = ±11
x = 17 ± 11
∴ x = 28 または x = 6

ゆえに、以下の2つの場合のいずれかとなる。
(i) α = 28、β = 6
(ii) α = 6、β = 28


(i)の場合、28歳のサバを読んで、嘘年齢が6歳ということになるので、
いくらなんでも、サバの読みすぎ!!!
ということになり、「適度にサバを読んでいる」という題意に反するため、不適。

したがって、解は(ii)の場合となり、Aさんは、6歳、サバを読んでいる。

解と係数の関係を使いたくない方へ
②より、α≠ 0
β= 168 / α・・・④

これを①に代入すると、
α + 168 / α = 34
両辺にαを掛けて、
α2 + 168 = 34α
∴α2 - 34α + 168 = 0
となり、③と同じになる。

①、②の条件式は、α、β入れ替えても成り立つので、
βについても同じ式が成立するので、
α、βは
x2 - 34 x + 168 = 0 ・・・③
の2つの解である。
以下は同様。
数学>高校+α | コメント(0) | 2009/07/20 18:16

ありえない入試問題

入試にはありえないと思われる数学の問題を作ってみました。

問1:世俗的過ぎる問題

Aさんは実年齢34歳ですが、人前では若く見られるように、
適度にサバを読んでいます。
サバ分と嘘年齢を掛け算すると、168になるそうです。
さて、Aさんは何歳サバを読んでいるでしょうか?

問2:犯罪行為である問題

コンビニ強盗がレジから10万円を奪い、逃走しました。
図のような碁盤の目状の道路を仲間が待つポイントまで最短経路で逃走するとして、
×印の検問に捕まらずに逃げ切れる確率はいくらか?
また、手にすることができる金額の期待値はいくらか?
(ただし、分岐点では等確率で→と↓を選択するものとします)

nyushimondai01.jpg
(↑絵が汚くてスミマセン。ブログのお絵かきエディターを使ってみました)

一応、まじめに作ったつもりですが、出題ミスがあったら、スミマセン。
お気が向きましたら、コメントで回答して下さいね!

しばらくしたら、解答編をアップしたいと思います。
(間違ってるかもしれませんが・・・汗)
数学>高校+α | コメント(6) | 2009/07/15 01:38
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