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円周率=3

円周率は厳密に3である!
(3.141592・・・なんかじゃなくて)
という見事な証明がアンサイクロペディアに載ってたので、
こちらで紹介させていただきます。

せっかくですので、数学の苦手な方にも分かるように、
なるべく分かりやすく説明してみたいと思います!
中学レベルの数学で理解できますので、気楽に読んでみてください。

まず、円周率は未知数なので、πとしましょう。

そして、πに3を足して、2で割った数をαとします。
つまり、
pi3proof01.jpg
πは未知数なので、αも当然、この時点では未知数です。

等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成立しますから、
両辺に2をかけます。
pi3proof02.jpg
さらに、両辺にπ-3をかけましょう。
pi3proof03.jpg
括弧を外すと、
pi3proof04.jpg
となりますね。

ここで、右辺の変形がちょっと難しいでしょうか。。。
(π+3)(π-3)
=π(π-3)+3(π-3)
=π2-3π+3π-9
=π2-9
というように、ひとつひとつ丁寧にやっていけばOKですね。

もちろん、
(a+b)(a-b)=a2 - b2
という公式を知っていれば、すぐに計算できます。

そして、移項して、πの入っている項を右辺に、入っていない項を左辺に移動します。
左辺から右辺、右辺から左辺に持っていくときは、
符号を反転するんでしたね。
(例えば、右辺の-9は左辺に移す時、+9になります)
pi3proof05.jpg
等式の両辺に同じ数を足しても、等式は成り立ちますね。
そこで、両辺にα2を足します。
pi3proof06.jpg
ここからが一番難しいところでしょうか。
両辺ともに因数分解によって、このように変形できます。
pi3proof07.jpg
(a-b)2 = a2 -2ab+b2
という公式を覚えていれば、簡単なのですが、
公式を知らなくても、下の式から地道に計算すれば、
上の式と等しいことが分かります。

たとえば、右辺をやりましょう。
(α-π)2
=(α-π)(α-π)
=α(α-π)-π(α-π)
=α2-απ-πα+π2
=α2-πα-πα+π2
=α2-2πα+π2
という風に、上の式の右辺と一致します。
左辺についても、同様に一致することがわかります。

そして、2乗して等しいということは、中身が等しいということですから、
pi3proof08.jpg
となりますね。

最後に、両辺からαを引き算すると、αが消えて、
-3 = -π

πと3をそれぞれ逆の辺に移項すると、
見事に・・・
pi3proof09.jpg
という結果になります!

つまり、未知の円周率は、厳密に3であるということが証明できました!
π=3.0000・・・ってことが分かったので、これから計算するのが楽になりますね。
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数学>高校+α | コメント(6) | 2010/04/15 23:24
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