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∫ 群の逆元と逆行列

群論始めてまだ一週間の超初心者がこんな記事を書いて、
はなはだ申し訳ないのですが・・・

片側の逆元と単位元の存在を仮定するだけで、
もう一方の逆元・単位元の存在が証明できてしまう!


というのはなんだか摩訶不思議で、面白いですね!

詳しく書くと・・・

群 G を最小限の定義を用いて、以下を満たすような集合 G と定義します。

(1) 閉じた積が定義される。 すなわち、a,b ∈ G ⇒ ab ∈ G
(2) 結合法則が成立。すなわち、(ab)c = a(bc)
(3) すべての元 a に対して、ae = a となる 右単位元 e がGに存在。
(4) 元 a に対して、必ず、aa-1 = e となる 右逆元 a-1 がGに存在。

ここで、右単位元、右逆元の存在を仮定するだけで、
これらは自然に、
ea = a となる 左単位元
a-1a = e となる 左逆元
にもなっているらしいのです。

証明はわりと単純。
右逆元もGの元だから、さらに、その右逆元が存在するはずで、
a-1 (a-1)-1 = e

右単位元を用いながら、右辺を変形して、
a-1 (a-1)-1
= ( a-1 e ) (a-1)-1
= { a-1 ( a a-1 ) } (a-1)-1
= ( a-1 a ) { a-1 (a-1)-1 }
= ( a-1 a ) e
= a-1 a

∴ a-1 a = e

となり、a-1が左逆元であることは、証明終了。

ae = a に上の式を代入すると、
a ( a-1 a ) = a
( a a-1 ) a = a
e a = a

となり、eが左単位元であることも、証明終了。

なぜ、こんな記事を書いたかというと、
正方行列の逆行列との関連性。

AA-1 = E を満たす A-1 (右逆行列)が存在すれば、
A-1A = E となり、左逆行列でもある。
(有限次元の場合)

という定理がありました。

教科書に載っているこの定理の証明がなんだか複雑で、
あまりフォローする気になれないのですが、
群の場合のすっきりとした証明との違いは何なのだろう?
と、疑問に思ったんです。

考えてみると、大きな違いは、群の場合、
「右逆元にも、さらにその右逆元が必ず存在する」
ということが前提されているのがポイントなんでしょうね。

上の行列の定理の場合、
AA-1 = E を満たす A-1 (右逆行列)が存在することはわかっても、
さらにその右逆行列 (A-1)-1 が存在する保証はないので、
群のような証明の論理が使えないということになります。

というよりも、
この定理を別の手段で証明してはじめて、
正則行列が群をなすことが示せるという論理なんでしょうか。

もう少し群論読み進めてみないと、わかりませんね。
あまり深みに入らないように気をつけます(笑)


参考文献:
Frederick W. Byron Jr. Robert W. Fuller
"Mathematics of Classical and Quantum Physics"
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数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2011/04/27 23:05

∫ 群論 (3)

群論は、非常に面白いけど、頭使いますね!
ふだんとは違う脳みその部分を使う気がします(笑)

先日の記事でご紹介した洋書は、やっぱり難しすぎて、
既についていけてないので、
先日、買おうかどうか迷っていた「群と表現」という本を
アマゾンの中古で注文しました!

ところで、いろいろ、ネットで調べていたら、
この本が分かりやすいと定評があるようですね。

群論への30講 (数学30講シリーズ)
群論への30講 (数学30講シリーズ)志賀 浩二

朝倉書店 1989-08
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非常に迷ったのですが、やはり、前の記事で紹介した「群と表現」の方が
一番知りたいユニタリ群と角運動量のことがバッチリ書かれているので、
まずは、そちらを買うことにしました。

来週、GWにアメリカ出張があるので、長時間フライトのお供によさそうです(笑)
もっとも、いつも、本を用意してはいくものの、
寝たり、食べたり、映画見たり・・・で忙しく、あんまり読めた例ありませんけどね(汗)

そして、とりあえず、今は、この本の最後の章にちょっとだけ載っている
群論の入門部分を読んでいます。

Mathematics of Classical and Quantum Physics
Mathematics of Classical and Quantum PhysicsFrederick W. Byron Jr. Robert W. Fuller

Dover Publications 1992-08-20
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この本も、アメリカ滞在時に買いこんだ安い洋書のうちの一冊ですが、
これが、とても分かりやすい良書なんですよ。

以前に特殊関数の記事で紹介した物理数学の本の洋書版みたいな本で、
物理数学のいろいろな項目が一冊に詰め込まれているのですが、
この本は、変分法、ベクトル空間からヒルベルト空間、複素解析、グリーン関数、
そして群論まで載ってると言う詰め込みよう(笑)

もちろん、ページ数の関係で全部を網羅することは不可能ですが、
それなりに証明もちゃんと載っていて、分かりやすいです。
その群論のところを読み始めたばかりですが、
初めに読んだ洋書とは比べ物にならないぐらい分かりやすい!
これから、どうなるか分かりませんが、もう少し読み進めてみたいです。
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2011/04/26 23:03

∫ 群論 (2)

ずっと昔に、仕事でアメリカに住んでたことがあり、
その時になんとなく買っておいた群論の本。

Group Theory and Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics and Chemistry)
Group Theory and Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics and Chemistry)Morton Hamermesh

Dover Publications 1989-12-01
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なんのために、こんな本を買ったのか分かりませんが、
このDoverというところの本は、とにかく安かった!
という記憶だけはあります(笑)
一冊あたり1000円前後という、専門書にしては破格の安さ。

もちろん、これまでは本棚に「つん読」状態でしたが(汗)、
ここへ来て初めて、読み始めてみました。

まだ、本当に初めの群の用語定義のあたりですが、
なかなか面白いですね!
(初めだから、そんなことが言えるだけかもしれませんが)

近くの書店で、群論関係の本をいろいろ立ち読みしてみましたが、
しっくり来たのがこの本。

群と表現 (理工系の基礎数学 9)
群と表現 (理工系の基礎数学 9)吉川 圭二

岩波書店 1996-10-18
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純粋数学モノではなく、物理志向のもの。
特に知りたい、回転群と角運動量のかかわりが分かりやすく
書かれてそうなので、興味津々。

昨日、都心に行く用事があったので、神保町の古本屋によってみたのですが、
あいにく、このシリーズのこの巻だけありませんでした。。。
アマゾンの古本を注文してもいいのですが、
今、読み始めている洋書の方もわりと読み進められそうな感じなので、
しばらく洋書の方で行ってみようか、迷い中。

そして、せっかく古本屋によったので、
かの有名な人気書、J.J.サクライの「現代の量子力学」を買いました。
初めの方だけ少し読んだことがあって、
皆さん絶賛されるだけあるなあと思っていたので、
いずれは購入したかったんです。
ちなみに、買ったのは、改訂前の初版です(安かったので・・・)

Modern Quantum Mechanics (2nd Edition)
Modern Quantum Mechanics (2nd Edition)J. J. Sakurai Jim J. Napolitano

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基本的には、シッフをメインに続けていくつもりですが、
こちらも並行して読めればなあと思います。
単なる、コレクションにならないことを願って・・・(笑)
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2011/04/24 13:43

∫ 群論

どうにも、物理数学ネタの連続でスミマセン。

角運動量を理解するぞ!という意気込みで、
シッフを読み進めていたのですが・・・

第27節(回転、角運動量、ユニタリー群)の途中あたりから

シッフ先生、暴走してやしませんか!?

いきなり、群論のオンパレード!(笑)
SU(2)やらSU(3)やら・・・???

まあ、自らの数学的素養のなさの致すところなので、
文句言える筋合いはまったくございませんが・・・

群論だけは、手を出したくない・・・と思っていたのですが、
やらなきゃ、だめですかね。

その前の節(26-5 群の概念)で、
「群論の形式的な面は本書では本質的には無用であるはずである・・・」
と書かれているので、安心しきってたんですけどね。
そのあとに続く「とはいうものの・・・」という表現がちょっと気にはなってましたが(笑)

やっぱり、群論やらなきゃだめってことですか?(笑)

いずれ、どこかで必要になるだろうからやった方がいいでしょうね。
アマゾンで良書がないかいろいろ検索してみて、
カスタマレビューを眺めて、いくつかよさそうな本ありましたが、
群論自体、かじったこともないので、どの本がいいのかよくわかりません。
とりあえず、昔、なんとなく買った洋書の本をパラパラとめくってますが、
大変そう・・・(^^;

束縛状態のところでは、特殊関数を予習して、
行列形式のところでは、線形代数を勉強して、
物理やろうとすると、ほとんど数学に時間が取られている気がしますね(笑)
すべて、数学的素養がないからですけど・・・(汗)
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2011/04/22 13:08

∫ 角運動量

量子力学の勉強の進捗状況。

特殊関数の修行をしばらくやってたおかげで、
(これに関しては、「修行」という語感がぴったり・・・笑)
束縛状態(調和振動子、水素原子など)のあたりは、
だいぶ理解が深まってきた気がします。
とにかく、計算に次ぐ計算で、気づいてみたら、
もう、ファイル2冊分ぐらいになってるし・・・(汗)

次は、連続状態(衝突、散乱)で、こっちも超重要なのですが、
シュレディンガー方程式を解くのにいい加減飽きたので、
気分を入れ替えるために、とりあえず、スキップ(笑)
もちろん、重要だし、ここで知りたい知識もたくさんあるので、
あとでやるつもりではいます^^;

で、このところ記事にしていた行列形式をさらっとやって、
対称性に入りました。
ここでは、「角運動量」をなんとかモノにしたいんです!

この角運動量というやつが難物で、
これまで何度勉強しても、いまいち理解できない・・・>_<:
古典力学の世界なら、L = r x p で、
中心力場では保存するというだけの非常にわかりやすい話なのですが、
量子力学になると、なんであんなに難しくなるんだろう?

いろんな演算子が出てきて、さっぱり何をやっているのか
わからなくなってしまいます。。。
おまけに、スピンも登場するし。

とはいっても、
電子は原子核からの中心力場で運動するので、
角運動量が分からないと、お話になりません。
今回こそは、乗り越えるぞ!

・・・と、とりあえず、宣言しておけば、
乗り越えられるような気がする(笑)
物理>量子力学 | コメント(0) | 2011/04/20 17:37
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