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調和振動子 (2)

有言実行ってことで、まずは、ストイックな
特殊関数を使って、バリバリと解いていく方法
で・・・

調和振動子(固有振動数ω)のポテンシャル V(x) は、
\[
V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2
\]

HarmonicOscPotential01.jpg


これを使って、Schrodinger方程式を立てると、
\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2u(x)}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2 u(x) = Eu(x)
\tag{1}
\]
これを解いていけばいいのですが、
まずは、座標xを無次元化して、見通しをよくする。

無次元量 $\xi = \alpha x$ に変換すると(αは1/長さの次元)

\[
d/dx = \alpha d/d\xi
\]\[
d^2/dx^2 = \alpha^2 d^2/d\xi^2
\]
Schrodinger方程式(1)は、
\[
-\frac{\hbar^2\alpha^2}{2m} \frac{d^2u}{d\xi^2} + \frac{m\omega^2\xi^2}{2\alpha^2} u = Eu
\tag{2}
\]
d2u/dξ2の係数を1にして、
\[
\frac{d^2u}{d\xi^2} - \frac{m^2\omega^2}{\hbar^2\alpha^4}\xi^2 u = -\frac{2mE}{\hbar^2\alpha^2}u
\]

ξ2の係数も1になるように、αを選ぶ。
\[
\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2\alpha^4} = 1
\]
すなわち、
\[
\alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}
\tag{2}
\]

さらに、Eの部分の係数をλとおく。
\[
\lambda = \frac{2mE}{\hbar^2\alpha^2}
\]

(2)を用いて、
\[
\lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}
\tag{3}
\]
\[
E = \frac{\lambda}{2}\hbar\omega
\tag{4}
\]

結局、Schrodinger方程式は、
\[
\frac{d^2u}{d\xi} + (\lambda - \xi^2)u = 0
\tag{5}
\]
となり、スッキリとした形に。

それにしても、ブログで数式書くのは疲れますね!
早くも挫折の予感(汗)
今日は、こんなところです。
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調和振動子 | コメント(0) | 2011/07/15 00:46
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