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∫ 調和振動子 (3)

前回、すっきりと見やすくしたSchrodinger方程式からスタート。
\[
\frac{d^2u}{d\xi^2} + (\lambda - \xi^2) u = 0
\tag{1}
\]
文字の意味を振り返っておくと、
u(ξ) : 固有関数
ξ : 無次元化した位置座標
λ: 無次元化したエネルギー固有値

以下、微分記号を簡単に次のように書くことにします。
\[
u'' + (\lambda - \xi^2) u = 0
\tag{2}
\]

シッフの教科書のレシピに従えば、
まずは、無限遠(ξ→∞)における漸近解を求めます。

ξ→∞にすると、(2)式は、
\[
u'' = \xi^2 u
\tag{3}
\]
となります。

これを満たす解を求めればよいのですが、
たいていの教科書では、いきなり、ポンと答えが書いてあるだけ・・・
こういうのって、非常にやる気が萎えるんですよね(笑)

大真面目にやろうとすると、どうやるのか僕も分からないのですが、
ここは、dyne流ということで、テキトーにやってみようと思います(笑)

まずは、式(3)をぐっと睨んでみると・・・(別に睨まなくてもいいけど)
2回微分すると、ξが2個前に出てきてるようです。
・・・ってことは、1回微分すると、ξが1個出てくるようなものではないか
と想像できます。

これを式にすると、
\[
u' = \xi u
\tag{4}
\]
こんな感じのものではないかと。(この段階では、あくまでも推測)

この式は、真面目にやっても、解けます。
つまり、$du/u = \xi d\xi$ と変数分離して、両辺を積分すると、
\[
u = u_0 \exp (\xi^2/2 )
\tag{5}
\]
という解が得られます。

ところが、この解は数学的にはいいのですが、物理的には正しくない解。
というのは、波動関数は、無限遠でゼロに収束しなければならないのに、
この解は、ξ→∞で発散しちゃってます!

そこで、もう一度元に戻って、
1回微分すると、ξではなく、-ξでもよいのでは?
ということに気づきます。
-ξでも2回掛け算すると、+ξ2になるので。

そうすると、(4)式は、
\[
u' = -\xi u
\tag{4'}
\]
に変わって、解(5)は、
\[
u = u_0 \exp ( -\xi^2/2 )
\tag{5'}
\]
に変わり、今度は無限遠でちゃんとゼロに収束してくれる解が得られました。

でも、ここまでは単なる推測で解いただけなので、
実際に無限遠でおおもとの式(3)を満たすことを確認する必要があります。

1回微分すると、
\[
u' = -\xi u_0 \exp (-\xi^2/2 )
\]

再度微分すると、
\[
u'' = (\xi^2 - 1) u_0 \exp (-\xi^2/2)
\]
ξ→∞とすると、(3)式を満たすことは明らか。

というわけで、
\[
u = u_0 \exp(-\xi^2/2)
\tag{5'}
\]
は、無限遠での漸近解であることが分かりました。

さらに、係数のところに有限の多項式がかかっても、
無限遠では、有限の多項式よりもexpの方が勝つので、漸近解となります。

無限の多項式でも、場合によっては、expが勝つので、
無限の多項式(無限級数)H(ξ)を導入して、
\[
u = H(\xi) \exp(-\xi^2/2)
\tag{6}
\]
として、次は、Schrodinger方程式(2)を満たす解を探すことにします。
続きは次回。

参考文献:シッフ「量子力学(上)」
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調和振動子 | コメント(0) | 2011/08/02 19:51
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