スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

∫ 調和振動子 (6)

前回までで、調和振動子のエネルギー固有値が

λ = 2n + 1   ( n = 0,1,2,・・・)    (1)
E = ( n + 1/2 ) hω   ( n = 0,1,2,・・・)   (2)

というような離散的な値をとることが分かったところ。

次に、波動関数がどうなるか考えていきます。

(1)のλの式をSchrodinger方程式
H" - 2ξH' + (λ-1) H = 0  (3)
に代入すると、

H" - 2ξH' + 2n H = 0  (4)

となります。

この式を満たす多項式 Hn(ξ)は、エルミート多項式として知られています。

「知られています」だけで終わるわけにいかないので、
次回からしばらく、エルミート多項式についてのお勉強。
まだまだ、先が長い・・・
スポンサーサイト
調和振動子 | コメント(0) | 2011/12/13 12:02

∫ 調和振動子 (5)

前回、得られた結果

s(s-1) a0 = 0  (1)
s(s+1) a1 = 0  (2)
(n+s+2)(n+s+1) an+2 = { 2(n+s) + 1 -λ } an  (n≧0)  (3)

から、解を考えていきます。

まずは、a0≠0 だから、(1)より、
s = 0 または s = 1 のいずれかとなります。

s = 0 ならば、a1は任意の値を取れますが、
s = 1 ならば、(2)より a1 = 0 でなければなりません。

いずれの場合も、n ≧ 2 の値については、(3)の漸化式を用いて、
a0、a1の初期値から順々に求めて行くことになります。

(3)より
an+2/an = { 2(n+s) + 1 -λ } / (n+s+2)(n+s+1)  (n≧0)  (4)

n→∞の極限を考えると・・・
an+2/an → 2 / n

もともとの級数の定義に戻って考えてみると、
H(ξ) = Σn=0 an ξn+s   (5)

nの十分大きいところでは、級数の項は、
2n ξ2n / n! のようになることが分かります。

つまり、
H(ξ) ~ exp ( 2ξ2 )
のような振る舞いをすることになり、波動関数uは、
u ~ exp ( 2ξ2 ) exp (-ξ2/2) = exp ( 3ξ2/2 )
となり、無限遠で発散してしまい、物理的にはNG!

ということから、級数の項はどこかで切れて、
有限の級数にならなければならない!

(4)の漸化式を見ると、
偶数項は a0 → a2 → a4 → ・・・ というように、a0から作られ、
奇数項は a1 → a3 → a5 → ・・・ というように、a1から作られます。

奇数項については、a1 = 0 として、すべて0にできるが、
a0≠0 であるから、偶数項のどこかで切れなければならない。

そのためには、ある偶数nに対して、
2(n+s) + 1 -λ = 0
となればよい。すなわち、
λ = 2(n+s) + 1

s=0 と s=1 の両方が許されるから、
ある整数nに対して
λ = 2n + 1
という条件になります。

というわけで、無次元化されたエネルギー固有値λは、
λ = 2n + 1   ( n = 0,1,2,・・・)    (6)
と離散的な値しか許されないことになります。

以前の記事の(4)式
E = λhω / 2
を用いると、

エネルギー固有値 E は、
E = ( n + 1/2 ) hω   ( n = 0,1,2,・・・)   (7)

という離散的な値を取ることが分かります。

やっと、固有値がどのように表されるかまで、できました。
次は、波動関数がどのような形になるかを見ていきます。
ここからがさらに大変

参考文献:シッフ「量子力学(上)」
調和振動子 | コメント(0) | 2011/12/13 12:01

∫ 調和振動子 (4)

珍しく、気分が乗ってまいりましたので、久しぶりに物理のお勉強。

前回に引き続き、調和振動子のSchrodinger方程式を解いていきます。
u" + (λ - ξ2) u = 0  (1)

u(ξ) : 固有関数
ξ : 無次元化した位置座標
λ: 無次元化したエネルギー固有値

前回、無限遠での漸近解を求めましたので、
u = H(ξ) exp (-ξ2/2)  (2)

の形での解を求めていくことにします。

uを微分すると、

u' = ( H' - ξH ) exp(-ξ2/2)

さらに微分すると、
u" = ( H" - H - ξH' ) exp - ( H' - ξH ) ξ exp
  = { H" - 2ξH' + (ξ2-1)H } exp

となるから、(2)を(1)に代入すると、H(ξ)の満たすべき方程式は、

H" - 2ξH' + (λ-1) H = 0  (3)

となります。

ここまでは簡単ですが、ここからがちょっと複雑。

まずは、無限級数 H(ξ)を
H(ξ) = Σn=0 an ξn+s   (4)
とおきます。

sは最低次の次数で、s≧0、a0≠0

微分して、
H'(ξ) = Σn=0 (n+s) an ξn+s-1   (5)

さらに、微分して、
H"(ξ) = Σn=0 (n+s)(n+s-1) an ξn+s-2   (6)

(4)~(6)をごっそり、(3)に代入して、

Σn=0 [ (n+s)(n+s-1) an ξn+s-2
       - 2(n+s) an ξn+s + (λ-1) an ξn+s ] = 0


少しまとめて、

Σn=0 [ (n+s)(n+s-1) an ξn+s-2
       - { 2(n+s) + 1 -λ } an ξn+s ] = 0


ここで、ξのべき指数を合わせるために、第一項だけ n-2→n にずらします。

Σn=-2 (n+s+2)(n+s+1) an+2 ξn+s
- Σn=0 { 2(n+s) + 1 -λ } an ξn+s = 0


そうすると、n≧0 の部分は、ξn+sでまとめることができて、

s(s-1) a0 ξs-2 + s(s+1) a1ξs-1
+ Σn=0 [ (n+s+2)(n+s+1) an+2 - { 2(n+s) + 1 -λ } an ] ξn+s = 0


任意のξに対して、恒等的に成立するためには、
ξのべきの各係数がすべて0でなければならないから、

s(s-1) a0 = 0  (7)
s(s+1) a1 = 0  (8)
(n+s+2)(n+s+1) an+2 = { 2(n+s) + 1 -λ } an  (n≧0)  (9)

という結果になります。

長くて疲れてしまったので、今日はこの辺で・・・
検算もしてませんが、また間違ってたら、あとで修正します

追記(12/14)
やはり、間違いがありましたので、修正しました。
(λ-1 になっていたところを 1-λに修正)
調和振動子 | コメント(4) | 2011/12/13 12:00
 | HOME | 

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。