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オイラーの公式 (2)

オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法の話。

一つ目の方法は、Wikipediaに載っている方法で、
非常にだまされた気になるような証明ですが(笑)、
これなら、高校生でも十分理解できる素晴らしい証明ですね!

まずは、いきなり、
\[
f(x) = (\cos x - i\sin x) e^{ix}
\]
という関数f(x)を考えます。
ここで、いきなり、なんで???と言いたくなるでしょうけど、ここはぐっと我慢(笑)

このf(x)を微分してみます。
積の微分は、
前を微分して、後ろを微分しないものと
前を微分しないで、後ろを微分するものとを足すんでしたね。

f'(x) = (cos x - i sin x)' eix + (cos x - i sin x) (eix)'
   = (- sin x - i cos x) eix + (cos x - i sin x) ieix
   = (- sin x - i cos x + i cos x + sin x) eix
   = 0

なんと素晴らしいことに、微分したら0になってしまうんです。
ということは、f(x)は定数ってことになります。

定数の値は、何か適当に x を入れれば、出てくるので、x = 0を入れると、

f(0) = (cos 0 - i sin 0) e 0 = 1

となるので、f(x) = 1 です。
つまり、
(cos x - i sin x) e ix = 1

ここまで来たらもう、求めたい eix の前についている
余計な因子で両辺を割ってしまえばよいだけです。

eix = 1 / (cos x - i sin x)

分母を実数化するために、複素共役 cos x + i sin x を分母分子にかけると、

eix = (cos x + i sin x) / (cos2 x + sin2 x)

cos2 x + sin2 x = 1 より、

eix = cos x + i sin x

となり、オイラーの公式が出てきます!

なかなかエレガントな証明ですよね!

ここで、なぜ、あの変な関数 f(x)を考えたか?ということを振り返ってみます。
実は、オイラーの公式に -x を入れてやると、

cos x - i sin x = e-ix

ということがすぐに分かるので、あの f(x)は、

f(x) = e-ix eix

を計算していることになるんですね。
この値は、明らかに1になります

でも、オイラーの公式を使ってないのに(証明したい式なので、使ってはいけない)
うまく1という答えを導き出しているのが、なかなかうまい証明ですよね!

この証明、ただ一点を除いて、高校数学の範囲で説明できます。
ただ一点というのは、微分するところで、何気なく、

( eix )' = i eix

とやりましたが、虚数が指数になっているときの指数関数も
このように微分できるかどうかは保証されてません。

結局、複素数の指数関数を高校では定義してないわけだから、
しかたないんですよね。
そもそも、複素数の指数関数をどう定義するかで証明も変わってきます。

テーラー展開で定義するならば、
テーラー展開からこの微分公式が成立することを証明しておくしかないですし、
逆に、このオイラーの公式を定義式にしてしまう流儀もあります。
そうすると、オイラーの公式を証明するのではなく、
この公式を前提として、逆に、指数関数の指数法則や微分の公式が
ちゃんと成り立つかを証明することになりますね。

まあ、でも、細かいことはさておき、この証明、ほんと分かりやすいので、
高校生に説明するには、お勧めの方法ですね!

他にもいくつかありますので、次回ご紹介します。
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数学>高校+α | コメント(2) | 2012/02/25 23:31

オイラーの公式 (1)

前回の「0.999・・・=1」という記事で、哲学的な数式の話題になりましたが、
「哲学的な数式」と言われて、僕が真っ先に思い出すのは、
「オイラーの等式」でしょう。

小説「博士の愛した数式」でも登場した
「人類の至宝」とも「数学史上、最も美しい数式」とも言われている数式

\[
e^{i\pi} = -1
\]


ほんと、美しいですよね!

e と π と i という言わば数学界の3大キャラ数字
一同に会すると、-1 などという純朴な数字になるんですから!

僕も中学の時だったかに、読み物系の本でこの式を目にしたときに、
「数学って、神秘的!」って思った記憶があります。

この等式は、「オイラーの公式」と呼ばれる、
\[
e^{ix} = \cos x + i\sin x
\]

という公式に、x = π を入れるだけで出てきます。
cos π = -1、sin π = 0 だから。

そして、このオイラーの公式は、数学科の人しか使わないような高尚な公式ではなく、
物理系ではこれを知らないと生きていけないぐらいに頻出の公式。

そもそも、ほとんどの物理現象は、振動で表せるので、
sinやcosで表すことになるのですが、
sinやcosは、加法定理やら、倍角公式、半角公式、3倍角公式、合成・・・
と、たくさんの公式を覚えなくてはいけなくて、
うんざりしてくるんですよね。。。

ところが、このオイラーの公式で、sinやcosを eix に置き換えるだけで、
そんなもの何も覚えてなくても、
すべて、これ一台で計算できてしまうというすぐれもの!(笑)
・・・というわけで、この公式が重宝されるわけです。

で、この公式の証明が気になるわけですが、
一般には、テイラー展開を使うと、簡単にできます。
でも、テイラー展開は、高校数学レベルだと、ちょっとハードル高いですよね。

テイラー展開を使わない高校数学レベルで理解可能な証明方法ってないのかな?
とちょっと調べていたら、いくつかありそうですので、
次回から、紹介していこうと思います。

ただ、厳密な証明は、テイラー展開をしないとだめな気がするのですが、
その理由は、その時に述べようと思います。
数学>高校+α | コメント(6) | 2012/02/18 22:20

∫ ゲージ (2)

ゲージの意味が理解できたわけではないのですが、
たぶん、量子論を勉強していくうちに、
分かってくるんじゃないかなと、希望的観測を持っています(汗)

そんなわけで、とりあえず、今は分かってませんが、
現在、分かっている知識と勝手な想像をつけて、まとめておいて、
少しずつ理解を深めていこうと思います。
(理解して書いてるわけではないので、内容はご注意ください)

まずは、真空中のMaxwell方程式からスタート。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0 \tag{2}
\]\[
\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} \tag{3}
\]\[
\nabla \times {\bf B} = \mu_0 \left[ {\bf j} + \varepsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \right] \tag{4}
\]

(2)と(3)を満足するように、(E、B)をポテンシャル(A、φ)で表現する。

\[
{\bf E} = -\nabla \phi - \frac{\partial {\bf A}}{\partial t} \tag{5}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A} \tag{6}
\]

この時点で、(2)と(3)は自動的に成立するから、
あとは、(1)と(4)にこれらを代入して、
(1)と(4)の2つの式を(A,φ)による表現にしたものが場の方程式となる。

\[
\nabla \times \nabla \times {\bf v} = \nabla (\nabla\cdot{\bf v}) - \Delta {\bf v}
\]
というベクトル解析の公式を利用して、整理すると、

\[
-\Delta\phi - \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{7}
\]\[
\Box {\bf A} + \nabla \left[ \nabla\cdot{\bf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} \right]
= \mu_0 {\bf j} \tag{8}
\]

この2つの式が、ポテンシャルで表現した場の方程式。

でも、ちょっと複雑。
そこで、ポテンシャル(A、φ)は、ゲージ変換しても同じEとBを与えるから、
適当にゲージ変換して、もっと見やすくすることを考える。

どうせ、知りたいのはEとBなんだから、
どんなゲージを使っても、最終的に答えは同じだよね!

という理解でいいのかな?
少なくとも、古典論の範囲では、それでいいような気がします。

まずは、クーロンゲージ
\[
\nabla\cdot{\bf A} = 0
\]
となるように、ゲージを選ぶと、
\[
- \Delta \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{9}
\]\[
\Box {\bf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\phi)
= \mu_0 {\bf j} \tag{10}
\]
となる。

ここからは、僕の勝手な想像を多く含んでいるので、要注意!

(9)を見ると、クーロンの法則(ポアソン方程式)そのものになっている。
この式は、
\[
- \Delta \phi ({\bf r},t) = \frac{\rho ({\bf r},t)}{\varepsilon_0} \tag{9}
\]
であることに注意すると、
電荷分布の時間変化が瞬時に遠隔地のポテンシャルに伝わる
ということになる。

相対論的におかしいように見えるけど、そうではなくて、
実際に現象に現れるのはEとBだから、
ポテンシャルが瞬時に変化しても構わない。
もうひとつの(10)式の方から計算されるAの変化も考慮すると、
遠隔地の電場と磁場が瞬時に変化するというわけではない

・・・という理解で、いいのかな?

次は、ローレンツゲージ
こちらは、ローレンツ条件
\[
\nabla\cdot{\bf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
\]
が満たされるように、ゲージを選ぶと、

\[
\Box \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{11}
\]\[
\Box {\bf A} = \mu_0 {\bf j} \tag{12}
\]
という見事なまでにすっきりした表現になる。

この2つの式は、波動方程式の形になっているので、
ポテンシャル(A、φ)は、電荷と電流の源から光速で伝わっていく波動状の解となる。

とりあえず、分かっている気がするのは、ここまで。
だから、何なのかというのがよく分かりません。

なんでもいいから、式がとにかく分かりやすくなるゲージを使えってことなのでしょうか?(笑)
物理>電磁気学 | コメント(2) | 2012/02/07 19:04

∫ 場の量子化 (2)

「光の量子論」以外の教科書も参考にしてみようと思ったのですが、
「場の量子化」の載っている本をあまり持っていなくて、困ったなあと思って、
よく考えてみたら・・・
シッフの最後にちょっとだけ載ってたのを思い出しました。

それを見て、気づいたのですが、
「場の量子化」について、思いっきりアホな誤解をしてました(恥)

場の量子化って、電磁場を量子化することだと思ってました。。。

粒子系が量子化されたのがシュレディンガー方程式で、
まだ、電磁場が連続量のポテンシャルとして入ってるだけの状態が半古典論。
そこで、電磁場の方も量子化しようという話かと思ってました。

その考え方自体は正しいと思うのですが、
場の量子論というのは電磁場に限らず、もっと広範囲の「場」の話のようです。

粒子系の波動関数ψも波動場とみなして、
もう一回量子化しようという話なんですね。
だから、「第二量子化」っていうんだ。
今頃、わかりました(汗)

とりあえず、いきなり電磁場を量子化しようとするから理解できないのかもしれません。
シッフに基づいて、ちゃんと、一般的な場の量子化手法から学ぼうと思います。

それにしても、難しくて訳分からなそうです。。。
でも、物理って、この訳分からなさがワクワクするんですよね!(笑)
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2012/02/04 00:12

∫ ゲージ

前に予告した通り、ルードンの「光の量子論」で電磁場の量子化を勉強中。

量子化する前に、電磁ポテンシャルでの表現を準備するところ。
式変形は特に問題なく追えているのですが、
ゲージの意味がいまいち分かりません!

昔、電磁気学を勉強した時から「ゲージ変換」はやりましたが、
その時もいまいち分かってなかったなあ。。。

クーロンゲージとローレンツゲージ。
今やっている電磁場の量子化では、クーロンゲージを使うみたいなのですが、
なぜ、クーロンゲージを使うのかが分かりません。

いろいろネットの資料なども探し回って、分かったのが
クーロンゲージの方が簡単で物理描像も分かりやすい
とのことでした。

ローレンツゲージはローレンツ共変なので、
相対論(ローレンツ変換)にも対応できるのですが、
かなり高度な知識を要するということらしい。

まあ、そこまではよしとして、
結局、クーロンゲージに変換したうえで、
ヘルムホルツの定理を使って、場を縦成分と横成分に分解して、
ごちゃごちゃやって、最終的に、ベクトルポテンシャルの場の方程式を

□A=0
(□は、ダランベルシアン)

という波動方程式(?)の形にもっていくみたいなんですよ。

でも、ローレンツゲージだったら、もとから、□A=0という形ですよね。
ならば、そっちを使った方がいいんじゃないの?
と素人考えで思ってしまうのは、ゲージというものが理解できてないからですよね(汗)

まあ、量子化の話は難しいので、置いておいて、
そもそも、古典場では、ゲージの違いってどういう意味があるんだろう?

クーロンゲージは、静電ポテンシャルφが瞬時に遠方に伝わる形になっていて、
ローレンツゲージは、静電ポテンシャルφもベクトルポテンシャルAも
遠方には光速で伝わる遅延ポテンシャルの形になっている
ということだと理解しているんですが、
それが量子化において、どうなるのか?

さっぱり、分かりません(笑)
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2012/02/03 00:24
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