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∫ 特殊ローレンツ変換 (2)

今日は、円周率の日でもあり、アインシュタインの誕生日でもあります!
というわけで、やはり、今日は(あと残りわずかですが・・・)、
相対論の記事をアップしたいですね(笑)
※ピアノ記事のコメントレスが終わっていないのに、更新申し訳ありません。

前回の記事で、
「ものの長さが縮む」とか「時計がゆっくり進む」などの
不可思議現象が説明できると書きましたので、
それについても書いておこうと思います。

ものの長さが縮む

地面に対して、速度vで動いている物体を考える。

物体の運動方向をx軸にとって、
地面の座標系をS、物体とともに動く座標系をS'とする。

両端A,Bのx座標を
S系から見た場合、a, b (a > b)
S'系から見た場合、a'、b' (a' > b') とすると、

物体が静止している時の長さは、S'から見た長さで、
\[
L_0 = a' - b'
\]

求めたい動いている時の長さは、Sから見た長さで、
Sから見た同時刻 t の時の両端の座標 a, bの差である。
\[
L = a - b
\]

これら2種類の座標は、
前記事で求めたローレンツ変換の式から次のような関係にある。
\[
a' = \gamma(a - vt) \\
b' = \gamma(b- vt)
\]
よって、
\[
L_0 = \gamma L
\]
つまり、
\[
L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1-\beta^2} < L_0
\]
となり、長さが縮んで見えることが分かる。

速度が光速に近づくと(β→1)、長さは、0に近づく!
(なんか、不思議~)


時計がゆっくり進む

地面に対して、x軸方向に速度vで動いている時計vを考える。

地面の座標系をS、
動いている時計とともに動く座標系をS'とする。
(時計は、S'系から見ると静止している)

時計はS'系の原点にあり、
SとS'は、t = t' = 0で原点が一致していたとすると(前記事の仮定と同じ)
Sから見た時計のx座標は、x = vt

S’から見た時計の時刻(S'の原点O'における t')は、
\[
t' = \gamma \{ t - (v/c^2)(vt) \} = t\sqrt{1-\beta^2} < t
\]
となる。
つまり、時計はゆっくり進む ということが分かる。

速度が光速に近づくと(β→1)、時間がほとんど流れなくなる!
(やっぱり、なんか、不思議~)
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物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2012/03/14 23:36

∫ 特殊ローレンツ変換

テンソルは、この辺にして、相対論に入ります。

初めは、簡単な場合のローレンツ変換。
内山先生の教科書では、「特殊ローレンツ変換」と呼ばれている、
x軸方向に速度vで動いている慣性系への変換の場合。

頑張れば、中学生でもできるぐらいの計算
「ものの長さが縮む」とか「時計がゆっくり進む」などの
不可思議現象が説明できるんだから、すごいですよね!


S’系は、S系に対して、x軸+方向に速度vで動いているとする。
たとえば、S系が地上の人から見た座標系で、
S’系は、電車の中の人から見た座標系。

時刻 t = t' = 0 の瞬間には、
両座標系の座標軸が完全に一致していたとして(原点も一致)
その瞬間に一致していた座標原点から光が発せられたとする。

その光がS系からみて、時刻 t に点P(x,y,x)に到達するとする。
S’系からみた場合には、時刻 t' に点P’(x',y',z')に到達するとする。

光速度不変の原理より、どちらの系からみても、光の速度はcだから、
\[
s^2 \equiv x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = 0 \\
s'^2 \equiv x'^2 + y'^2 + z'^2 - (ct')^2 = 0
\tag{1}
\]
が成り立つ。

この左辺のs2の値は、必ずしも、0でなくても、両系で等しくなっているはずだと考えて、
\[
x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - (ct')^2
\tag{2}
\]

ここで、S系からS’系への座標変換を考える。
相対性原理から、S系で等速直線運動をしている物体は、
S’系からみても等速直線運動しているはずであるから、一次変換となる。

空間の等方性を考えると、y座標とz座標は値が変わらず、
xとtの一次変換となる。

\[
x' = ax + bt \\
t' = fx + gt \\
y' = y \\
z' = z
\tag{3}
\]

ここのところの議論は、内山先生の教科書では、
丁寧に書かれていて、おもしろいのですが、省略します。
まあ、x軸方向に動いているのだから、yとzは変わらないというのは自然ですよね。

(3)の式をすべて、(2)に代入して、任意の (x,y,z,t) について恒等的に成立
しなければならないという要請を置くと、

\[
a^2 - c^2f^2 = 1 \\
b^2 = c^2(g^2 - 1) \\
ab = c^2 fg
\tag{4}
\]
という連立方程式ができる。

さらに、S’系の座標原点O’はS系からみると、速度vでx方向に動いているから、
(2)式で、x'=0, y'=0, z'=0 の時、 \( x = vt \) となっていなければならないことから、
\[
-\frac{b}{a} = v
\tag{5}
\]

(4)と(5)の4つの連立方程式から、4つの未知数 a, b, f, g が求まる。
(cは光速で、未知数ではないことに注意)

これは(4)の最後の式を2乗して、すべて、未知数をa2、b2という
2乗の単位で計算していくと、意外と簡単に解けて、
β≡v/cとして、

\[
a = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
b = -\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
f = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
g = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]
となる。

つまり、座標変換の式は、
\[
x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
t' = \frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]
と書ける。
符号が逆になったものも数学的には解になるが、
v→0のとき、x'→x、t'→tという条件により、排除される。

\[
\gamma \equiv 1/\sqrt{1-\beta^2}
\]
として、4元座標の表記 
\[
{\bf x} = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)
\]
を用いると、ベクトルと行列の表記で 
\[
{\bf x}' = A{\bf x}
\]
で、

\[
A = \left[
\begin{array}{cccc}
\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\
-\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
と表すことができて、対称性のよい形になる。
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2012/03/11 16:03

テンソルの縮約

テンソルについて、もう一つ押さえておきたいのが、縮約について。

上付きの添え字と下付きの添え字が同じになる成分の和を取ると、
その2つの添え字を消したテンソルと同じになる!


たとえば、Aμνλρというような4階の混合テンソルがあったとして、

μとλが同じになる成分の和を取ると・・・

Aμνμρ=Aνρ

というように、2階の混合テンソルとして扱える。
(μについて、和を取ることに注意!)

これは、すごく便利!

テンソルの変換則で確かめてみます。

もともとの4階テンソルの変換則は・・・
A’μνλρ = aμi aνj aλk aρl Aijkl

ブログで、あの偏微分記号を書くのは、分かりにくくてしかたがないので、
内山先生の教科書でローレンツ変換の係数に使っている記法を使いました。

aμi ≡ ∂xμ'/∂xi
aμi ≡ ∂xi/∂xμ'

(これらはテンソルではない)

λ=μにして和を取ると、

A’μνμρ = aμi aνj aμk aρl Aijkl

ここで、μのついているこの2つの係数だけを抜き出してみると、
aμi aμk = δki

となっていることが、偏微分表示に戻して計算してみるとすぐにわかる。
(偏微分書くのが面倒だから書かないけど・・・)

すると、
A’μνμρ = δki aνj aρl Aijkl

となり、
A’μνμρ = aνj aρl Aijil

となる。
この式は、下のような2階のテンソルの変換則と同等とみなせる。
A’νρ = aνj aρl Ajl

というわけで、縮約できることが示せました。

テンソルの積は、こんな感じで、やはりテンソルになることはすぐにわかるので、
Cμνλ ≡ Aμν Bλ

縮約を使って、ベクトルのスカラー積を定義できる。
C ≡ Aμ Aμ
数学>テンソル | コメント(0) | 2012/03/08 23:45

クロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタ

δμν = 1 (μ=ν) 
δμν = 0 (μ≠ν)


は、反変と共変の混合テンソルである。

なぜならば、ためしに、
S系におけるδik を1階共変・1階反変の混合テンソルの変換則で変換してみる。

つまり、
(∂xμ'/∂xi)(∂xk/∂xν')δik
を計算してみる。

(∂xμ'/∂xi)(∂xk/∂xν')δik
=(∂xμ'/∂xi)(∂xi/∂xν')
=(∂xμ'/∂xν')

となり、これは、明らかに、δ'μνであるから、
共変反変混合テンソルの変換則を満たす。

この性質は、ローレンツ変換に限らず、一般的な座標変換に対して、成り立つ。

それにしても、偏微分の式をブログで書くと、ほんとに見にくいですね。。。

参考文献:
内山龍雄「相対性理論」
数学>テンソル | コメント(0) | 2012/03/08 23:45

テンソル

相対論と言えば、テンソルですね!

やはり、初めはなかなかつかめず、難しかったです。
ようやく、少しずつつかめてきた気がしています。

ということで、まずはテンソルについて、自分なりに整理しておこうと思います。

とにかく、添え字がごちゃごちゃしてきて、混乱してしまうので、
かなり我流ですが・・・

座標系Sから座標系S’に変換することを考えるときに、

S系における添え字は、英文字(i, j, k, ...)
S’系における添え字は、ギリシャ文字(μ, ν, λ,...)

と決めてやることにしたところ、少し分かりやすくなった気がします。

このルールのもとに、テンソルの定義を書いてみます。

ある量Tを
S系(xi)からみたときの成分を ij...kl...
S’系(xμ')からみたときの成分を T’μν...λρ...
と書いたとき、

T’μν...λρ... 
= (∂xμ'/∂xi)(∂xν'/∂xj)・・・
   (∂xk/∂xλ')(∂xl/∂xρ')・・・Tij...kl...


という変換則で変換されるとき、Tをテンソルと呼ぶ。

上付きの添え字が反変成分、下付きの添え字が共変成分。

変換係数となっている微分の形が・・・
反変は、「新座標系/旧座標系」
共変は、「旧座標系/新座標系」

添え字が一つしかない場合がベクトルで、
Aμ反変ベクトル
Aμ共変ベクトル

と言っても、イメージがいまひとつわかない!

そこで、一般相対論に出てくるリーマン幾何学のような
非線形な変換はまだ理解できないので、置いておいて・・・

ここでは、特殊相対論のローレンツ変換を念頭において、
線形な座標変換に限ることにする。

そうすると、偏微分の形をした変換係数は、場所によらない定数になるので、
座標変換じたい

xμ' = (∂xμ'/∂xi) xi

と表せることになる。

こう書くと、反変ベクトルの変換則は、そもそも定義から
Aμ' = (∂xμ'/∂xi) Ai
のように書けるので、
座標成分自体が反変ベクトルになっていることが分かる。

つまり、座標成分そのものと同じように変換されるものが「反変」
と考えればいいってことになりそうですね。

これで、「反変」のイメージはわいたけど、「共変」のイメージがわかない!

共変は、微分演算がそうなるようです。

座標変換前後で変わらないスカラー量ξがあったとして、
iξ = ∂ξ/∂xi
と書くことにすると、

μ = ∂ξ / ∂xμ' 
= (∂xi / ∂xμ')(∂ξ / ∂xi
= (∂xi / ∂xμ')∂iξ


共変ベクトルの変換則は、
Aμ' = (∂xi/∂xμ') Ai
だから、確かに、微分の成分∂μは共変ベクトルになっていることが分かる。

というわけで、共変も反変も少しはイメージがつかめるようになりました。

参考文献:
内山龍雄「相対性理論」
数学>テンソル | コメント(0) | 2012/03/08 23:18
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