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線形写像の行列表現

量子力学で「演算子の行列表現」の記事を書く前に、
線形代数で出てくる「線形写像の行列表現」について、
軽く復習しておこうと思います。

ベクトルは基底を指定することによって、成分表示で表せる。

例えば、n次元ベクトル空間 V の基底を
\[
\langle {\bf e}_1, {\bf e}_2, \cdots, {\bf e}_n \rangle
\]
と指定してやると、任意のベクトルv ∈ V は、
\[
{\bf v} = v_1 {\bf e}_1 + \cdots + v_n {\bf e}_n
\]
というように、基底で展開した形で一意に表せるので、
\[
{\bf v} = (v_1, \cdots, v_n)
\]
というように、成分で表示することができる。

次に、このベクトルに作用する線形写像 T を考えて、
線形写像 T によって、ベクトル空間 V のベクトルは、別のベクトル空間 V' (次元 はn'とする)に移るとする。

V' の基底も
\[
\langle {\bf e}'_1, {\bf e}'_2, \cdots, {\bf e}'_n \rangle
\]
というように指定してやると、

ベクトルv に対して、写像Tを作用させたベクトル
\[
{\bf v}' = T{\bf v} \in V'
\]
も同様に、
\[
{\bf v}' = v'_1 {\bf e}'_1 + \cdots + v'_{n'} {\bf e}'_{n'}
\]
のように基底で展開することができ、
\[
{\bf v}' = (v'_1, \cdots, v'_{n'})
\]
のように成分表示することができる。

ここで知りたいことは、
この v の成分と、v' の成分との間にどのような変換則が成り立つか?
ということ。

ここで、基底は、線形独立でありさえすれば、なんでもよいのですが、
後に、量子力学と関連づけたいので、正規直交基底としておきます。
つまり、基底はすべて長さ1の単位ベクトルで、お互いに直交している。

もう少しきちんと言うと、ベクトル空間 V, V' においては、内積が定義されていて、
\[
({\bf e}_i, {\bf e}_j) = ({\bf e}'_i, {\bf e}'_j) = \delta_{ij}
\]
となっていると仮定する。

Vの各基底に線形写像Tを施したものを考えると、これらは V' の元だから、V'の基底で表すことができる。
\[
T{\bf e}_j = \sum_i a_{ij} {\bf e}'_i
\tag{1}
\]

基底の正規直交性を仮定したので、係数は、次のように書けることが分かる。
\[
a_{ij} = ({\bf e}'_i, T{\bf e}_j)
\]

v を基底で表して、
\[
{\bf v} = \sum_j v_j {\bf e}_j
\]

これに、Tを施すと、v'になるから、
\[
{\bf v}' = T{\bf v} = T \sum_j v_j {\bf e}_j = \sum_j v_j T{\bf e}_j
\]
(1) を代入して、
\[
{\bf v}' = \sum_j v_j \sum_i a_{ij} {\bf e}'_i
= \sum_i \left[ \sum_j a_{ij} v_j \right] {\bf e}'_i
\]

一方、v' を基底で表現した式
\[
{\bf v}' = \sum_i v'_i {\bf e}'_i
\]
と見比べると、
\[
v'_i = \sum_j a_{ij} v_j
\]
となることが分かる。

ここで、(i,j)成分が aij となる行列
\[
A = [ a_{ij} ]
\]
を考えると、行列とベクトルの積の演算則から、
\[
{\bf v}' = A{\bf v}
\]
と書けることになる。

つまり、写像を施す前後のベクトルの成分の関係は、行列で表現できる
ということが分かりました。
この行列 A が線形写像 T の表現行列 となります。

量子力学に応用するために、もう一度、要点だけを書いておくと・・・

基底として正規直交基底を選んでおけば、線形写像は、
\[
a_{ij} = ({\bf e}'_i, T{\bf e}_j)
\]
で定義される行列で表現できる!


ということです。
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2012/06/27 23:54

∫ 物理の進捗状況

最近の物理のお勉強の進捗状況なのですが・・・
あんまり、進んでません!(笑)
ただ、細々とは、続けてますよ。。。

量子力学は、サクライを読み進めております。
記事では、まだ初めの概念の基礎みたいなところを書いてますが、
実際はもう少し読み進めています。

初めの方は、紙と鉛筆できっちり計算しながら読んでましたが、
あまりにも面白いので、先が気になって、さらっと流し読みしています。
およそ、3分の1(全450頁の150頁ぐらい)が読めたところかな。
(また、いずれきちんと紙と鉛筆で計算して、しっかり理解します)

第1章では、ブラケットで数学的に定式化して、
並進演算子から運動量の演算子を導きだして、
運動量と位置の不確定性を自然な形で導き出すところ、目からうろこでしたね!

第2章では、状態の時間発展を考えて、シュレディンガー方程式を
天下りでなく、自然な形で導出するところが圧巻!

シュレディンガー描像とハイゼンベルク描像については、
今まで何度も説明を読んできましたが、
今回初めて、意味するところが理解できました。
さすが、サクライ先生は、説明が天才的にうまいですね!

WKB近似のところは、あまりよくわかりませんでしたが、
きっと、古典力学の素養が足りないからでしょう。。。
世界の標準的教科書であるゴールドスタインの「古典力学」を
ついに購入したので、これで古典力学の知識を充実させたいところ。
でも、すごく分厚い本なので、なんとかつまみ食いで要点を理解したいのですが・・・汗

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さらに、ファインマンの経路積分の考え方に進みます。
概略は知っていましたが、おもしろいですね。
ランダウ-リフシッツの教科書では、逆に、経路積分の考え方から、
波動光学と幾何光学の関係とのアナロジーで、シュレディンガー方程式を導いていて、
これを読んだ時も、かなり目から鱗だったのですが、
双方向の説明を見ることで、より理解できそうです。

ゲージのところは、以前からずっと理解したいと思っていたところで
AB効果とか、非常に興味深いのですが、
第3章の角運動量がさらに興味深いため、とりあえずは飛ばして、
角運動量に進みました。

角運動量は、以前にも記事に書きましたが、
いろいろな教科書で何度も挑戦しては、煙に巻かれて、挫折しているので、
今度こそ、サクライ先生の明快な説明に期待したいと思っています!


相対論の方は、全く進んでいません。
マックスウェル方程式を相対論的な4元形式に書き換えるところまで読んで、
すばらしいなあ・・・と感心したところまで。

この後、力学をやって、一般相対論へという流れですね。
どうも、テンソルの理解がまだ曖昧で、共変と反変の関係の理解が不十分です。

一度、数学の本で、テンソルの基礎をきっちりと学ぶ必要がありそうです。
でないと、一般相対論へ進むのは、無謀としか言いようがないでしょうしね。。。
一応、Doverから出ている分かりやすそうなテンソルの教科書をゲットしているので、
いつか余裕ができたら、読んでみようと思います。


実はそれ以外に、仕事の関係で、光物性を勉強中です。
本来は、物性は量子力学の応用になるので、
量子力学の基礎がないと、ちゃんとは理解できないのですが、
実際、そうも言ってはおられません(汗)

仕事関連なので、研究費で、何冊か教科書を買いましたが、
そのうち全般的に分かりやすくて読みやすそうなこの教科書で勉強中!

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そうすると、電磁気学で分かってない部分が露呈してきたり・・・と、
いろいろ大変なのですが、ブログネタにも使わせてもらおうと思っています(笑)


それから、場の量子論の教科書を2冊、購入しました!
素粒子物理を学んだことのある知り合いから教えていただいたお勧めの2冊。

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これらの教科書が読めるようになるのは、いつの日になることやら、分かりませんが、
とりあえず、読めるようになる日を楽しみに、地道に頑張ります!
物理>雑感 | コメント(2) | 2012/06/22 00:30

iのi乗

追記 (2015/2/25)
ご指摘をいただき、この記事の内容は間違っていることが判明しました。
複素数では一般に指数法則が成立しないため、下記証明は成立しません。
正しくは、定義に基づいて、log を使って表し、
主値を取るという手続きを経由しなければならないようです。
詳細は、この記事のコメント欄をご参照ください。


i の i 乗って、計算できますか?
(ここでいう i は、2乗したら -1 になる虚数単位の i のことです)

そもそも、i じたい訳のわからない数なのに、
それを i 回かけるって、意味分からない!


って感じですよね(笑)

まずは、天下のGoogle様にやっていただくことにしましょう。

Google画面で、「i^i」 と入力して、検索ボタンを押してみます。
(「^」の記号は、「○乗」の意味で、右肩の小さい数字が書けない環境で使う記号です)

すると、Google様は、ちゃんと計算して、答を出してくれるんですよ。

i^i = 0.207879576

驚くべきことに、虚数の虚数乗なのに、答えはなんと、実数!

これを自分で計算してみましょう。
実は、以前から記事にしているオイラーの公式

e ix = cos x + i sin x

を使うと、簡単にできます。

ここで、x = π/2 を代入すると、

cos (π/2) = 0
sin (π/2) = 1


なので、

e πi/2 = i

という関係が得られます。

これを用いると、

i i = [ e πi/2 ] i = e πi/2 × i = e -π/2

ここで、指数法則 [ e a ] b = e ab と、i2 = -1 を使いました。

というわけで、答は、

i i = e -π/2

となり、見事に i が消えてしまって、実数になるんですね!

これ以降は、電卓を使わないと計算しようがないんですが、
0.207879576という値になることが確認できます。
(気になる方は、Google画面で、「e^(-pi/2)」と打ち込んでみてください)

このように、オイラーの公式は、複素数の計算や理論で絶大な威力を発揮してくれます。
数学>高校+α | コメント(9) | 2012/06/19 00:26

二択正誤問題の点数分布

以前にどこかのブログでちらっと拝見した話題で、

二択の正誤(○×)問題で0点を取るのは、100点を取るのと同じ難しさである!

というのがありました。

当然の話で、0点を取るのは、全問で確実に不正解をしなければならないわけで、
全部の正解が分かってないと、達成できないわけですよね。

確率的に正解するか間違えるかは半々だから、
50点が最も悪い成績で、20点を取った人の方が賢い
ということになります。

先日の虹コンの後のtsukupia☆メンバーでの打ち上げで、
その話題をしてみたところ、メンバーのある方から、

「0点が賢いのは分かるけど、20点が50点より賢いのは、なんか不思議!?」

というコメントをいただきました。

僕もなんとなく直感で50点が一番悪い成績だと思ったのですが、
そう言われると、ちゃんと説明できないなあ・・・と思って、
その後、少し考えてしまいました。

で、考えてみると、これって、単なる二項分布の問題なんですね!
(確率は苦手なので、ひょっとしたら考え違いをしているかもしれませんが・・・)

つまり、各問でデタラメに回答した場合、正解と不正解の確率は、それぞれ 1/2 ずつ。

N 問中、k 問正解する確率は、

P(k) = N C k ( 1/2 )k ( 1/2 )N-k

N C k は、N 個から k 個を取る組み合わせの数。

簡単のために、N = 100 とすると、ちょうど、k 問正解すると、k 点になるので、
その条件で計算してみると、点数分布はこんな感じに。

probability2choisesN100.jpg

グラフの見方ですが、
デタラメに回答した場合に、
偶然、50点になる確率が8%で、
偶然、20点になる確率が0.00000004%
という意味です。

この確率が低いほど、デタラメではなく、
ちゃんと理解して答えないと実現できない点と言うことになるので、
確率が低いほど、賢いわけです。

こうしてみると、明らかに、20点の方が成績がよいというのが一目瞭然ですね。

さらに、N=1000ぐらいにしてみたかったのですが、
このままでは、たぶん、計算桁数がオーバーフローしてしまうので、
中心極限定理で正規分布に近似して、計算しなければなりません。
その変換方法とか忘れてしまったので、やりませんが、
統計的に考えると、この50点のピークがどんどん鋭くなっていくと思われます。

なんか不思議なんですけど、問題数が多くなると、
ちゃんと理解してない人の点数は、みんな50点になっちゃうんですね(笑)

正誤ではなく、五択問題ぐらいになると、どうなるんだろう?と思って、やってみると、
今度は、正解の確率が 1/5、不正解の確率が 4/5 なので、

P(k) = N C k ( 1/5 )k ( 4/5 )N-k

probability5choisesN100.jpg

当然なのかもしれませんが、今度は、20点が一番成績が悪いことになりますね。
この場合でも、やはり、0点はそれなりに偉いんですね!(笑)

ということのようです、あるメンバーさん(笑)
数学>高校+α | コメント(12) | 2012/06/05 23:49
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