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∫ 特殊相対論における共変と反変

量子力学の勉強もまだ途中ですが、同時並行で
J.J.サクライ先生の「Advanced Quantum Mechanics」(上級量子力学)を使って、
場の量子論の勉強を始めてしまいました。

まだ、ほんとに初めの方を読んでいるのですが、
相対論の説明のところで、こんな記述が書かれていました。

Note that we make no distinction between a covariant and contravariant vector,
nor do we define the metric tensor gμν.

These complications are absolutely unnecessary in the special theory of relativity.

(It is regrettable that many textbook writers do not emphasize this elementary point.)

つまり・・・
「特殊」相対論においては、
共変と反変の区別をする必要もないし、
計量テンソルも導入しなくてよい!


ということなんだそうです。。。

え!?そうなの!?と、驚きましたが、
数式を見ると、確かにそうなってるっぽいんです。

サクライ先生も最後に括弧書きで書かれているように、
確かに、このことに言及している記述はネット上探しても見つけられませんでした。

どうも、時間成分に虚時間表記 x4 = ict を採用していることも関係ありそう。

ただ、「共変と反変」のイメージが以前に書いたこの記事程度の表層的な理解しかなく、
もう少し「共変と反変」の概念をしっかり理解したいと思い、ネットで探してみたら、

放送大学長の岡部洋一先生のページ
http://www.moge.org/okabe/
「座標変換」の講義資料
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

がとても分かりやすくて、だいぶ理解が深まりました。

詳細はまたいずれ、まとめてみたいのですが、
これ以降は、自分なりに考えた概略を述べます。
(間違ってるかもしれませんので、要注意)

基底には、「共変基底」「反変基底」があり、
共変基底で表した成分が「反変成分」
反変基底で表した成分が「共変成分」
(逆になる)

時間成分を虚時間表記にすると、
4次元距離は、
\[
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 - (cdt)^2 = \sum (dx^\mu)^2
\]

計量テンソル
\[
g_{\mu\nu} = {\bf e}_\mu \cdot {\bf e}_\nu
\]
で表すと、
\[
(ds)^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu
\]
だから、
計量テンソルは、単位行列(クロネッカーのδ)に等しい

つまり、基底は正規直交基底となり、
共変基底と反変基底は完全に一致する!

そのため、共変成分と反変成分も一致するので、区別する必要がなくなる!

このことは、虚時間を用いると、

ローレンツ変換が4次元ユークリッド空間における虚数角回転と等しくなる

ことを考えても明らかですね。

というのは、ユークリッド空間では、基底が正規直交基底になっているから。
(これって、正しい?ちょっと自信ありません・・・)

追記(2012/8/17)
↑は、表現がおかしいですね。。。
ユークリッド空間でも、正規直交基底でない基底はいくらでも取れますから。
回転変換では、基底の長さと直交性は保存されるはずなので、
正規直交基底に取っておけば、変換後も常に正規直交性は保たれる。

というべきでしょうか。


また、詳細はいつかまとめてみたいと思います。
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物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2012/08/16 19:21
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