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共変と反変

以前、「特殊相対論における共変と反変」の記事を書いた時に、
共変と反変について、少し勉強しましたが、
理解したことを冷めないうちにまとめておきます。。。

内容は主に、放送大学長の岡部洋一先生のページの「座標変換」の講義資料を参考にしています。
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

座標変換を考える。
xm → xμ

以前の記事でも書いたように、
旧座標系を英文字、新座標系をギリシャ文字で表すことにする。

位置ベクトルの全微分 dx を新旧座標系の基底で表すと、
dx = dxm em = dxμ eμ   (1)

注1:基底は正規直交基底である必要はない。
注2:なぜ、微分を考えるかというと、
   一般相対論のような曲線座標では局所でしか考えられないから。

成分の変換則は、微分則から、
dxμ = ∂m xμ dxm
dxm = ∂μ xm dxμ  (2)

ここで、
m xμ ≡ ∂xμ / ∂xm
と定義する。

(2)を(1)に代入すると、
eμ = ∂μ xm em
em = ∂m xμ eμ   (3)

という基底の変換則が導かれる。

基底の変換則を基準に見ると、
dx の成分の変換則は基底の変換則と反対になっているので、
反変であるという。

一般のベクトル A についても、基底で分解すると、
A = Am em = Aμ eμ   (4)
となり、(1)と同様だから、Amは、反変成分となる。
Aμ = ∂m xμ Am
Am = ∂μ xm Aμ  (5)



では、共変とは何ぞやと言うと・・・
双対基底 em なるものを考える。

定義は、
emen = δnm  (6)
を満たすような em のこと。

双対基底の変換則はどうなるかというと・・・
変換後も、
eμeν = δνμ  (7)
が成立してなければならず、もとの基底の変換則(3)を用いると、
eμ = ∂m xμ em
em = ∂μ xm eμ   (8)
と、もとの基底の変換則と反対になっていることが分かる。

一般のベクトル A を双対基底で分解すると、
A = Am em = Aμ eμ   (9)

成分 Am の変換則は、
Aμ = ∂μ xm Am
Am = ∂m xμ Aμ  (10)

となり、元の基底の変換則(3)と同じになる。
そこで、これを共変であると呼ぶ。

ここまでをまとめると・・・

ある基底で表した成分は、基底の変換則と反対の変換則になる→反変成分

双対基底で表した成分は、基底の変換則と同じ変換則になる→共変成分


基底も「共変基底」、「反変基底」と呼ぶと分かりやすいと思うのですが、
教科書でそう呼んでいる例があまりないみたいです。
(ネットの記事ではよく使われているようなので、間違いではないと思うのですが・・・)

あともう一つ、便利な式(定義式(6)から直接導かれる)
Aem = Am
Aem = Am


それから、もともとの基底が正規直交基底の場合。
双対基底は、もとの基底と一致する!

というわけで、自分用にということで、
無駄をなるべく省いて、簡潔にまとめたかったのですが、
それでも、かなり長くなってしまいましたね。ふ~っ(汗)

計量テンソルについても、まとめておきたいのですが、次回。


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html
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数学>テンソル | コメント(0) | 2012/09/22 01:33

99次方程式~解答編 (1)

先日の99次方程式の問題の解答編。

大学レベルの数学を使って、さらっと書いて終わりにしようと思ってたのですが、
一応、分かりやすく!というリクエストがあったので、丁寧に書いてみます(笑)

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。



まず、左辺の部分が等比数列の和に見えてくるでしょうか?

つまり、1をx倍すると、xになり、さらにx倍すると、x2になり・・・
というように、初項1、公比xの等比数列になっていますよね。

ということで、高校で習った等比数列の和の公式が使えるってわけです。
・・・と、公式を使っちゃってもいいのですが、
それでは、覚えてない人はガッカリでやる気を失うと思うので、
公式を使わずにやりたいと思います。

左辺の部分をSとします。
S = x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1

この両辺にxをかけると、
xS = x100 + x99 + x98 + ・・・ + x3 + x2 + x

そして、下の式から上の式を引いてやると、
間にある同じ項がすべて消えてくれて、
(x - 1) S = x100 - 1
となります。

ここで、xが1でなければ、両辺をx-1で割ることができるので、
まずは、xが1でないことを確かめておきます。

問題の式に戻って、x=1を代入してみると、
左辺は、1+1+1+・・・+1+1=100 となり、
右辺は0ですから、方程式が成立しません。

つまり、xは1ではない(x=1が解ではない)ことが分かります。
このことは、あとでも使うので、覚えておいてください。

というわけで、x≠1が確認できたので、x-1で割ってやると、
Sの式が求まります。
S = (x100 - 1) / (x - 1)
これぞ、等比数列の和の公式ですね!

これを元の方程式に戻してみると、
(x100 - 1) / (x - 1) = 0
となります。

これが満たされるのは、分子=0の時、すなわち、
x100 - 1 = 0
つまり、
x100 = 1
となるときです。

つまり、xは100乗して1になる数、すなわち、1の100乗根ということになります!

ただし、1自身も100乗して1になるので、1の100乗根の一つですが、
上で「xは1ではない」という確認をしたので、1だけは取り除かれます。

というわけで、
x = 1 1/100 (ただし、x=1を除く)

となります。

通常、n乗根は複素数の範囲でn個存在するので、1の100乗根は100個あります。
x=1を除くので、全部で99個あることになりますね。
99次方程式なので、99個すべて出そろったということになります。

これが答え!
と言ってしまってもいいと思うのですが、
これだとどんな数だかさっぱりイメージわかないと思うので、
次回記事で、もう少し分かりやすい表現に変えていきたいと思います(笑)

ここからは、大学レベルの数学を少しだけ使います。
と言っても、複素関数論の教科書の初めの数ページに書かれているような内容なので、
そんなに難しいわけではないのですが・・・
数学>高校+α | コメント(2) | 2012/09/20 23:51

99次方程式

ちょっと面白そうな数学の問題を思いついたので、出題してみます。
(ひょっとすると、僕が知らないだけで、定番の問題なのかもしれませんが・・・)

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。
代数学の基本定理から、解は最大で99個あるはずですね!

先日、mixiの方でつぶやいた時には、100次方程式にしてたのですが、
99次に変えました。
というのも、99次にすると、おもしろいことに、
実数解が一つだけ存在するんです!
その実数解は、たぶん、あてずっぽうでもすぐに見つけられますよね。
複素数の範囲だと、他にもたくさん解があります。

純粋に高校の範囲だと、残念ながら、たぶん最後の解までは行きつけなくて、
少しだけ大学レベルの数学を使います。
(ひょっとしたら、高校レベルで解けるエレガントな方法があるのかもしれませんが)

答えが分かったら、どんどんコメントしてくださいね!
しばらくしたら、別記事にて、解答をアップします!
・・・と言いつつ、自分で考えた解答なので、間違ってたらすみません(汗)
数学>高校+α | コメント(8) | 2012/09/06 19:25
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