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∫ 数学を理解しやすくする方法 (1)

・・・などと大変、エラソーなタイトルをつけてしまいましたが(^^;
たいして目新しい話でも何でもありません。
なんとなく、キャッチーなタイトルにしてみたかっただけ(笑)

数学という学問は、物事をどこまで抽象化できるかという学問なわけで、
その抽象化が、数学好きにはたまらないわけなのですが、
嫌いな人にとっては、その抽象性がゆえに理解できないのではないでしょうか?

そこで、具体的イメージを描くことさえできれば、
意外にすんなり理解できるというケースも多々あるような気がします。


具体的イメージとして、一番描きやすそうなのは、
やっぱり、お金じゃないでしょうかね?(笑)

日本人のほとんどが消費税の計算ができるというのは、
ほんとはすごいことなんじゃないかと思うんです。

というわけで、一見めんどくさそうな問題が
お金に例えるだけで、瞬時に解けてしまうという例を紹介してみましょう!

これは、日能研の電車広告で見た中学入試か何かの問題なのですが、
ネット探しても見つからないので、適当にうろ覚えで、数値や表現は変えてあります。


問題

次のように、分数がある規則性をもって並んでいる数列があります。
この数列は、ある整数に限りなく近づいていきます。
その整数を答えなさい。


bunsuuretsu-question01.jpg
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数学>雑感 | コメント(8) | 2013/04/25 00:35

∫ 電磁誘導のガリレイ不変性 (2) 余談

前記事の余談です。

高校物理では、定番のこの問題!

induction-lorentz-invariance02.jpg

図のように、導線の上に置かれた導体棒が一定の速さで動いている時に、
発生する誘導起電力を求めさせる問題ですね。

この問題には、解き方が2種類あります。
(注:高校ではMKSA単位系を用いるので、以下では、係数は k3=1, α=1 とします)

磁束の変化から求める方法

導体棒が動くことによって、回路の面積が増加すると考えて、
磁束の変化から求めます。

\[
V = \frac{d\Phi}{dt} = B\frac{dS}{dt} = Bvl
\]

ローレンツ力から求める方法

導体棒に存在する電子に働くローレンツ力を電場とみなすと、
\[
E = \frac{F}{e} = \frac{eBV}{e} = Bv
\]
起電力は、電場に距離を乗じたものだから、
\[
V = El = Bvl
\]

というわけで、2つの方法で見事に同一の答が得られます!


こんなに全然違う解き方をしているのに、
なぜ、最終的に答が一致するのか?


ということが、高校時代は、不思議でたまらなかったんですよね!

今にして思えば、前記事で述べた相対性原理の要請から来る係数の関係
\[
k_3 = \frac{1}{\alpha}
\]
のために一致するということだったわけです。

高校物理では、わりと奥深いことが、
意外にさらっとスルーされてたりするんですよね(笑)
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/04/19 00:15

∫ 電磁誘導のガリレイ不変性

前回、単位系に依存しないマックスウェル方程式を導出しましたが、
これから、係数の依存関係を求めていきます。

一つ目は、電磁誘導のガリレイ不変性から。

厳密には、マックスウェル方程式は相対論的なローレンツ不変性が成立しますが、
Jacksonにならって、ここでは、v/c << 1 の範囲で、
近似的に非相対論的なガリレイ不変性で考えて、係数の依存関係を求めます。

考えたいのは、このような話。

induction-lorentz-invariance.jpg

電磁誘導を考えた時、磁石の方を動かしても、回路の方を動かしても、
同じだけの誘導起電力が発生します。

高校物理では、回路の内部を貫く磁束はどちらも同様に変化するから
同じ現象という扱いで、さらっと説明されていると思いますが、
これは実は、

「回路が静止した座標系(左図)と磁石が静止した座標系(右図)の
どちらの系から見ても、電磁気学の法則は不変である」


という相対性原理を前提としている話。

というわけで、相対性原理(ガリレイ不変性)を前提すると、
係数にどのような依存関係が出てくるかを見ていきます。

induction-gallilean-invariance.jpg


図のように、回路 C が実験室系に対して、速度 v で動いている
状況を考える。

実験室系から見た場合も、回路とともに動く座標系から見た場合も、
以下の法則が成立する。

\[
\int_C {\bf E}\cdot d{\bf s} = -k_3 \frac{d}{dt}\int_S {\bf B}\cdot d{\bf S} \tag{1}
\]

実験室系で見た場合、
磁束の変化は、実際に各点の磁場が変化していること
($\partial{\bf B}/\partial t$ による効果)に起因するので、

\[
\int_C {\bf E}\cdot d{\bf s} = -k_3 \int_S \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} \cdot d{\bf S} \tag{2}
\]

一方、回路とともに動く系で見た場合、
磁束の変化は、回路Cが動くことによる位置の変化による磁場の変化
も考慮しなければならない。

回路内部の磁場のトータルな変化は、
もともとの各点の磁場の変化に加えて、回路が動くことによる変化が加わる。

\[
\frac{d{\bf B}}{dt} = \frac{\partial{\bf B}}{\partial t}
+ ({\bf v}\cdot\nabla){\bf B} \tag{3}
\]

ベクトル解析の公式
\[
\nabla\times({\bf a}\times{\bf b})
= {\bf a}(\nabla\cdot{\bf b}) - {\bf b}(\nabla\cdot{\bf a})
+ ({\bf b}\cdot\nabla){\bf a} - ({\bf a}\cdot\nabla){\bf b} \tag{4}
\]
を用いて、
\[
\nabla\times({\bf B}\times{\bf v})
= ({\bf v}\cdot\nabla){\bf B} - {\bf v}(\nabla\cdot{\bf B}) \tag{5}
\]
となるから、(v は一定)

\[
\frac{d{\bf B}}{dt} = \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} + \nabla\times({\bf B}\times {\bf v}) \tag{6}
\]

ここで、マックスウェル方程式から $\nabla\cdot{\bf B} =0$ を用いた。

これを最初の式(1)に代入して、ストークスの定理を用いて整理すると、

\[
\int_C ({\bf E}' - k_3 {\bf v}\times{\bf B})\cdot d{\bf S}
= -k_3 \int_S \frac{\partial{\bf B}}{\partial t}\cdot d{\bf S} \tag{7}
\]

ただし、E' は、回路とともに動く系から見た誘導電場で、
実験室系から見た誘導電場 E と区別するために、' をつけた。

(2)と(7)を比較すると、

\[
{\bf E} = {\bf E}' - k_3{\bf v}\times{\bf B}
\]
すなわち、
\[
{\bf E}' = {\bf E} + k_3{\bf v}\times{\bf B} \tag{8}
\]

つまり、実験室系から見た場合には、
誘導電場に加えて、$k_3 {\bf v}\times{\bf B}$ という追加項が付加されることが分かる。

これは、実際に回路が存在した場合に、
電荷が動くことによるローレンツ力と解釈することができるので、

以前の記事に登場したローレンツ力の式

\[
{\bf E} = \frac{\bf F}{q} = \frac{1}{\alpha} {\bf v}\times{\bf B} \tag{9}
\]

と比較すると、

\[
k_3 = \frac{1}{\alpha} \tag{10}
\]

という関係式が得られる。

これで、係数の依存関係が一つ求められました。


参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics
物理>電磁気学 | コメント(2) | 2013/04/16 23:47

∫ 単位系に依存しないマックスウェル方程式 (1)

古典電磁気学を復習していた当初の目的であった
単位系に依存しないマックスウェル方程式
がようやく導出できました!

単位系に依存しないというのは言いすぎかもしれませんが、
有名な単位系には、ほぼ対応してると思います。

これまでに導出してきた方程式を並べて、完成!

\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho \tag{1}
\]
\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
= 4\pi k_2\alpha {\bf j} \tag{2}
\]
\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{3}
\]
\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{4}
\]

と言っても、Jacksonの巻末Appendixに掲載されている式
そのものなんですけどね。
自分で理解しながら、導出したという意義が僕には大きいってことで(笑)

式の順番は、導出した順と多少違うところがあるかもしれませんが、
この順番が、相対論に行った時に分かりやすい気がします。
というのは、(1)と(2)、(3)と(4)がペアになって、それぞれ一つの式に統合されるから。

上の式で完成と書きましたが、実は、
ここで登場した4つの係数 k1、k2、k3、αは独立ではありません。
この後、係数の依存関係を求めていき、
独立係数2つにしたバージョンを作りたいなあと思っています。


参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/04/03 18:57

計量テンソル

計量テンソルについて、まとめておきます。

定義

gmn = emen   共変
gmn = emen   反変
gmn = emen = δmn   混合

最後の混合形については、双対基底の定義から
必ず、クロネッカーのδになる。

対称性
実数ベクトルのみを考えると、
gmn = gnm
gmn = gnm
gmn = gnm

内積
計量テンソルが定義されると、
次のように、ベクトル同士の内積が計算できるようになる。

AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn

最後の2つは重要なので、再掲。
AB = An Bn = An Bn

昇階・降階
Am em = Ak ek
の両辺に、enを掛けると、
Am gmn = An   昇階

同様に、enを掛けると、
Am gmn = An   降階

というように、計量テンソルを使うと、添え字を自由に上げ下げできる。

また、上の2つの関係を見ると、昇階と降階は逆変換なので、
gmngmn は互いに逆行列の関係になっている。

・・・と、このぐらいで、
特殊相対論の範囲は大丈夫なんじゃないかと思っています。
一般相対論になると、共変微分とか曲率テンソルとか
いろいろややこしそうなのが出てきて、大変そうだけど・・・(汗)


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html
数学>テンソル | コメント(0) | 2013/04/02 19:00
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