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最小作用の原理

ハミルトン形式を制するには、
まずは、ラグランジュ形式を制すべし!
ってことで、最小作用の原理から、復習しております(汗)

最小作用の原理
時刻 t1, t2 において、位置 q(t1), q(t2) を通る経路のうち、
作用積分
\[
S = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t), t) dt
\]
が最小(正確には停留値)となるような経路が実現される。

多自由度の時は、qi を q で代表して表記。
q' は、q の時間微分。

これから、Euler-Lagrangeの方程式を導きます。

端点を固定した変分 δqi(t) を考える。
\[
\delta S = \int \delta L dt
= \int \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right] dt
\]
ここで、
\[
\delta \dot{q} = \frac{d}{dt}\delta q
\]
であるから・・・と、たいていの教科書ではさらっと書いてあるのですが、
僕は、初めての時に、「ん?」と思ったので、
バカ真面目に書いてみます(笑)

δq' とは何かというと、
q → q + δq と変化した時に、
その時間微分が q' → q' + δq' と変化すると言う意味。

つまり、
\[
\begin{eqnarray}
\delta \dot{q} & = & \frac{d}{dt}[ q + \delta q ] - \frac{dq}{dt} \\
& = & \frac{dq}{dt} + \frac{d}{dt}\delta q - \frac{dq}{dt} \\
& = & \frac{d}{dt}\delta q
\end{eqnarray}
\]
これを使って、δSの第二項を部分積分すると、第二項は、
\[
\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right]_{t_1}^{t_2}
- \int \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right] \delta q_i dt
\]
となり、この初めの項は、端点固定の仮定から0になるので、
\[
\delta S = \int \left\{ \frac{\partial L}{\partial q_i}
- \frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right] \right\} \delta q_i dt
\]

任意の変分に対して、停留値条件 δS = 0を満足するためには、
\[
\frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right] - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
\]

となり、Euler-Lagrange方程式が導かれました。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/05/29 00:23

解析力学、何度目の挑戦?

もう何度目の挑戦でしょうか?
またもや、解析力学に挑戦中です!

正準変換のところで理解できなくなって、
ドロップアウトを繰り返してますが、
ここをクリアしないと、量子力学が先に進めない・・・

というわけで、何度目かの挑戦中です!

解析力学って、大学の初年度でやりますけど、
ほんとはかなり難しいんですよね!
そして、かなり重要なんですよね!

抽象的すぎてつかみどころがなくて、
ついつい、相対論や量子論の方が派手に見えるから、
地味な解析力学は適当に終わらせがちだけど、
これが基礎になってますからね・・・

教科書としては・・・
ランダウ・リフシッツ「力学」
大貫「解析力学」(岩波ポケットシリーズ)
ゴールドスタイン「古典力学」

を持ってるんですが、
ネットでいろいろ探していたら、分かりやすい講義録を見つけました。

筑波大オープンコース 宮崎 州正 「解析力学」
(リンク先の「講義ノート」というところにPDFファイルがあります)

オープンコースだけあって、説明がしっかりしていて、
ツボをついていて、すごく分かりやすいです!
こういう教材があるのは、ほんとありがたいですね。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/05/24 20:52

行列の正則性の条件

n次正方行列 A が正則であるとは、

AX = E かつ XA = E を満たす X が存在する

というのが定義ですが、

有限次元の場合は、
このうちのどちらかの条件が成立するだけで、正則になります。


どうやって証明するんだろう?と前から気になりつつも、
フォローするのが面倒で、理解してませんでしたが、
この機会にフォローしてみました。

岩堀本[1]と斎藤本[2]、両方で同じ方法による証明が載ってました。
ちなみに、佐武本[3]ではどうなってるかなと見てみたら、あっさりと、
\[
{\rm det}A \cdot {\rm det}X = {\rm det}E = 1
\]
より 
\[
{\rm det}A \neq 0
\]
となってました(笑)

あ、そっか!って感じですが、行列式を導入するところまで、
正則性の条件を緩めずに説明していくのはちょっと大変じゃないのかな?
と思ったりもしました。


というわけで、岩堀[1]と斎藤[2]に載っている証明を追っていきます。

仮定として、AX = E だけが成立しているとして、XA = E は未知とする。

数学的帰納法を用いることにして、
n = 1 の時は、スカラーだから、成立は自明。
n-1次では、成立していると仮定する。

行列の基本変形を使う。
左右基本変形はすべて、正則行列で表せるというのがポイント。
(正則なのは、変形が可逆だから明らか)

基本変形を使って、第一行、第一列を掃き出して、
\[
PAQ = \left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
A_1 & 1
\end{array}
\right]
\equiv B
\]
とできる(P,Qは正則)。

\[
Y = Q^{-1}XP^{-1}
\]
という行列 Y を導入すると、

\[
BY = (PAQ)(Q^{-1}XP^{-1}) = PAXP^{-1} = PP^{-1} = E
\]

ここで、
\[
Y = \left[
\begin{array}{cc}
y & \Box \\
\Box & Y_1
\end{array}
\right]
\]
と分解すると、

\[
BY = \left[
\begin{array}{cc}
y & \Box \\
\Box & A_1Y_1
\end{array}
\right]
\]
となり、

\[
A_1Y_1 = E
\]
が成り立たなければならない。
この時、上式は、n-1 次の正方行列の式なので、
帰納法の仮定により、A1は正則である。

ゆえに、Bも正則である。なぜなら、
\[
B^{-1} = \left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & A_1^{-1}
\end{array}
\right]
\]
が存在する。

\[
A = P^{-1}BQ^{-1}
\]
より、Aも正則である。
(証明終)


参考文献
[1] 岩堀 長慶 編 「線形代数学」(裳華房)
[2] 斉藤 正彦 「基礎数学1 線型代数入門」(東大出版会)
[3] 佐武 一郎 「数学選書(1) 線型代数学」(裳華房)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>線形代数 | コメント(0) | 2013/05/21 23:49

線形代数の教科書

ウン十年前の学部時代には、これを教科書として指定されて、使ってました。

線形代数学
線形代数学岩堀 長慶

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まさに「数学書」然としたスタイルの本で、難解な感じがしますが、
よく読みこんでいくと、内容が豊富だし、証明もしっかりしていて、
なかなか読みごたえのある良書ですね!

残念ながら、絶版になっちゃってるみたいですが、
中古では、すごく安く買えるようです。

こちらは、東大出版会シリーズで有名な本ですね。

線型代数入門 (基礎数学1)
線型代数入門 (基礎数学1)齋藤 正彦

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同シリーズの「解析入門」(杉浦光夫)がすごくお気に入りだったので、
義父から借りて、読んでいます。

なるほど、評判通り、すごく分かりやすいのですが、
入門レベルということで、内容の分量をかなり抑えているのがやや不満。
「解析入門」の方は、2巻にわたって、かなり骨太な内容になっているので、
それの線形代数版を期待していました。
とは言っても、内容はすばらしい本なので、適宜、参照させてもらってます。

そして、この佐武本。

線型代数学 (数学選書 (1))
線型代数学 (数学選書 (1))佐武 一郎

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線形代数のスタンダードになっている教科書のようで、
読んでみたくなり、購入してみました。
どんな内容か、楽しみです。

ちなみに、この数学選書シリーズ、興味深い本が多々ありますね!
なんだか、最近、物理より数学に脳内を支配されつつあります(笑)

以上の3冊をもとに、線形代数を勉強していこうと思います。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>線形代数 | コメント(0) | 2013/05/21 23:43

線形代数にハマる

内積やら、変換やらが出てきて、線形代数の本を読み返してたら、
今度は、線形代数にハマっちゃいました(笑)

線形代数の教科書なんて、学部の教養の時以来です。
あの頃もあんまりちゃんとは理解できてなかったし・・・^^;

もちろん、線形独立や基底や、ある程度の理解はしてるつもりですが、
改めて読むと、奥が深い!(笑)

とりあえず、理解したいこと。

内積を不変にする変換を考察中ということで、
計量同型変換(ユニタリ変換)について。

内積とは何だろう?ってところから、2次形式について。
正値とは?非退化とは?

群論の勉強で必要になってきそうな
不変部分空間とか、既約分解とか・・・

あとは、例のn次元体積の話で、
体積が行列式で定義できるしくみ。

結局、全部ですね!(笑)
この先のためにも、しっかり理解しておきたいところです。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>線形代数 | コメント(0) | 2013/05/17 20:46
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