FC2ブログ

Euler-Lagrange方程式の座標変換不変性

Euler-Lagrange方程式
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
\]

は、座標系 q を別の座標系 Q に変換しても不変であるという話。

最小作用の原理で考えれば、
変分を q で動かそうが、Q で動かそうが、
作用が最小になるところを探すのに変わりはないので、
同じ形になって当然なわけです。

・・・が、そういわれて、
「はい、そうですか!」と納得できる人はいいんですが(笑)
僕はすんなり納得できないタイプなので(汗)、
実際にそうなっているかを確かめてみます。

点変換  
\[
Q_i = Q_i (q_1, q_2, \cdots )
\]

を考える。

時間に陽に依存してもいいのかもしれませんが、
時間に陽に依存しないとしておく。

さらに、点変換は可逆であるとしておく。
つまり、逆変換
\[
q_i = q_i (Q_1, Q_2, \cdots )
\]

が存在するとする。
ヤコビ行列式 $|\partial Q/\partial q| \neq 0$ の状況。

このような仮定のもとに、新しい Q がEuler-Lagrange方程式
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial L}{\partial Q} = 0
\]

を満たすことを確認する。

ここで、新しいラグランジアンは、
\[
L = L(Q, \dot{Q}, t) = L(q(Q), \dot{q}(Q, \dot{Q}), t)
\]
というように考える。
Lの関数形は当然変わるので、厳密には、L'などと書かなければならないが、
Lと書くことにする。

Q と Q' に関する微分は、
\[
\frac{\partial L}{\partial Q_i}
= \frac{\partial L}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial Q_i}
\]\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_i}
= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{Q}_i}
\]
(仮定より、q は Q'によらないから、第二式に q の項はない)

q の時間微分を考えると、
\[
\dot{q}_j = \frac{\partial q_j}{\partial Q_k} \dot{Q}_k
\]

上式の 偏微分は Q にのみ依存するから、
\[
\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial Q_i}
= \frac{\partial q_j}{\partial Q_i \partial Q_k} \dot{Q}_k
\]\[
\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{Q}_i}
= \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}
\]

あとは、書くのが面倒だから、省略しますが、
これらの関係を使って単純に計算すると、
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_i} - \frac{\partial L}{\partial Q_i}
= \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}
\left[ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} \right]
\]
なる式が出ます。

$\partial q_j/\partial Q_i$のところがヤコビ行列になっていて、
正則であるという条件をつけたので、
Q に関するE-L方程式と、q に関するE-L方程式は、同値となることが分かります。

これで、座標変換不変性は納得できるわけですが・・・
q とq'が時間微分の関係になっているので、
導出がとても複雑な感じに見えてしまうものの、
考えてみたら、要するに、

qの関数 f(q) を Qの関数 f(Q) に変数変換した時に、
\[
\frac{\partial f}{\partial Q}
= \frac{\partial q}{\partial Q} \frac{\partial f}{\partial q}
\]

となるってだけの話ですね!
そうやって考えると、容易に納得できます(笑)


参考文献
[1] 宮崎 州正 「解析力学」講義資料 
http://ocw.tsukuba.ac.jp/74065de55b667fa430fb726974065b66985e/89e36790529b5b66-2
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/06/04 20:24

集合、位相、多様体

線形代数や群論を勉強しているうちに、
集合論や位相論の基礎をきちんと習得しておきたいなあと思うようになり、
定番中の定番と言われるこの本を読んでます。

集合・位相入門
集合・位相入門松坂 和夫

岩波書店 1968-06-10
売り上げランキング : 18287


Amazonで詳しく見る
by G-Tools


まだ、第一章ですけど、いや、面白いのなんのって・・・
すごく頭使うけど、面白すぎ!(笑)
「選択公理」とか前から気になってましたが、そういうことだったんですね!

このあたりをしっかり勉強しておけば、群論をやる時にも
(環や体についても、いずれ勉強したいし・・・)
ちょっとは、分かりやすくなるかなと期待。

そして、正準変換についての資料をあれこれ探していたら、
外積代数微分形式を使うと、統一的に理解できると書かれている資料を見つけ、
こちらにも、にわかに興味が出始めました!

そこで、多様体について、勉強したくなってきました。
多様体というと、やたらに難しそうで、
一度ハマったら抜け出せなさそうな気がして、敬遠していたのですが・・・笑

まずは、簡単な本からという手もあったのですが、
中途半端になってしまいそうなので、
こちらも、いきなり、この定番中の定番の教科書をポチってみました!

多様体入門 (数学選書 (5))
多様体入門 (数学選書 (5))松島 与三

裳華房 1965-09
売り上げランキング : 360259


Amazonで詳しく見る
by G-Tools


ちょっとやりすぎたかな?
理解不能だったら、もう少し簡単な教科書を別途、購入しようと思います^^;
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>位相 | コメント(2) | 2013/06/03 19:58
« Prev | HOME |