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内積を保存する変換 (2)

引き続き、怪しい展開の続きを・・・笑

計量 $G = (g_{ij})$ で定義された内積を保存する変換 A は、
\[
A^TGA = G
\]
を満たす。

行列 A を構成する列ベクトルを ${\bf a}_i$ とすると、
\[
({\bf a}_i, {\bf a}_j) = g_{ij}
\]

と書ける。

ただし、ここでいう内積は計量Gで定義された内積であることに注意。

この式は、直交行列(ユークリッド内積)の場合には、
$g_{ij} = \delta_{ij}$ となるので、
列ベクトル同士が正規直交性を示すことに相当している。

行列Aの列ベクトル ${\bf a}_i$ は、
第i成分だけが1の単位列ベクトル ${\bf e}_i = (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0)^T$
をAで変換したもの $A{\bf e}_i$ に他ならないので、
\[
g_{ij} = ({\bf e}_i, {\bf e}_j)
\]
であることと考え合わせると、
\[
({\bf a}_i, {\bf a}_j) = (A{\bf e}_i, A{\bf e}_j) = ({\bf e}_i, {\bf e}_j)
\]
というように、単位ベクトル同士の内積が変換後も保存されていることを
示していることになる。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/06/30 16:53

内積を保存する変換 (1)

ここからの展開は、完全に我流なので、考え方自体かなり怪しいです。
くれぐれも、内容ご注意ください!

ユークリッド内積を保存する直交変換に続いて、
ミンコフスキー内積を保存するローレンツ変換について
考えていきたいので、一般に、
内積を保存する変換というものを考えてみたいと思います。

考えてみると、
ミンコフスキー内積は、
正値性 \( (x, x) \geq 0 ({\rm for} {}^\forall x ) \) を有していないので、
普通の線形代数の教科書に出てくるような通常の「内積」の定義とは異なるようです。

そこで、正値性は要求しないことにします。

計量を G として、
内積は、
\[
(x, y) = x^TGy
\tag{1}
\]

非退化ではない内積なんてものも存在するのか分かりませんが、
とりあえず、非退化性を仮定して、Gは正則とします。

ユークリッド内積の場合は、G = E (単位行列)
ミンコフスキー内積の場合は、G = diag (1, -1, -1, -1)

このような内積を保存する変換Aの条件は、
\[
(Ax, Ay) = (x, y)
\tag{2}
\]
より
\[
(Ax)^TG(Ay) = x^TGy
\]
\[
A^TGA = G
\tag{3}
\]

この変換は、群をなすのでしょうか?

(1)積は閉じているか?
\[
(AB)^TG(AB) = B^TA^TGAB = B^TGB = G
\]
閉じているようです。

(2)結合律は自明。

(3)単位元は、単位行列。

(4)逆元は、存在するか?
Gは正則と仮定したので、Aも正則であるから、逆行列 A-1は存在。
この逆行列が変換の条件(3)を満たしているか?

(3)の両辺に左から(AT)-1、右からA-1をかけると、
\[
G = (A^T)^{-1}GA^{-1}
\]

\( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \) だから、
この式はA-1も条件式(3)を満たすことを意味する。

ということで、逆元も存在!

以上から、どうやら群をなすようですね!
ほんとかなあ・・・あんまり、自信ありませんが(笑)

ミンコフスキー内積の場合は、ローレンツ群をなすことが知られてますね。
非退化な一般の内積に対しても、群をなすようです。

このあたりの一般的な話が載っているような本を
持っていないので、あまり自信はありません。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/06/30 15:28

2次直交群 O(2)

2次の直交行列がどういう形になるか見てみます。

簡単すぎるので、あんまり本には掲載されてないのですが、
これぐらいのところからやった方が僕には理解が進むので・・・
ほとんど我流なので、正しいかどうか不明です。

行列を
\[
A = \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
= [ {\bf a}_1 {\bf a}_2 ]
\]
とおく。

直交行列の条件から、
\[
|{\bf a}_1|^2 = a^2 + c^2 = 1
\]\[
|{\bf a}_2|^2 = b^2 + d^2 = 1
\]\[
{\bf a}_1 \cdot {\bf a}_2 = ab + cd = 0
\]

上の2式から、
\[
a = \cos\theta, \hspace{1cm} c = \sin\theta
\]\[
b = \cos\phi, \hspace{1cm} d = \sin\phi
\]
とおける。

残りの式に代入すると、
\[
\cos\theta \cos\phi + \sin\theta \sin\phi = 0
\]

加法定理を用いて、
\[
\cos(\theta - \phi) = 0
\]
\[
\therefore \phi = \theta \pm \frac{\pi}{2} + 2n\pi
\]

(1)符号+の場合
\[
b = -\sin\theta, \hspace{1cm} d = \cos\theta
\]\[
A = \left[
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right]
\]
これは、
(1,0)→(cosθ, sinθ)
(0,1)→(-sinθ, cosθ)
に移すので、原点周りの角度θの回転を表す。

(2)符号-の場合
\[
b = \sin\theta, \hspace{1cm} d = -\cos\theta
\]\[
A = \left[
\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta \\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}
\right]
\]
これは、
(1,0)→(cosθ, sinθ)
(0,1)→(sinθ, -cosθ)
に移すので、x軸に対して角度θ/2傾いた軸に対する鏡映を表す。

行列式を計算すると、
(1)の場合は、$\det A = 1$
(2)の場合は、$\det A = -1$

よって、特殊直交群 SO(2)は、(1)の形になる。

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/06/28 00:43

ゲージの自由度

結局、未だによく分かりません(汗)

ゲージ変換をしても、物理的に観測できる電磁場は変わらない
というのはもちろん分かるのですが、
何が分からないかというと・・・

物理の視点から離れて、純粋に数学として式を見た場合の
未知数の個数と、式(条件)の個数の関係。


何を決めれば、何が決まるのか。
自由度とはいったい数学で言うところの何なのか?


とりあえず、「EMANの物理学」さんの掲示板でこんな質問をしてみて、
有識者の方からいろいろご意見いただけて、参考にはなったのですが、
まだ消化不良で、全然すっきりとはしておりません。

偏微分方程式論やベクトル場の理論があんまり分かってないからなんでしょうね。

たとえば、u(x,y) に対する偏微分方程式 

∂u/∂x = 0

があるとすると、

u = f(y) (fは任意関数)

となり、1階の偏微分方程式からは、1個の任意関数が出てくる。
境界条件を指定してやると、その任意性が取り除かれる。

そういった一般論を積み上げて、
どういう条件を決めれば、どこまで解が決まるのか
といった統一的理解が得られないかと。

・・・と書いていて、今ようやく気づいたんですが(汗)、
未知数の個数と条件の個数だけでなく、階数も考慮しないといけないですね!

あとは、境界条件を決めても、解が一意に決定される場合とされない場合がありますね。

たとえば、ラプラス方程式 △Ψ = 0 は、正則な解を仮定して、
境界で0を仮定すると、Ψ = 0 という解に決まるようです。

にわか勉強で怪しいのですが、最大値・最小値の原理から
必ず、境界で最大値・最小値を取るので、
そうなると、任意の点で0にならざるを得ないというわけです。

でも、無限遠のような境界条件でもそれはOKなんだろうか???

一方、波動方程式 □Ψ = 0 の場合は、
境界0を仮定しても、離散的な周波数の波動解の任意性が残りそうですよね。

それも、無限遠境界だと、だめなような気が(汗)
場の量子化を考える時には、周期的境界条件を使うのでOKなんでしょうけど。

ベクトル場になってくると、どう考えたらいいんでしょう?

たとえば、マックスウェル方程式を満たす電磁場が
どのような境界条件や初期条件から一意に決まるのかといったこと。

無限遠で急速に0になることを仮定して、
ヘルムホルツの定理を使って、渦なしの場と発散なしの場に分解すると、
何か分かるでしょうか?

不勉強ゆえ、かなりあいまいなことを言っておりますが、
こういったことを統一的にすっきりと理解出来たらなあ・・・
と思っている今日この頃です。

と言いつつ、最近は、仕事の方で、固体物理を勉強しなくてはいけないので、
あんまり、それどころではないのですが・・・
いろいろと、やることはいくらでもありますね^^;
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/06/20 12:53

ゲージ (3)

また久しぶりに、電磁場の量子化に挑戦してみようと思って、
相変わらず、「ゲージ」が分からなくて、困ってます(汗)

とりあえず、以前、奮闘していたのがこちらの記事

電磁場には、ゲージ変換の自由度があるというのは分かるんですが、
自由度というものをどういう風に考えればよいのかがよく理解できません。

クーロンゲージだと、自由度が完全に固定されてしまうけど、
ローレンツゲージだと、自由度がまだ残ってるそうです。

クーロンゲージだと、ゲージの関数χが
ラプラス方程式 △χ = 0 を満たさなくてはいけないので、
χ = 0 が唯一の解となって、自由度はなくなってしまう。

ということみたいだけど、
ラプラス方程式の解は、0になるんだっけ?
にわか勉強によると、正則で、境界で0と仮定すると、0になるっぽいですが、
偏微分方程式もちゃんと勉強しないとなあ。

ローレンツゲージだと、
波動方程式 □χ = 0 を満たすので、
解はいろいろあって(平面波とか球面波なんだろうか?)
自由度はまだ残るということみたいです。

でも、それとは別に、
クーロンゲージだと、縦波と横波の2個の自由度があるとか・・・
そういう話が出てくるのですが、
その「自由度」とは、また別の意味の「自由度」なんだろうか?
頭が混乱しております^^;
↑訂正・追記(6/9):昨日、寝ぼけてたかも(汗)クーロンゲージだと、横波だけで自由度2個でしたね^^;

そもそも、自由度って何?
未知数の数と条件の数と自由度の関係について、
すっきり理解したいものだなあと。

で、いろいろ検索していたら・・・
よく参考にさせていただいている「物理のかぎしっぽ」さんの掲示板で、
こんなトピックを発見。
Approches from degree of freedom
非常に興味深い話題なのですが、ハイレベルすぎて、何の話をしているのやら・・・^^;

いつかはすっきりと理解して、記事にまとめたいです。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/06/08 23:49
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