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電磁波

古典電磁気の記事がなかなか進みませんね^^;

少しおさらいしておくと・・・
単位系に依存しないマックスウェル方程式が導出できました。
\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho \tag{1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
= 4\pi k_2\alpha {\bf j} \tag{2}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{3}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{4}
\]

そして、係数の依存関係を求めていました。
依存関係は2つあって、
一つ目は、電磁誘導のガリレイ不変性から求めた
\[
k_3 = \frac{1}{\alpha} \tag{5}
\]
という関係。

もう一つが今日の話。
真空中のマックスウェル方程式から電磁波の方程式を導出して、
電磁波の速さを真空中の光速 c と結びつけます(光速は定数)。

真空中ということで、ρ = 0、j = 0 としたマックスウェル方程式を考える。

\[
\nabla \cdot {\bf E} = 0 \tag{6}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
= 0 \tag{7}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{8}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{9}
\]

式(9)の回転を取る。
\[
\nabla\times\nabla\times{\bf E} + k_3 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times{\bf B}) = 0 \tag{10}
\]

この式の左辺第一項は、式(6)を用いて、
\[
\nabla \times \nabla \times {\bf E} = \nabla(\nabla\cdot{\bf E}) - \nabla^2{\bf E} = -\nabla^2{\bf E}
\tag{11}
\]

左辺第二項には、式(7)を代入して、
\[
k_3 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times{\bf B})
= \frac{k_2 k_3 \alpha}{k_1}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
\tag{12}
\]
式(5)の関係から、
\[
k_3 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times{\bf B}) = \frac{k_2}{k_1}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
\tag{13}
\]

これらをまとめると、
\[
\nabla^2{\bf E} -\frac{k_2}{k_1}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2} = 0
\tag{14}
\]
という電磁波の方程式ができる。

速度 v の波動を表す一般の波動方程式
\[
\nabla^2\psi - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0
\tag{15}
\]
と比較すると、
光速 c と係数の間に
\[
c^2 = \frac{k_1}{k_2}
\]
すなわち、
\[
k_1 = c^2 k_2 \tag{16}
\]
という依存関係があることが分かる。

これで2つの依存関係が求められたので、
これらをもとに、次回は、独立な係数を2つに減らした
マックスウェル方程式を記述しようと思います。

参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/07/26 00:13

ab = 0 ⇔ a = 0 または b = 0

なんとなく、気が向いたので、これを証明してみようと・・・笑

中学の時から当然のように使っている定理ですよね。

たとえば、2次方程式 $x^2 - 1 = 0$を解く時に、
$(x+1)(x-1) = 0$ より、$x=1$ または $x=-1$
という論理展開で求めています。

あまりこういう数学っぽい証明は得意じゃないのと、
我流なので、間違ってるかもしれませんが・・・

複素数の場合でも同じでしょうけど、
実数としておきます。

0の定義は、加法単位元とします。
すなわち、任意の実数 a に対して、
\[
a + 0 = 0 + a = a \tag{1}
\]
が成立。

これが乗法吸収元であることをまず示します。
すなわち、任意の実数 a に対して、
\[
a0 = 0a = 0 \tag{2}
\]
が成立することを示します。

証明
加法単位元の性質(1)で、a = 0 とすると、
\[
0 + 0 = 0
\]
この両辺にaをかけると、
\[
(0 + 0)a = 0a
\]
分配律(実数の公理)を用いて、(←7/12 追記)
\[
0a + 0a = 0a
\]
実数の公理から、0a の加法逆元 -0a が存在するから、それを両辺に加えて、(←7/12 追記)
\[
0a + 0a + (-0a) = 0a + (-0a)
\]
ゆえに、
\[
0a = 0
\]

$a0 = 0$については、乗法の可換性(実数の公理)から成立。
よって、(2)が証明できました。

次に、本題の定理を証明します。

→の証明
$a=0$と$a\neq 0$の場合で場合分けする。

$a=0$の時は、明らかに成立。

$a\neq 0$の場合。
実数の公理から乗法の逆元 $a^{-1}$が存在。
$ab = 0$の両辺に$a^{-1}$を乗ずると、$b = a^{-1}0$
吸収元の性質(2)を用いて、$b = 0$

←の証明
$a=0$または$b=0$が成立する。
いずれの場合も、吸収元の性質(2)から、$ab=0$

以上で証明終了。

慣れない数学的証明ですけど、頭の訓練になりますね。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/07/12 00:52

2次元のローレンツ変換

「内積を保存する変換」の記事の内容をもとに、
ミンコフスキー内積の場合に適用して、
ローレンツ変換の行列を求めたいと思います。

ローレンツ変換は、ほんとは4次元ですが、
x軸方向のブーストの場合のように、
y, z軸方向の座標は変化しない
という制限を置いて、
x軸と ct軸の2次元で考えます。

そうすると、以前に「特殊ローレンツ変換」の記事
導出した行列が再び得られるはずですね。

第0成分をct、第1成分をxとすると、
ミンコフスキー計量は、
\[ g_{00} = 1 \]\[
g_{11} = -1 \] \[
g_{ij} = 0 \hspace{1cm} (i \neq j) \]
と定義できる(逆符号で定義する流儀もある)

ミンコフスキー内積が保存されるような変換
すなわちローレンツ変換の行列 A を
\[
A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]
\]
と置いて、
列ベクトルを ${\bf a}_i$ と書くと、
前記事で得られた条件
\[
({\bf a}_i, {\bf a}_j) = g_{ij}
\]
が内積保存の条件を与えるので、
\[
a^2 - c^2 =1
\]\[
b^2 - d^2 = -1
\]\[
ab - cd = 0
\]
となる。

このあたりの手続きは、2次直交群O(2)と同様な手順を踏んでいる。

上の2つの式から、
\[
a = \pm\cosh\theta, \hspace{1cm} c = \sinh\theta
\]
\[
b = \sinh\phi, \hspace{1cm} d = \pm\cosh\phi
\]
とおける(複号は任意)。

残りの式に代入すると、
\[
\pm\cosh\theta \sinh\phi \mp\sinh\theta \cosh\phi = 0
\]

加法定理を用いて、
\[
\sinh(\theta\pm\phi) = 0
\]\[
\therefore \phi = \pm\theta
\]
ただし、複号は aとdが同符号ならプラス、異符号ならマイナス。

これを行列に代入すると、次の4種類が得られる。

(1)本義
\[
A =
\left[
\begin{array}{cc}
\cosh\theta & \sinh\theta \\
\sinh\theta & \cosh\theta
\end{array}
\right]
\rightarrow
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]
(\theta \rightarrow 0)
\]

(2)空間反転
\[
A =
\left[
\begin{array}{cc}
\cosh\theta & -\sinh\theta \\
\sinh\theta & -\cosh\theta
\end{array}
\right]
\rightarrow
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right]
(\theta \rightarrow 0)
\]

(3)時間反転
\[
A =
\left[
\begin{array}{cc}
-\cosh\theta & -\sinh\theta \\
\sinh\theta & \cosh\theta
\end{array}
\right]
\rightarrow
\left[
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]
(\theta \rightarrow 0)
\]

(4)時間・空間反転
\[
A =
\left[
\begin{array}{cc}
-\cosh\theta & \sinh\theta \\
\sinh\theta & -\cosh\theta
\end{array}
\right]
\rightarrow
\left[
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right]
(\theta \rightarrow 0)
\]

ここで、
\[
\cosh\theta = \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]\[
\beta = \frac{v}{c}
\]
とおくと、
\[
\sinh\theta = \pm\sqrt{\cosh^2\theta - 1} = \pm\beta\gamma
\]
となり、
$\theta \rightarrow 0$ は、$v \rightarrow 0$ の場合に相当する。
このとき、系は何も変化しない(恒等変換)ことになるはずなので、
以前に「特殊ローレンツ変換」の記事で導出した
x軸方向のブースト時におけるローレンツ変換は、
(1)のタイプの本義ローレンツ変換である。

$\sinh\theta$は負号の方を取ってやると(でいいのかな?)
\[
A =
\left[
\begin{array}{cc}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{array}
\right]
\]
となって、以前の記事の式と一致!

つまり、ミンコフスキー内積が保存されるという条件だけを使って、
ローレンツ変換が数学的に導ける
というわけですね!

このあたりは、
以下の参考文献[1]のサイトを大変参考にさせていただきました。

それによると、本義ローレンツ変換は部分群をなすそうなのですが、
これは、いずれ確認してみようと思います。

参考文献:
[1] 岡村弘之 講義ノート「相対論」第6回
http://www.rcnp.osaka-u.ac.jp/~okamura/saitama-u/work/relativity/note-06.pdf
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/07/09 13:00

数式が小さすぎて見にくい時

MathJaxで書いた数式が小さすぎて、見にくい時の対処法です。

数式上で右クリックして、
Math Settings の Zoom Trigger のところを設定して下さい。

例えば、Clickを選んだ場合、クリックするとズーム画面が表示されます。
Hoverを選べば、マウスカーソルを載せるだけで、ズーム画面が表示されます。

すべての数式が小さすぎる場合は、
(僕の場合、老眼入って小さすぎるんですけど・・・汗)

Math Settings の Scale All Math...のところを選んで、
全体のズーム率を指定してやると、
すべての数式が一律に大きく表示されるようです。

僕の場合は、150%にすると、すごく見やすくなりました!

ブラウザごとに、一度だけ設定すればいいんだろうか???
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
MathJax | コメント(0) | 2013/07/05 19:11

MathJaxで数式表示

ブログでもっときれいに数式を書きたいんだけど、
昔やってたように、いちいち式を画像にしてアップロードはめんどくさいし、
いちいち修正するのも面倒!

と思っていたら、shigさんが「MathJax」なるものを教えてくださいました!

さっそく、有志の方が日本語で書いて下さっている
MathJaxの使い方」というサイトを参考にさせていただいて、
やってみました。

テンプレートに簡単な呪文を一度書けば、
あとは、記事中に、TeXコードを書くだけで、
こんなきれいに表示できるようになりました!

\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
\]

特に行列が書きにくくて困ってたんですけど、
こんな風に書けました。

\[
A =
\left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right]
\]

というより、書けてるはず!(笑)
というのが、FC2のリアルタイムプレビューではソースコード通りにしか表示されないのです。
(FC2以外のサイトが作っているスクリプトを使っているからしかたないのですが・・・)

上のサイトの方が作って下さっているリアルタイムプレビューツールで、
入力して確認してから、記事に張り付けていけばよさそうですね。
それか、TeXの生コードで常にリアルタイムで認識できるように、
頭の中にコンパイラを常備するか(笑)

めんどくさくなければ、これから記事は、
このツールを使って書いていこうかなと思っています。
shigさん、いいものを教えて下さって、ありがとうございます!

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
MathJax | コメント(2) | 2013/07/05 15:00
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