FC2ブログ

測定と期待値

Google様のトップページのデザインによると、
数日前の8/12は、シュレディンガーの誕生日だったようです。

あやかって、量子論の勉強などすればよかったのですが、
ピアノや遊びにかまけてしまいました・・・汗
というわけで、せっかくなので、久しぶりに量子論の続きを。

測定と期待値の話。

状態 |α> に対して、演算子Aに関する測定をすると、
測定値はどうなるかという話。

測定を行うと、状態はどれか一つの固有ケット |a'> に変化してしまい、
その時に、測定される測定値は、その固有ケットに対する固有値 a' となる。

どの固有値が測定値となるかは、確率的に決まる。
その確率はどのように決まるかというと・・・

状態 |α> を 演算子Aの固有ケット|a>で展開する。

\[
|\alpha\rangle
= \sum_{a'} c_{a'} |a'\rangle
= \sum_{a'} |a'\rangle \langle a'| \alpha\rangle
\tag{1}
\]

固有値 a' が測定される確率は、
元の状態|α>が規格化されているならば、
その展開係数 ca' の絶対値の2乗に等しい。


これは量子論における原理であって、証明されるものではありません。

この考え方は、「コペンハーゲン解釈」と呼ばれる現在、最も主流となっている解釈ですが、
他にもいろんな考え方が議論されているようで、まだ解決に至ってない問題のようですね。

これによると、a' が測定される確率は Pa' は、
\[
P_{a'} = |\langle a'|\alpha \rangle|^2
\tag{2}
\]
となる。

すべての固有値に対して、確率を足し合わせると1になることは、
|α>は規格化されていることと、

\[
\langle \alpha | \alpha \rangle
= \sum_{a'}\sum_{a''} \langle \alpha|a'\rangle\langle a'|a''\rangle\langle a''|\alpha\rangle
\\ = \sum_{a'} |\langle a'|\alpha\rangle|^2
= \sum_{a'} P_{a'}
\]

から確かめられる。

次に、期待値はどうなるか。
期待値 <A>は、次のようになる。

\[
\langle A \rangle = \langle \alpha|A|\alpha\rangle
\tag{3}
\]

なぜなら、
\[
\langle \alpha|A|\alpha\rangle
= \sum_{a'}\sum_{a''} \langle \alpha|a'\rangle \langle a'|A|a''\rangle\langle a''|\alpha\rangle
\\ = \sum_{a'} a' |\langle a'|\alpha \rangle|^2
= \sum_{a'} a' P_{a'}
\]

というわけで、
期待値を求めるには、演算子を状態ケットと状態ブラで挟めばよい。
うまくできてますよね!

参考文献
[1] J.J.Sakurai "Modern Quantum Mechanics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>量子力学 | コメント(0) | 2013/08/16 12:55

猛暑

この暑さ!もはや熱線ですね^^;

何秒間外にいたら、蓄積熱量でアウトになるか
とかフェルミ推定レベルで計算できそうな感じです(笑)

とりあえず、

太陽の単位面積当たりの照射熱量
体に当たる照射面積(cosθを考慮)
皮膚における吸収係数
筋肉の熱容量
体の表面から発散する熱流量

が分かれば、ざっくりと人間の温度上昇が計算できそうですね。

これと、気化熱から

何リットルの汗をかけば、平衡状態を保てるか

とか計算できちゃいそうですね(笑)
つぶやき | コメント(0) | 2013/08/12 15:19

夏休み

明日から仕事が夏休み!

たぶん、ピアノ弾いたり、出かけたり・・・
いろいろと遊んじゃうだろうから、
毎度のごとく、ほとんど勉強できないとは思いますが(笑)、

できれば・・・
電磁場の量子化シュレディンガー場の第2量子化あたりを
しっかりと勉強したい。
できれば・・・(汗)

特に最近、光の自然放出というものを
きちんと理解したいのですよね。

場の量子化をやらないと、おそらく、自然放出はちゃんと理解できない。
蛍光灯やLEDなど、ほんとに身近な発光現象の
原因になっているにもかかわらず、
理解できないと言うのは悔しいですよね・・・
ま、もちろん、身近な現象でも理解できてないものは山ほどありますが・・・汗

よし、頑張ろ!!!^^;
つぶやき | コメント(0) | 2013/08/10 00:04

電磁気の単位系

これでようやく、係数に具体的な値をセットして、
各種単位系について語るところまで来ました(ふーっ・・・汗)

そろそろ、既にかなりこの話題飽きてきてるので、
さっさと終わらせちゃいたいな(笑)

今日は、各種単位系の違いのポイントについて。
主に、参考文献[1]のWikipediaを参考にしています。

3元系と4元系
3元系は、基本的物理量として、
力学で使われる長さ・質量・時間の3つの基本量しか使わない。
電磁気学としては、新しい基本量を導入しないってわけですね。
CGSガウスやヘヴィサイド・ローレンツは、これに属する。

4元系では、電磁気学のために、
アンペアという電流の単位を新たに導入する。
これによって、力学量との単位換算のために、
真空の誘電率$\varepsilon_0$とか真空の透磁率$\mu_0$とかいうものが現れてしまい、
真空が誘電分極したり、磁化が発生したりするのかと誤解されて、
混乱のもとになるんですよね。
今のSI単位になっているMKSA単位系がこれに属する。

対称と非対称
電場と磁場について対称に作られているかどうか。
クーロンの法則(電場)をきれいにするようにしたCGS静電単位系や
ビオ・サバールの法則(磁場)をきれいにするようにしたCGS電磁単位系は非対称。
CGSガウスやヘヴィサイド・ローレンツは、対称。

有理と非有理
マックスウェル方程式から4πをなくすように係数を決めたのが有理系。
その代わりに、クーロンの法則やビオ・サバールの法則など
積分形には、4πが登場してしまう。

MKSとCGS
実際の数値を扱わない場合は関係ない話ですが、
( m, kg, s )を基本単位にするか、( cm, g, s )を基本単位にするかの話。
ほんとはこれだけなんですが、
「MKS」というとMKSA,「CGS」というとCGSガウスをさすことが多いので、
すごく違っているように錯覚してしまうのですが、
その差は、3元系と4元系の違いとか、有理系と非有理系の違いとか
別のところでの違いの方が大きいんですよね(笑)

というわけで、有名な単位系を表にまとめてみようと思います。

3元/4元対称有理MKS/CGS
CGS静電NoNo CGS
CGS電磁NoNoCGS
CGSガウスYesNoCGS
ヘヴィサイド・ローレンツYesYesCGS
MKSANoYesMKS


僕の好みはというと・・・(誰も聞いてない?笑)

真空の誘電率とか出てくると嫌なので、3元系がいい。

やっぱ、対称の方がきれいでいいですね。

積分形よりも微分形のマックスウェル方程式の方をよく使うので、
有理形の方がありがたい。

・・・ってことで、
ヘヴィサイド・ローレンツ(HL)単位系が僕の一押し!!!
ってことになります(笑)

実際、後の記事で、HL単位系のマックスウェル方程式を載せたいと思いますが、
これがほんとに美しいんですよ!!!

理論系の人は好んで使うそうで、サクライでも使われているのですが、
僕はこの勉強始めるまで知りませんでした。
大学時代は、MKSA単位系でマックスウェル方程式を暗記していたので、
煩雑で分かりにくい式だなあと思っていたのですが、
HL単位系で書くと、見事に対称的な2組の美しい式で記述できます。

これのMKS版があれば鬼に金棒!
と思ったら、Wikipediaによると、
MKSP単位系というのがあるみたいですね。
でも、なぜか、あんまり使われないようです。
これがSI単位になってたら、もう少し理解しやすいだろうに・・・
と思ってしまうのですが。

次回は、各種単位系のマックスウェル方程式を作っていこうと思います。

参考文献
[1] Wikipedia 「電磁気の単位」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/08/09 23:58

電磁ポテンシャル

続いて、電磁ポテンシャルの表現を求めます。

まずは、マックスウェル方程式の
\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{1}
\]
から、磁場${\bf B}$はベクトルポテンシャル${\bf A}$を用いて、
\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A} \tag{2}
\]
と表せる。

次に、この式をマックスウェル方程式の
\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{3}
\]
に代入すると、

\[
\nabla \times \left( {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t} \right) = 0
\tag{4}
\]
となるから、スカラーポテンシャル$\phi$を用いて、

\[
{\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t} = -\nabla \phi
\tag{5}
\]
と表せる。

ここで負号をつけたのは、静電場の場合($\partial/\partial t = 0$)、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi
\]
となって、$\phi$が静電ポテンシャルと一致するようにするためである。

結局、電場は、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{6}
\]
と表せることになる。

以上をまとめると、電場と磁場は、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\]
のように電磁ポテンシャルを使って表現できる。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/08/09 00:25
« Prev | HOME | Next »