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ハミルトン形式

ハミルトン形式は、まだ質点系についても書いていなかったので、
まずは、質点系のハミルトン形式について。

ラグランジュ形式では、位置 q とその時間微分 q' を変数として取っていたが、
実際には、q'(t) は q(t) の時間微分になっているという依存関係があり、
いろいろとめんどくさいので(笑)、
q' の代わりに、まったく新しい変数 p を用意して、
q と p という独立変数の組で運動を記述してしまえというのが基本的発想!


まず、ラグランジアンは、
\[
L = L(q(t), \dot{q}(t), t)
\tag{1}
\]
と書けるとする。

ここで、q(t) は、自由度N個の場合の qi(t) (i=1,2...,N)について
代表して表記している。

変数 qi に対する次の量を正準運動量 pi として導入する。
\[
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}
\tag{2}
\]

この式を逆に解いて、
\[
\dot{q}_i = \dot{q}_i(q, p, t)
\tag{3}
\]
と表せると仮定すると、q' をすべて、p に置き換えてしまうことができる。

そこで、次のような関数を考え、
\[
H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t)
\tag{4}
\]
(3)を使って、q' を p に置き換えたものを考えると、H は
\[
H = H(q, p, t)
\tag{5}
\]
と表され、q と p だけの関数となる。
この関数をハミルトニアンと呼ぶ。

このハミルトニアンが満たすべき運動方程式を導く。

q と p の変化に対するハミルトニアンの全微分を考えると、
\[
dH = \sum_i ( \dot{q}_i dp_i + p_i d\dot{q}_i )
- \frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i
- \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i
\tag{6}
\]

(2)を使うと、(6)の第2項と第4項は相殺される。
また、Lはオイラー・ラグランジュ方程式を満たすから、
\[
\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}
\tag{7}
\]
となるので、(6)は結果的に、
\[
dH = \sum_i (\dot{q}_i dp_i - \dot{p}_i dq_i )
\tag{8}
\]
と書ける。

これより、以下のハミルトン形式の運動方程式(正準方程式)が導かれる。
\[
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}
\tag{9.1}
\]\[
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
\tag{9.2}
\]

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/08/23 20:46

古典場のラグランジュ形式 (2)

前回導入した古典場のラグランジュ形式
汎関数微分のところを具体的に、ラグランジアン密度を用いて表現しておきます。

系全体のラグランジアンは、ラグランジアン密度を使って、
\[
L = \int \mathscr{L}(\psi, \nabla\psi, \dot{\psi}, t) d{\bf r}
\tag{1}
\]
と書けるので、変分δΨに対するラグランジアンの変化は、
\[
\delta L = \int \left[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}\delta\psi
+ \sum_{x,y,z} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
\delta\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)
+ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}\delta\dot{\psi}
\right] d{\bf r}
\tag{2}
\]
となる。
和は、x を x, y, z に置き換えたものすべてについて和を取るという意味。

ここで、
\[
\delta\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)
= \frac{\partial}{\partial x}\delta\psi
\tag{3}
\]
であることに注意すると、
$\partial\psi/\partial x$ に関する和の項は、部分積分することができ、
結果として出てくる表面積分は、無限遠境界あるいは周期的境界で0となるから、

\[
\delta L = \int \left[
\left\{ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
- \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)} \right\}
\delta\psi
+ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}\delta\dot{\psi}
\right] d{\bf r}
\tag{4}
\]

一方で、汎関数微分で表現したラグランジアンの変化は、
\[
\delta L = \int \left[
\frac{\delta L}{\delta \psi}\delta \psi
+ \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \delta \dot{\psi}
\right] d{\bf r}
\tag{5}
\]
となるから、(4)と(5)を見比べて、各汎関数微分の具体的表現は以下のようになる。

\[
\frac{\delta L}{\delta \psi} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
- \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
\tag{6}
\]\[
\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}
\tag{7}
\]

参考文献
[1]シッフ「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/08/22 19:30

最短コースの是非

物理を学ぶのにどのような方法がよいでしょうか?

とにかく時間も限られているし、最短コースで効率よくということで、
本質が書かれているすぐれた演繹書でエッセンスをまず叩きこむというのが
効率的に見えるけど、感動がないんですよね。

理想を言えば、泥臭い帰納書で、
時間と手間暇かけて理解して、
その後、本質をついたエレガントな演繹書で
同じ式をいとも簡単に導き出して、
目からうろこの状態を味わいたいというのが本音です。

いわば、推理小説で、いかにも怪しいと思ってた人物が
実は、いつも、自分を陰から守ってくれていた・・・とか、
ここの壁が濡れていたのは、実はこういう意味があったのか・・・とか
なるほど、そういうことだったのか!
的な感動を味わいたいわけですね(笑)

おそらく、初めからランダウ・リフシッツのような教科書を読んでしまうと、
何の感動もないまま終わってしまいそうな気がして・・・

とはいえ、時間がないので、そうも言ってられないのが実情。
やはり、なるべく本質をついた良書を選択して、
効率よく学んでいこうと思います^^;

受験勉強で問題は解かずに、解答をひたすら頭に叩き込んだ方が効率的か
という議論に通ずるものがありますね(笑)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>雑感 | コメント(0) | 2013/08/22 00:46

古典場のラグランジュ形式

場の考え方に基づいたラグランジュ形式を導入する。

質点系の場合のラグランジュ形式では、
ラグランジアンを質点の位置 q とその時間微分 q' の関数として、
\[
L = L(q, \dot{q}, t)
\tag{1}
\]
と定義して、変分原理
\[
\delta S = \int \delta L dt = 0
\tag{2}
\]
から、オイラー・ラグランジュ方程式
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}
\tag{3}
\]
が導かれる。

これと同様のことを場に対して行う。
質点系の場合は、
\[
\delta L = \frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}
\tag{4}
\]
であるが、場の場合は、ラグランジアンが
\[
L = \int \mathscr{L}(\psi, \nabla\psi, \dot{\psi}, t) d{\bf r}
\tag{5}
\]
というように、ラグランジアン密度が空間積分された形になっているので、
汎関数微分を使う必要があって、
\[
\delta L = \int \left[ \frac{\delta L}{\delta \psi}\delta \psi
+ \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \delta \dot{\psi} \right] d{\bf r}
\tag{6}
\]
となる。

変分原理の条件 $\delta S = 0$ は、
\[
\iint \left[ \frac{\delta L}{\delta \psi}\delta \psi
+ \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \delta \dot{\psi} \right] d{\bf r} dt = 0
\tag{7}
\]
となる。

あとは、質点系と同様に、$\delta\dot{\psi} = \partial/\partial t(\delta\psi)$ に注意して、
第2項の時間積分において部分積分を用いて、
(端点固定の条件から時間積分の境界値は0)
\[
\iint \left[ \frac{\delta L}{\delta \psi}
- \frac{\partial}{\partial t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \right] \delta\psi d{\bf r} dt = 0
\tag{8}
\]
と変形できる。

空間各点における任意の変分δΨに対して上式が成立することから、
以下のオイラー・ラグランジュ方程式が導かれる。
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = \frac{\delta L}{\delta \psi}
\tag{9}
\]

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下巻)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/08/21 13:13

場の量子化の考え方

一応、当初宣言していたように、
夏休み中は、場の量子化あたりを勉強してみました。
といっても、最後の日に駆け込みでシッフの下巻を斜め読みしたという感じなので、
(小学生の夏休みの宿題か!・・・^^;)
詳細な式はまったくフォローできてませんが、
ようやく、「場の量子化」の大筋の流れをつかむことができました!

以前にシッフの下巻の最終章に挑んだ時は、
さっぱり分からず、途中で挫折してしまいましたが、
今回、再挑戦してみたら、流れはおよそ理解できました。
やはり、ここ一年ぐらいずっとあれこれ悩んでいた効果が
多少なりともあったのかも!

・・・と、能書きはこれぐらいにしておいて、
今日は、その大筋の流れをまとめておこうと思います。
例によって、自分なりの理解なので、内容注意は言うまでもなし。

まず、従来の(場ではない)質点系のラグランジュ形式では・・・
質点の位置 q とその時間微分 q' を独立変数としたラグランジアン L(q,q,t) を
考えることから始まる。
そして、q に対する変分原理から、
質点の満たすべき運動方程式が導かれるようになっている。

これを場で考えることにすると、
質点の位置座標 q の代わりに、物理状態を記述するなんらかの場 Ψというものを考えて、
Ψは、空間と時間の関数 Ψ(r,t) になっているとする。

この場Ψが、質点系で言うところの q に相当していて、
ラグランジアンは、この場Ψの関数になっているものと考える。
\[
L = L(\psi, \dot{\psi}, t)
\tag{1}
\]

ただし、q と違って、Ψは時間だけでなく、空間の関数になっているのが
ちょっと厄介なところ。

そこで、空間の各点にラグランジアン密度 $\mathscr{L}$ というのものが存在して、
全系のラグランジアン L は、ラグランジアン密度を空間積分したものになっていると考える。
\[
L = \int \mathscr{L}(\psi, \nabla\psi, \dot{\psi}, t) d{\bf r}
\tag{2}
\]

追記(8/21):↑この部分、論旨がおかしかったので少し修正しました。

ここで、独立変数に $\nabla\psi$ が入っているのは、
q は時間のみの関数 q(t) だったのに対し、
Ψは時間と空間の関数 Ψ(r,t) だから、
時間微分の他に、空間微分にも依存する可能性があるということ。

なぜ、一階微分だけでよいかというのは、
時間微分が一階微分だけしか含まれないというのと
同じような事情だと思いますが、
興味のある対象で2階以上の高階微分に依存するような系が存在しない
ということなのか、
何か必然の理由があって高階が存在しないのか・・・分かりません。


で、この場Ψに対するラグランジアンは、
変分原理から場の満たすべき方程式が導かれるように、
構成することにする。

例えば、Ψを非相対論的な粒子の波動関数とするならば、
変分原理からシュレディンガー方程式が導かれるようなラグランジアンを作る。

例えば、Ψが電磁場ならば、
変分原理からマックスウェル方程式が導かれるようにする。

変分原理から導かれるオイラー・ラグランジュ(E-L)の方程式は、
質点系の場合は、
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}
\tag{3}
\]
だったが、場の場合は、空間積分があるので、
偏微分のところは以前に記事にした汎関数微分の形になる。
(詳細は後の記事であらためて・・・)
\[
\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = \frac{\delta L}{\delta \psi}
\tag{4}
\]

このE-L方程式が、シュレディンガー方程式やマックスウェル方程式と一致するように、
ラグランジアンを作ればよいということになる。

このようにラグランジアンを作った上で、
質点系の場合と同様に、
\[
\pi = \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}}
\tag{5}
\]
というように、正準共役な運動量を定義して、
ルジャンドル変換でハミルトニアンも同様に定義してやれば、
質点系と同形の正準方程式を作ることができる。
\[
\dot{\psi} = \frac{\delta H}{\delta \pi}
\tag{6}
\]\[
\dot{\pi} = - \frac{\delta H}{\delta \psi}
\tag{7}
\]

さらに、質点系の場合と同様に、
正準変数の関数 F(Ψ,π,t) の時間発展はポアソン括弧を用いて、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \{ F, H \}
\tag{8}
\]
と記述できる。

ここまでは、あくまでも古典力学の話を質点系から場の概念に改めただけ。
ここから、量子化を行う。

量子化の方法としては、質点系の場合とのアナロジーで、
ポアソン括弧をディラック括弧(交換子)に書きかえればよいと仮定する。
つまり、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar}[ F, H ]
\tag{9}
\]

この時、正準変数 Ψ と π は演算子と解釈して、
同時刻交換関係は
\[
[ q, p ] = i\hbar
\tag{10}
\]
とのアナロジーから、
\[
[ \psi({\bf r},t), \pi({\bf r}', t) ] = i\hbar \delta({\bf r}-{\bf r}')
\tag{11}
\]
と仮定する。

あと、πやΨの複素共役については、
演算子と解釈するときにはエルミート共役と考える。


以上が場の量子化のおおまかな流れ。
細かい計算は結構大変そうですが、これから頑張ります。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/08/20 19:28
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