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単位系に依存しないマックスウェル方程式 (2)

場の量子化の話はちょっとひと休みして、久しぶりに古典電磁気の話。

単位系に依存しないマックスウェル方程式を各種単位系に対応づけたいと思います。

これまでに導出したマックスウェル方程式は、こんな感じ。

\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{1.2}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]

4つの係数、k1, k2, k3, αの間には、
以下の2つの依存関係がありました。

電磁誘導のガリレイ不変性から、
\[
k_3 = \frac{1}{\alpha}
\tag{2}
\]
電磁波の速度が光速(定数)であるということから、
\[
k_1 = c^2 k_2
\tag{3}
\]

単位系に依存しない電磁場のエネルギーの表式は、
\[
u = \frac{1}{8\pi}\left[ \frac{{\bf E}^2}{k_1} + \frac{k_3 {\bf B}^2}{k_2\alpha} \right]
\tag{4}
\]

単位系に依存しない電磁ポテンシャルの表式は、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{5.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{5.2}
\]

さて、各種単位系における係数の値をまとめると、こんな感じになります。

単位系k1k2αk3
CGS静電11/c211
CGS電磁c2111
CGSガウス11/c2c1/c
ヘヴィサイド・ローレンツ1/4π1/4πc2c1/c
MKSA1/4πε0 = 10-7c2μ0/4π = 10-711


上のマックスウェル方程式や電磁ポテンシャル、電磁場のエネルギーの表式に
この係数を代入してやれば、所望の単位系での表式が得られる!
ってわけですね。

次回から、理論系の本でよく使われるCGSガウス、ヘヴィサイド・ローレンツ、MKSA(SI)
の3つの単位系について、実際の式の形を書いていこうかと思っています。

その後、これを相対論的な4元形式にしたいなと思っているのですが、
単位系に依存しない形で4元形式にしたマックスウェル方程式を見たことがないので、
できるかどうか分かりません^^;
(見たことないということは、ひょっとしたら、根本的にできないのかも・・・)

参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/09/13 13:31

古典場のハミルトン形式における物理量の時間変化

質点系でやったのと同じことを場の形式に適用します。

ある物理量 F が 場 ψ と 正準運動量 π の汎関数になっているとする。
\[
F(\psi, \pi, t) = \int \mathscr{F}(\psi, \pi, \nabla\psi, \nabla\pi, t) d{\bf r}
\tag{1}
\]

この物理量がどのように時間変化するかを古典場のハミルトン形式で考える。
方法は、質点系とまったく同じ。
汎関数なので、微分が汎関数微分になるだけ。

時間微分すると、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t}
+ \int \left[
\frac{\delta F}{\delta \psi} \dot{\psi} + \frac{\delta F}{\delta \pi} \dot{\pi}
\right] d{\bf r}
\tag{3}
\]

正準方程式を使って、$\dot{\psi}$ と $\dot{\pi}$ を置き換えると、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t}
+ \int \left[
\frac{\delta F}{\delta \psi} \frac{\delta H}{\delta \pi}
- \frac{\delta F}{\delta \pi} \frac{\delta H}{\delta \psi}
\right] d{\bf r}
\tag{4}
\]

ここで、場の形式でのポアソン括弧を
\[
\{A, B \} = \int \left[
\frac{\delta A}{\delta \psi} \frac{\delta B}{\delta \pi}
- \frac{\delta A}{\delta \pi} \frac{\delta B}{\delta \psi}
\right] d{\bf r}
\tag{5}
\]
というように定義すれば、質点系とまったく同じ形になる。
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \{ F, H \}
\tag{6}
\]

これまで、単一の場に依存するケースばかりを考えてきましたが、
複数の独立な場に依存している場合は、
ポアソン括弧を
\[
\{A, B \} = \sum_i \int \left[
\frac{\delta A}{\delta \psi_i} \frac{\delta B}{\delta \pi_i}
- \frac{\delta A}{\delta \pi_i} \frac{\delta B}{\delta \psi_i}
\right] d{\bf r}
\tag{7}
\]
と定義してやれば同じ形になります。

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/09/12 13:08

ハミルトン形式における物理量の時間変化

質点系の話。
ある物理量 A が位置 q、正準運動量 p、時間 t に依存しているとして、
その物理量の時間変化がどうなるかをハミルトン形式で眺めてみる。
\[
A = A(q, p, t)
\tag{1}
\]

時間依存性は、t に陽に依存する部分と、q(t)、p(t)を介して依存する部分があるので、
時間微分を行うと、
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t}
+ \sum_i \left[ \frac{\partial A}{\partial q_i} \dot{q}_i
+ \frac{\partial A}{\partial p_i} \dot{p}_i \right]
\tag{2}
\]
となる。

正準方程式を用いて、$\dot{q}$と$\dot{p}$を置き換えると、
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t}
+ \sum_i \left[ \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i}
- \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i}
\right]
\tag{3}
\]
と書きなおせる。

ここで、ポアソン括弧と呼ばれる以下の表式を導入すると、
\[
\{ A, B \} = \sum_i \left[
\frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i}
- \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i}
\right]
\tag{4}
\]
(3)で表された物理量Aの時間変化は、
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \{ A, H \}
\tag{5}
\]
と表すことができる。


ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/09/12 12:38

古典場のハミルトン形式

質点系のハミルトン形式とのアナロジーで、
場の考えに基づいたハミルトン形式を作っていきます。

質点系の場合の正準運動量
\[
p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}
\tag{1}
\]
になぞらえて、場の場合の正準運動量を以下のように定義する。
\[
\pi = \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}
\tag{2}
\]
そして、質点系と同じように、独立変数を $\dot{\psi}$ から新変数 $\pi$ に置き換えるように
ルジャンドル変換をする。
\[
\mathscr{H} = \pi \dot{\psi} - \mathscr{L}
\tag{3}
\]
でも、ここで出てくるのは、ハミルトニアンではなく、ハミルトニアン密度
ハミルトニアンは、これを空間で積分した
\[
H = \int \mathscr{H} d{\bf r}
\tag{4}
\]
となる。

ψとψ'を変化させた時のハミルトニアンの変分を考えると、
\[
\delta H = \int \left[
\dot{\psi}\delta\pi + \pi\delta\dot{\psi}
- \frac{\delta L}{\delta\psi} \delta\psi
- \frac{\delta L}{\delta\dot{\psi}} \delta\dot{\psi}
\right] d{\bf r}
\tag{5}
\]

第2項と第4項は、正準運動量の定義から、打ち消しあって消える。
\[
\delta H = \int \left[
\dot{\psi}\delta\pi
- \frac{\delta L}{\delta\psi} \delta\psi
\right] d{\bf r}
\tag{6}
\]

物理的に実現される場は、オイラー・ラグランジュの方程式を満たすから、
\[
\dot{\pi} = \frac{\delta L}{\delta \psi}
\tag{7}
\]
これを(7)に代入して、
\[
\delta H = \int \left[
\dot{\psi}\delta\pi - \dot{\pi} \delta\psi
\right] d{\bf r}
\tag{8}
\]

一方、ハミルトニアンの変分を汎関数微分で表示すると、
\[
\delta H = \int \left[
\frac{\delta H}{\delta \psi} \delta\psi
+ \frac{\delta H}{\delta \pi} \delta\pi
\right] d{\bf r}
\tag{9}
\]

(8)と(9)を比較すると、以下の正準方程式が導かれる。

\[
\dot{\psi} = \frac{\delta H}{\delta \pi}
\tag{10.1}
\]\[
\dot{\pi} = -\frac{\delta H}{\delta \psi}
\tag{10.2}
\]

質点系の正準方程式
\[
\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}
\tag{11.1}
\]\[
\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}
\tag{11.2}
\]
と見比べると、汎関数微分が偏微分になってることを除けば、形は全く同じ。
導出手順がまったく同じなので、当然と言えば当然ですね。

最後に、ハミルトニアンの汎関数微分の表現もラグランジアンの時とまったく同じ手順で得られる。

\[
\frac{\delta H}{\delta \psi} = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \psi} - \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
\tag{12.1}
\]\[
\frac{\delta H}{\delta \pi} = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \pi} - \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial (\partial\pi/\partial x)}
\tag{12.2}
\]

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/09/10 19:10

古典場のラグランジュ形式 (3)

ここまでを簡単におさらい。

質点系のラグランジュ形式では、ラグランジアン
\[
L = L(q, \dot{q}, t)
\tag{1}
\]
に対して、オイラー・ラグランジュの方程式
\[
\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0
\tag{2}
\]
が運動を記述する。

場のラグランジュ形式では、ラグランジアン
\[
L = L(\psi, \dot{\psi}, t)
\tag{3}
\]
に対して、オイラー・ラグランジュの方程式
\[
\frac{\delta L}{\delta \psi} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = 0
\tag{4}
\]
が運動を記述する。

偏微分が汎関数微分に変わって、時間の全微分が偏微分に変わるだけで、
まったく同じ形になっている。

時間が全微分ではなく、偏微分に変わるのは、
質点のように粒子の位置の時間変化を追跡するわけではなく、
場では、空間と時間に独立に依存した形になっているから
と考えればいいんでしょうね。

さて、汎関数微分を使えば、このように質点系と全く同じ形で記述できるメリットはありますが、
サクライ[1]によると、相対論的な拡張を考えた場合は、汎関数微分ではなく、
ラグランジアン密度をあらわにした形で記述しておいた方がよいようです。

そうすると、空間と時間に関する依存性を同列に記述できるから。
上の汎関数微分による記述だと、時間微分だけ表に現れ、
空間微分だけ隠されてしまってます。

そこで、前回の汎関数微分の以下の表現を使って、
オイラー・ラグランジュ方程式をラグランジアン密度で表すことにする。
\[
\frac{\delta L}{\delta \psi} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi} - \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
\tag{5}
\]\[
\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}
\tag{6}
\]

すると、オイラー・ラグランジュ方程式は、
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
- \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
- \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}} = 0
\tag{7}
\]
と記述でき、空間微分と時間微分が両方とも、表に現れました。

4元表記 $x^0 = ct$, $x^1 = x$, $x^2 = y$, $x^3 = z$ を用いて書き直すと、
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
- \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x^{\mu})} = 0
\tag{8}
\]
と、すっきりした形に。
(μに関する和は、アインシュタイン記法に従って省略している)

この式は $\mathscr{L}$ がスカラー密度であると仮定すると、
ローレンツ共変形になっているらしいです。
(つまり、ローレンツ変換で式の形が変わらない、すなわち特殊相対論の枠組みで使える)

確かに、$\partial/\partial x^{\mu}$ は共変ベクトルであり、
$\partial/\partial(\partial\psi/\partial x^{\mu})$ は反変ベクトルとなるから、
縮約されて、左辺全体はスカラーになりそうですね。
こんな説明でいいのかな?


参考文献
[1] J.J.Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
[2] シッフ「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/09/10 12:24
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