スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

正準量子化

場の量子化の話ですが、これまで、
古典論を質点系から場の形式に書き改めてきましたが、
いよいよ量子化に入ろうと思います。

これから述べる手続きは「正準量子化」と呼ばれていて、
ちゃんと本質を理解するにはもっともっと勉強しなきゃいけないんだと思うのですが、
とりあえず、現時点で分かる範囲ということで・・・汗

まずは、質点系の量子化を考える。

質点系の場合、古典論では、この記事にある通り、
位置と運動量の関数で表された物理量 F(q, p, t) の時間発展は以下のように表される。
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \{ F, H \}
\tag{1}
\]

一方、量子力学では、これらの変数をハイゼンベルク描像における演算子と考えると、
ハイゼンベルクの運動方程式
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [ F, H ]
\tag{2}
\]
が成立する。

ここで、[ ] は交換子。
つまり、
\[
[ A, B ] = AB - BA
\tag{3}
\]
を表す。

この導出は、まだ「量子力学」カテゴリの方では記事にしてませんでしたが、
いつか記事にしたいと思います。

両者を比較すると、量子論的な対応物を与えるためには、
ポアソン括弧を交換子(ディラック括弧)で置換して、$i\hbar$で割ればよいということになる。
\[
\{ A, B \} \rightarrow \frac{1}{i\hbar} [ A, B ]
\tag{4}
\]

シッフ[1]によると、このことは、
ポアソン括弧と交換関係の代数的性質の類似性から来る
ということをディラック[2]が証明しているそうで、
その本は持っているので、今度見てみたいと思います。

これとのアナロジーで、場の場合を考える。
古典場では、この記事にある通り、
場とその共役運動量の汎関数として表された物理量 F(Ψ,π,t) の時間発展は、
式(1)と全く同じ式で表される。
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \{ F, H \}
\tag{5}
\]
ただし、ポアソン括弧の定義が質点系の場合と若干違いますが・・・

これを量子化するには、質点系の時と同じように、
ポアソン括弧を交換子(ディラック括弧)で置換して、$i\hbar$で割ればよい。

つまり、場の場合も、量子化された方程式は、(2)式と同じく、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [ F, H ]
\tag{6}
\]
となる。

とりあえず、続きは次回。
今日のトピックは、かなり奥が深いところなので、
かなり理解不足で間違ってるところが多そうです・・・汗
ご注意ください!


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
[2] Dirac "The Principles of Quantum Mechanics"
[3] シッフ「量子力学」(下)
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/09/27 20:30

電磁気の各種単位系 (3) へヴィサイド・ローレンツ

第3回は、以前から一押ししているへヴィサイド・ローレンツ単位系
(以下、HL単位系と書きます)

こちらは、前回のCGSガウス単位系を有理化して、
マックスウェル方程式に4πが出てこないようにしたもの。

係数の値は以下の通り。
\[
k_1 = \frac{1}{4\pi}
\tag{1.1}
\]\[
k_2 = \frac{1}{4\pi c^2}
\tag{1.2}
\]\[
k_3 = \frac{1}{c}
\tag{1.3}
\]\[
\alpha = c
\tag{1.4}
\]

マックスウェル方程式は、
\[
\nabla\cdot{\bf E} = \rho
\tag{2.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{2.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{2.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{2.4}
\]
となる。

電磁場のエネルギー密度は、
\[
u = \frac{1}{2}\left[ {\bf E}^2 + {\bf B}^2 \right]
\tag{3}
\]

電磁ポテンシャルは、
\[
{\bf E} = -\nabla\phi - \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf A}}{\partial t}
\tag{4.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{4.2}
\]
となる。

次回は、このHL単位系で書いたマックスウェル方程式の美しさ
について、迫ってみたいと思います(笑)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/09/27 13:36

電磁気の各種単位系(2) CGSガウス

第2回は、CGSガウス単位系

こちらは、クーロンの法則の係数 k1 をズバッと1にしてしまって、
それによって、電荷や電流の単位を直接決めてしまいます(3元系)。

さらにマックスウェル方程式を電場と磁場について対称になるように工夫したもの。
有理化はしてないので、4πが現れます。

係数の値は以下の通り。
\[
k_1 = 1
\tag{1.1}
\]\[
k_2 = \frac{1}{c^2}
\tag{1.2}
\]\[
k_3 = \frac{1}{c}
\tag{1.3}
\]\[
\alpha = c
\tag{1.4}
\]

マックスウェル方程式は、
\[
\nabla\cdot{\bf E} = 4\pi\rho
\tag{2.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{4\pi}{c} {\bf j}
\tag{2.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{2.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{2.4}
\]
となる。

電磁場のエネルギー密度は、
\[
u = \frac{1}{8\pi}\left[ {\bf E}^2 + {\bf B}^2 \right]
\tag{3}
\]

電磁ポテンシャルは、
\[
{\bf E} = -\nabla\phi - \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf A}}{\partial t}
\tag{4.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{4.2}
\]
となる。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/09/27 13:27

電磁気の各種単位系 (1) MKSA(SI)

今回から電磁気の各種単位系ごとに、
マックスウェル方程式と関連する表式を記述していこうと思います。

第一回は、現在のSI単位になっているMKSA単位系

この単位系が一番分かりにくい気がするのですが、
2本の電流同士に働く力をもとにして、
電流の単位(アンペア)を新たに導入している関係で、
複雑な係数が頭についてしまうようです。

係数の値は以下の通り。
\[
k_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 10^{-7}c^2
\tag{1.1}
\]\[
k_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}
\tag{1.2}
\]\[
k_3 = 1
\tag{1.3}
\]\[
\alpha = 1
\tag{1.4}
\]

そして、
\[
\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2
\tag{2}
\]
という重要な関係がある。

マックスウェル方程式は、
\[
\nabla\cdot{\bf E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\tag{3.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \mu_0 {\bf j}
\tag{3.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{3.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{3.4}
\]
となる。

電磁場のエネルギー密度は、
\[
u = \frac{1}{2}\left[
\varepsilon_0 {\bf E}^2 + \frac{{\bf B}^2}{\mu_0}
\right]
\tag{4}
\]

電磁ポテンシャルは、
\[
{\bf E} = -\nabla\phi - \frac{\partial{\bf A}}{\partial t}
\tag{5.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{5.2}
\]
となる。

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/09/26 23:50

2次元のローレンツ変換 (2)

2次元のローレンツ変換の記事では、
ミンコフスキー計量を保存する変換として、ローレンツ変換を導出しましたが、
逆に、ローレンツ変換がミンコフスキー計量を不変にすることを
確認しておこうと思います。

出発点は、こちらのローレンツ変換。
\[
A = \left[ \begin{array}{cc}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{array} \right]
\tag{1}
\]

もちろん、ほんとは4次元で考えて、
\[
A = \left[ \begin{array}{cccc}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
\tag{2}
\]
というものを考えているわけですが、書くのが面倒なので、
t 成分と x 成分のみを取り出しているわけです。

ミンコフスキー計量は、
\[
G = \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right]
\tag{3}
\]
であり、これが保存されるというのは、こちらの記事で示した通り、
\[
A^T G A = G
\tag{4}
\]
を示せばよいわけですね。

計算してみると、
\[
A^T G A
= \left[ \begin{array}{cc}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{array} \right] \\
= \left[ \begin{array}{cc}
\gamma^2(1-\beta^2) & 0 \\
0 & -\gamma^2(1-\beta^2)
\end{array} \right]
\]

ここで、γの定義式
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\tag{5}
\]
を用いれば、最終結果は G となり、式(4)が示されます。

ということで、
ローレンツ変換がミンコフスキー計量を不変にすることが確認できました。

追記(9/26):ここで確認したのは、本義ローレンツ変換の場合だけでした。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/09/13 19:15
 | HOME | Next »

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。