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特殊相対論の思考実験

以前、こちらの記事でご紹介した
「図解雑学シリーズ」の「時空図で理解する相対性理論」(和田純夫)
という本に特殊相対論を理解するのに、すごく分かりやすい思考実験が載ってました。

図書館で借りていた本なので、今、手元になく、
詳細の数字は違うかもしれません。

状況は以下の通りです。

Aさんは、気の毒なことに、背中に爆弾をしかけられて、3分後には爆発します。

助かるためには、光のスピードでも4分かかる距離(以下、「4光分」と呼ぶ)
にある池に飛び込んで、導火線についた火を消すしかありません。

relative-bomb01.png

相対論によれば、いかなるものも光速を超えられないので、
Aさんは、残念ながら助からない運命にあるのでしょうか?


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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/12/27 17:19

リーマン・ルベーグの補題 (2)

リーマン・ルベーグの補題の証明の続き。

前回は、「区分的になめらか」という条件をつけましたが、
フーリエ級数の証明には、「区分的に連続」という緩い条件で
証明しておかなくてはなりません。

今度は、微分可能という条件がなくなるので、ちょっと複雑になりますが、
頑張ってみます・・・

区分的に連続という条件での証明

証明したいのは、これ。
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{1}
\]

区分的に連続ということは、
有限個の連続区間の和で表せるので、連続区間 [a',b'] で証明できれば十分。
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{2}
\]

区間[a',b']を等間隔の n 個の区間 I1, ..., In に分割する。
\[
\int_{a'}^{b'} = \sum_{i=1}^n \int_{I_i}
\tag{3}
\]
各区間の下端を xi として、積分を次のように変形する。
\[
\int_{I_i} f(x)\sin \lambda x dx
= \int_{I_i} \{ f(x) - f(x_i) \} \sin \lambda x dx
+ \int_{I_i} f(x_i) \sin \lambda x dx
\tag{4}
\]

まずは第一項について考える。
f(x) は有界閉区間 [a', b'] で連続だから、一様連続である。
(ハイネ・カントールの定理、証明略)

「一様連続」とは、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
区間に入るすべての x, x' に対して、
\[
|x-x'| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon
\tag{5}
\]
が成立すること。
δが x によらないことが「一様」の意味。

余談:
一様連続という概念は、今回初めて知りました^^;
これ知らなかったので、ただの連続だけだと、どうもうまく証明できないなあと悩んでたのです。

証明を続けると・・・

上記より、f(x) は [a', b']の区間で一様連続だから、
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、
[a', b'] のすべての x, x' に対して、(5)式が成立するようにすることができる。

そのようなδよりも Ii の区間幅が狭くなるように分割数 n を設定する。
つまり、
\[
\frac{b'-a'}{n} < \delta
\tag{6}
\]
となるように、n を設定する。

すると、
\[
|f(x) - f(x_i)| < \varepsilon
\tag{7}
\]
となるから、第一項の和は、
\[
\begin{array}{l}
\sum_i \int_{I_i} \{ f(x) - f(x_i) \} \sin \lambda x dx \\
\leq \sum_i \int_{I_i} | f(x) - f(x_i) | |\sin \lambda x| dx \\
< \varepsilon (b'-a')
\end{array}
\tag{8}
\]

次に第2項の和について考える。積分を実行すると、
\[
\begin{array}{l}
\left|\sum_i \int_{I_i} f(x_i) \sin\lambda x dx \right| \\
= \left|\sum_i \frac{f(x_i)}{\lambda} \{ \cos \lambda x_i - \cos \lambda x_{i+1} \} \right| \\
\leq \sum_i \left|\frac{f(x_i)}{\lambda}\right| |\cos \lambda x_i - \cos \lambda x_{i+1}| \\
\leq \frac{2nM}{|\lambda|}
\end{array}
\tag{9}
\]
ここで、M は |f(xi)| の最大値。

というわけで、2つの項の寄与をまとめると、
\[
\left| \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx \right|
< \varepsilon(b'-a') + \frac{2nM}{|\lambda|}
\tag{10}
\]

ここで再び、任意の正数ε' を考えることにする。
\[
\varepsilon = \frac{\varepsilon'}{2(b'-a')} > 0
\]
として、εに対して、(5)式を満足するような δ が存在し、
(6)式を満たすように分割数 n を設定すると、(8)が得られ、
第一項は、ε' / 2  よりも小さくなる。

この上で、λを
\[
|\lambda| > 4nM/\varepsilon'
\]
となるように取ると、
第二項も ε' / 2 より小さくなる。

結果、
\[
\left| \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx \right|
< \varepsilon'/2 + \varepsilon'/2 = \varepsilon'
\tag{11}
\]
となり、題意は証明されたことになる。
(証明終了)

ふーっ、なんとかできた気はするのですが、
久しぶりに、ε-δ論法での証明をやると、頭が疲れますね・・・^^;

結局、証明で何をやってるかというと・・・
f(x) を細かな階段関数で近似してやって、
階段関数の部分(第二項)とその誤差部分(第一項)に分けています。
階段関数の部分は、それぞれの段で一定値なので積分ができて、
ゼロに収束します。
誤差部分は、連続性を利用して、段を細かくすることにより、
誤差が減っていき、こちらもゼロに収束します。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/27 15:20

連立方程式

最近、お固い記事が続いているので、
久しぶりに、「高校+α」カテゴリの記事でちょっとお遊びを!(笑)

さて、問題です。
次の連立方程式の解を求めよ。

\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
& & b & + & c & + & d & + & e & + & f & = & 5 & \hspace{2cm} & (1) \\
a & & & + & c & + & d & + & e & + & f & = & 5 & \hspace{2cm} & (2) \\
a & + & b & & & + & d & + & e & + & f & = & 5 & \hspace{2cm} & (3) \\
a & + & b & + & c & & & + & e & + & f & = & 5 & \hspace{2cm} & (4) \\
a & + & b & + & c & + & d & & & + & f & = & 5 & \hspace{2cm} & (5) \\
a & + & b & + & c & + & d & + & e & & & = & 5 & \hspace{2cm} & (6)
\end{array}
\]

ひょっとしたら考えたい方がいらっしゃるかもしれないので、
一応、折りたたんでおきますね。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>高校+α | コメント(0) | 2013/12/25 12:24

電磁場テンソルに対するマックスウェル方程式 (3)

ずっとこの話題で少々飽きてきたのですが(笑)、
もう少しで終わると思うので・・・

実は、これが終わると、前々からやりたかった計算があって、
今はそのために書いているという感じなのですが、それはまたその時に(笑)

とりあえず、これまでは、マックスウェル方程式のうちの
ソースターム(ρとjの項)の入った方の2つの式を電磁場テンソル表現に書き換えました。

これからは、残りの2つの式について、料理していきます。
\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{1}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{2}
\]

電磁場テンソルを思い出しておきます。
\[
f_{\mu\nu} = \left[
\begin{array}{cccc}
0 & \alpha E_x/c & \alpha E_y/c & \alpha E_z/c \\
-\alpha E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-\alpha E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-\alpha E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{array}
\right]
\tag{3}
\]

さっそく、(1)式から見ていくことにすると、
\[
\partial_x B_x + \partial_y B_y + \partial_z B_z = 0
\]
は、
\[
\partial_1 f_{32} + \partial_2 f_{13} + \partial_3 f_{21} = 0
\]
となりますね。
fμνは反対称だから、添え字を全部入れ替えても、上式は成り立ちます。
\[
\partial_1 f_{23} + \partial_2 f_{31} + \partial_3 f_{12} = 0
\tag{4}
\]
この式を見ると、(1,2,3)をサイクリックに入れ替えたものを3つ足した構造になってますね!

で、この結果はとりあえず、オーブンに入れておいて、
次に、(2)式の方の料理に移りたいと思います。

x成分を書き下してみると、
\[
\partial_y E_z - \partial_z E_y + k_3 \partial_t B_x = 0
\]
少し変形してみると、
\[
\partial_y (\alpha E_z/c) - \partial_z (\alpha E_y/c) + \partial_{ct} B_x = 0
\]
となり、
\[
\partial_2 f_{03} - \partial_3 f_{02} + \partial_0 f_{32} = 0
\]
となりますね。
先ほどと同じく反対称性を利用して、真ん中以外の2項の添え字を入れ替えて、
さらに、項の順番を見やすいように並べると、
\[
\partial_0 f_{23} + \partial_2 f_{30} + \partial_3 f_{02} = 0
\tag{5}
\]
となります。
これは、(0,2,3)をサイクリックに並べ替えたものの足し合わせになってますね!

同様に、y成分、z成分を見ていくと、
\[
\partial_0 f_{13} + \partial_1 f_{30} + \partial_3 f_{01} = 0
\tag{6}
\]
\[
\partial_0 f_{12} + \partial_1 f_{20} + \partial_2 f_{01} = 0
\tag{7}
\]
という式が導き出されて、これらは、(0,1,3)、(0,1,2)をサイクリックに並べ替えたものの和。

ここで、オーブンに入れておいた式(4)を取り出して、
(4)~(7)をまとめると、マックスウェル方程式の残りの2つの式は、
(μ,ν,λ)を (0,1,2)、(0,1,3)、(0,2,3)、(1,2,3)の4通りの組として、
\[
\partial_\mu f_{\nu\lambda} + \partial_\nu f_{\lambda\mu} + \partial_\lambda f_{\mu\nu} = 0
\tag{8}
\]
という一つの式にまとめられることが分かります。

この(μ,ν,λ)の組み合わせは、0,1,2,3 の4つの数字から、
任意の3つを重複を許さず組み合わせたものだから、
4C3 = 4 通りあることになるので、
この4つで完全に尽くされていることになりますね。

重複を許した場合を考えると、もっとたくさんありますが、
たとえば、μ=νの場合を考えると、
\[
\partial_\mu f_{\mu\lambda} + \partial_\mu f_{\lambda\mu} + \partial_\lambda f_{\mu\mu} = 0
\]
(ただし、重複した添え字は和をとらない)

反対称性から、\( f_{\mu\mu} = 0 \)、\( f_{\mu\lambda} = -f_{\lambda\mu}\) となるので、
この左辺は、恒等的にゼロ。

というわけで、重複を許した場合も、この式は形式上成立しますが、
重複しない4通りのみが意味を持つということになります。

結果として、マックスウェル方程式は、前回の結果と合わせて、
\[
\partial_\mu f^{\mu \nu} = 4\pi k_2\alpha j^\nu
\tag{9}
\]\[
\partial_\mu f_{\nu\lambda} + \partial_\nu f_{\lambda\mu} + \partial_\lambda f_{\mu\nu} = 0
\tag{10}
\]
の2つにまとめられることになります。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/12/20 13:16

リーマン・ルベーグの補題 (1)

フーリエ級数の証明に入るための準備をしていこうと思います。

まずは、リーマン・ルベーグの補題

区間 [a,b] で区分的に連続な関数 f(x) に対して、
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{1}
\]

証明の前に、まずはこの補題のイメージですが・・・

λを大きくしていくと、sin関数はどんどん急速に振動していく。

一方、f(x) は区分的に連続なので、途中に高々有限個の飛びしかないので、
それより細かく sin を振動させてしまえば、
その振動の間には、f(x) はほとんど変化しないため、
正負両方に出てくる面積は等しくなり、お互い打ち消しあって、
合計の面積は0になる。


フーリエ級数の証明に用いるには、「区分的に連続」という条件が必要なのですが、
その前に、簡単な「区分的になめらか」という条件で証明してみることにします。

区分的になめらかと仮定した場合の証明

区分的になめらかということは、
有限個のなめらか(連続微分可能)な区間における積分の和で表せるから、
各々の連続微分可能な区間で0に収束することを証明すればよい。

というわけで、区間 [a',b'] において、f(x) を連続微分可能として以下を証明する。
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{2}
\]

積分の部分は、f(x) が微分可能という条件より、部分積分が実行できる。
\[
\int f(x) \sin \lambda x dx
= - \frac{1}{\lambda} \left[ f(x) \cos\lambda x \right]
+ \frac{1}{\lambda} \int f'(x) \cos\lambda x dx
\]

条件から、f(x)、f'(x) は有界であるから、
この積分は、|λ|→∞ の極限で0に収束する。

(証明終了)

区分的になめらかを仮定した場合は、部分積分できるから、あっさりと証明できました。

区分的に連続の場合は、もう少し複雑になりますが、次回やってみたいと思います。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/17 12:51
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