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輻射の半古典論 (2)

輻射場のポテンシャルに、輻射ゲージ
\[
\nabla\cdot{\bf A} = \phi = 0
\tag{1}
\]
を用いることにする。
今、考えている電荷は、輻射場には影響を与えないものとして、
輻射場については、電荷も電流もない自由空間と仮定しておく。

すると、ハミルトニアンは以下のように少し簡単になる。
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2
+ \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
+ \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2 + V
\right] \psi
\tag{2}
\]

ここで、輻射電磁場 A は摂動論的に扱える程度に弱いとする。
すなわち、p << eA/c が成立しているようなケースを考える。

一次の摂動を考える上では、
A の二次の項は無視することができて、
A の一次の項のみを摂動と考えて、
\[
H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V
\tag{3.1}
\]\[
H' = \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
\tag{3.2}
\]
として、シュレディンガー方程式を
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = (H_0 + H')\psi
\tag{4}
\]
時間依存摂動論で近似的に解くことにする。

ベクトルポテンシャルとして、輻射ゲージにおける平面波の解
\[
{\bf A} = {\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\tag{6}
\]
を仮定する。
ここで、$\omega = ck$。

一次の時間依存摂動論の結果を用いる。

t=0 に摂動がかけられるとして、初期状態を |n> とすると、
時刻 t において、状態 |k> に遷移する振幅は、
\[
a_k^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t e^{i\omega_{kn}t'} \langle k| H'(t') |n\rangle dt'
\tag{7}
\]

(6)を(3.2)に代入して、
\[
H' = H'_+e^{i\omega t} + H'_-e^{-i\omega t}
\tag{8}
\]
\[
H'_+ = \frac{ie\hbar}{mc}e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0^* \cdot \nabla
\tag{9.1}
\]\[
H'_- = \frac{ie\hbar}{mc}e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0 \cdot \nabla
\tag{9.2}
\]

(8)を(7)に代入して、
\[
a_k^{(1)}(t)
= \frac{\langle k| H'_+ |n\rangle}{i\hbar} \int_0^t e^{i(\omega_{kn}+\omega)t'} dt'
+ \frac{\langle k| H'_- |n\rangle}{i\hbar} \int_0^t e^{i(\omega_{kn}-\omega)t'} dt'
\tag{10}
\]
積分して、
\[
a_k^{(1)}(t)
= -\frac{\langle k| H'_+ |n\rangle}{\hbar}
\frac{e^{i(\omega_{kn}+\omega)t}-1}{\omega_{kn}+\omega}
-\frac{\langle k| H'_- |n\rangle}{\hbar}
\frac{e^{i(\omega_{kn}-\omega)t}-1}{\omega_{kn}-\omega}
\tag{11}
\]

行列要素の部分は、
\[
\langle k|H'_+|n \rangle
= \frac{ie\hbar}{mc} \int u_k^* e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0^* \cdot \nabla u_n d{\bf r}
\tag{12.1}
\]\[
\langle k|H'_-|n \rangle
= \frac{ie\hbar}{mc} \int u_k^* e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} {\bf A}_0 \cdot \nabla u_n d{\bf r}
\tag{12.2}
\]

以前の議論と同様に、
第1項は、$E_k - E_n = -\hbar\omega$ の時、
第2項は、$E_k - E_n = \hbar\omega$ の時のみ支配的となるから、
輻射場の量子(光子)の放出・吸収によって、状態が $\hbar\omega$だけ遷移している
と解釈することができる。
光子を厳密に扱えるようになるのは、輻射場の量子化をしてからですが・・・


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/02/28 12:55

輻射ゲージ (3)

輻射ゲージにおいて、
電荷も電流もない自由空間($\rho = {\bf j} = 0$)を仮定すると、
ベクトルポテンシャルに対するマックスウェル方程式は
以下の波動方程式となる。
\[
\Box {\bf A} = 0
\tag{1}
\]
自由空間における電場と磁場(電磁波)は、ゲージによらず波動方程式を満たすが、
ベクトルポテンシャルも波動方程式を満たすことになる。

これに対する平面波の解として、
\[
{\bf A} = {\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\tag{2}
\]
が存在する。

ここで、
\[
\omega = ck = c|{\bf k}|
\tag{3}
\]

さらに、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = 0
\tag{4}
\]
の条件から、
\[
{\bf A}_0 \cdot {\bf k} = 0
\tag{5}
\]
となり、横波であることが分かる。
(電磁波はゲージによらず横波であるが、ベクトルポテンシャルが横波ということ)

電場と磁場を計算する。
\[
\begin{array}{lll}
{\bf E} &=& -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t} \\
&=& \frac{i\omega}{c} {\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.} \\
&=& ik{\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\end{array}
\tag{6}
\]
\[
\begin{array}{lll}
{\bf B} &=& \nabla\times{\bf A} \\
&=& i{\bf k}\times{\bf A}_0 \exp[i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t)] + {\rm c.c.}
\end{array}
\tag{7}
\]

ポインティングベクトル
\[
{\bf S} = c{\bf E}\times{\bf B}
\tag{8}
\]
を計算したい。
(5)の性質を用いて、
\[
{\bf A}_0 \times {\bf k} \times {\bf A}_0 = |A_0|^2 {\bf k} - ({\bf k}\cdot{\bf A}_0){\bf A}_0 = |A_0|^2 {\bf k}
\tag{9}
\]
これを用いると、
\[
{\bf S} = 2ck{\bf k}|A_0|^2 \{
1 - \exp[2i({\bf k}\cdot{\bf r} - \omega t + \phi)] \}
\tag{10}
\]
ここで、$\phi$ は ${\bf A}_0$ が複素であった場合の位相成分。
一周期のサイクル平均を取ると振動項は消えて、
\[
\overline{{\bf S}} = \frac{2\omega^2}{c}|A_0|^2 \hat{{\bf k}}
\tag{11}
\]
$\hat{\bf k}$ は、${\bf k}$ 方向の単位ベクトルを表す。

上式は、輻射電磁波のエネルギーの流れを示しており、
向きは電磁波の進行方向(kベクトルの方向)となる。

この大きさは単位面積当たりの電磁波強度を表すと考えられる。
\[
I = |\overline{\bf S}| = \frac{2\omega^2}{c}|A_0|^2
\tag{12}
\]

ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2014/02/28 12:35

輻射ゲージ (2)

クーロンゲージの方から攻める方法もあるようです。

一般に、
\[
\nabla^2\chi = -\nabla\cdot{\bf A}
\tag{1}
\]
を満たすχを持ってくれば、
\[
\nabla\cdot{\bf A}' = \nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi = 0
\tag{2}
\]
というように、クーロンゲージにすることができる。

この時、マックスウェル方程式は、
\[
\nabla^2\phi = -\rho
\tag{3}
\]
となって、無限遠でゼロという境界条件を与えた時の解は、
\[
\phi({\bf r},t) = \frac{1}{4\pi}\int \frac{\rho({\bf r}',t)}{|{\bf r} -{\bf r}'| } d{\bf r}'
\tag{4}
\]
となる。

ρ=0 という仮定を適用すると、
\[
\phi = 0
\tag{5}
\]
となる。

これで、前記事と同じく、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = \phi = 0
\tag{6}
\]
という条件を満たすポテンシャルを構成できたことになる。

こちらの攻め方の方がシンプルで分かりやすいですね!

この流れを見ると、

1.クーロンゲージの条件 $\nabla\cdot{\bf A} = 0$ を満たす。
2.電荷がない。
3.φは無限遠でゼロ。

という3条件を課すと、必ず、$\phi = 0$ になるようですね。

逆に、電荷があると、$\phi = 0$ にはできないということも分かりました。
電荷があれば、必ず、静電場が発生するので、
静電ポテンシャルをいたるところでゼロにはできないというのは
当然と言えば、当然ですね。


参考文献
[1] 井上 健 監修「量子力学演習(シッフの問題解説)」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2014/02/28 12:29

輻射ゲージ (1)

電荷のない自由空間(ρ=0)においては、
ゲージ変換の自由度を使って、一般性を失わずに、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = 0
\tag{1}
\]\[
\phi = 0
\tag{2}
\]
の両方を満足させることができることを示す。

ゲージ変換
\[
\phi' = \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{3.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla\chi
\tag{3.2}
\]
任意関数χとして、
\[
\chi = \chi_0 + g({\bf r})
\tag{4}
\]
を選ぶ。ただし、χ0 は以下を満たす関数で、
\[
\frac{1}{c}\frac{\partial \chi_0}{\partial t} = \phi
\tag{5}
\]
g(r) は空間のみに依存する関数。

(3.1)により変換されたスカラーポテンシャルは、
\[
\phi' = \phi - \frac{\partial \chi_0}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial t}g({\bf r}) = 0
\]
となり、(2) を満たす

次に、(3.2)の変換を考える。
\[
\nabla\cdot{\bf A}'
= \nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi \\
= \nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi_0 + \nabla^2 g({\bf r})
\tag{6}
\]

マックスウェル方程式において、ρ=0 とすると、
\[
\nabla^2\phi + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A}) = 0
\tag{7}
\]
(5)式を用いると、
\[
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A} + \nabla^2\chi_0) = 0
\tag{8}
\]
と変形できて、上式の括弧の中身は、空間のみの関数となる。
そこで、任意関数 $g({\bf r})$ を
\[
\nabla^2 g({\bf r}) = -\nabla\cdot{\bf A} - \nabla^2\chi_0
\tag{9}
\]
となるように取れば、(6)より
\[
\nabla\cdot{\bf A}' = 0
\]
となり、(1)も満たされることになる。


参考文献
[1] 井上 健 監修「量子力学演習(シッフの問題解説)」
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2014/02/27 12:55

輻射の半古典論 (1)

これまで、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンを計算してきたのは、
電場振動ではなく、輻射場(電磁波)による遷移
きちんと計算しようという意図でした。

ただ、ほんとにきちんとやるには、
輻射場自体をハミルトニアンに入れて、場の量子化を行わないといけないのですが、
今回は、まだ輻射場を古典的に導入する「半古典論」と呼ばれる方法です。

まずは、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン
\[
H = \frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi
\tag{1}
\]

これを用いて、時間依存シュレディンガー方程式は
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
= \left[
\frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi + V
\right] \psi
\tag{2}
\]
φは、輻射場のポテンシャル、
V は、輻射場以外の電荷を束縛しているポテンシャルと考える。

ここで、p は正準運動量なので、正準量子化の手続きに従って、
運動量演算子に置き換えることができる。
\[
{\bf p} = -i\hbar \nabla
\tag{3}
\]
さらに、
\[
\nabla\cdot({\bf A}\psi) = (\nabla\cdot{\bf A})\psi + {\bf A}\cdot\nabla\psi
\tag{4}
\]
であることに注意して、(1)を展開すると、
\[
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
= \left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2
+ \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
+ \frac{ie\hbar}{2mc}(\nabla\cdot{\bf A})
+ \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2
+ e\phi + V
\right] \psi
\tag{5}
\]
となる。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
輻射場の半古典論 | コメント(0) | 2014/02/27 12:26
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