スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

組み換え定理

久しぶりに、群論の勉強中。
群論を勉強してると、たまらなく頭痛がしてきて、吐き気がしてくるんですよ。
なぜでしょう???(笑)
そこまで嫌いじゃないんですが・・・^^;

組み換え定理
有限群 $G = \{g_1, g_2, \cdots, g_r\}$ において、
任意の元 g を右から掛けて得られる集合 $\{ g_1g, g_2g, \cdots, g_rg\}$ には、
G の元が一度、そしてただ一度だけ現れる。
左からでも同様に成り立つ。

つまり、任意のある元を全部の元にかけると、
元の並び方が変わるだけで、集合自体は変わらないってことですね!

(証明)
G の任意の元 $g_k$ に対して、$g_ig = g_k$ となるような $g_i$ は一意的に存在する。
なぜなら、上式に右から $g^{-1}$ をかけると、$g_i = g_k g^{-1}$ となり、
群の定義より、このような $g_i$ は G に存在する。
(証明終了)


参考文献
[1] 吉川圭二「群と表現」(岩波理工系の基礎数学シリーズ)
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2014/04/29 23:51

長さゲージと速度ゲージ (2)

長さゲージと速度ゲージがゲージ変換で結ばれていることを確認する。

まずは、速度ゲージで記述されたハミルトニアン
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla
+ \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2 + e\phi + V
\tag{1}
\]
ここでは、自由輻射場を仮定して、$\phi = 0$ としているので、実質的にはφの項はない。

ゲージ変換
\[
\phi' = \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{2.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi
\tag{2.2}
\]
において、任意関数を
\[
\chi = -{\bf A}\cdot{\bf r}
\tag{3}
\]
とおく。
ここで、双極子近似を仮定しているので、A は空間に依存しないことに注意して、
ゲージ変換を行うと、
\[
\phi' = \frac{1}{c}\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\cdot{\bf r}
= -{\bf E}\cdot{\bf r}
\tag{4.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} - {\bf A} = 0
\tag{4.2}
\]
これらの変換を(1)に施すと、長さゲージのハミルトニアンが得られる。
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - e{\bf E}\cdot{\bf r} + V
\tag{5}
\]

参考文献
[1] Faisal "Theory of multiphoton processes"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>量子力学 | コメント(0) | 2014/04/29 19:27

長さゲージと速度ゲージ (1)

電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンに関する
長さゲージ(length gauge)や速度ゲージ(velocity gauge)について。

ちゃんと書かれている文献やサイトをあまり見出せなくて、
とりあえず唯一、手元にあるのが Faisalの文献 [1] のみ(汗)

定義とかもよく分からないので、
かなり我流の展開でふくらませています。
(間違ってる可能性大!)

自由輻射場を考え、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = \phi = 0
\tag{1}
\]
の条件を入れ、さらに、双極子近似を仮定しておき、A は空間的に一様であるとする。
(双極子近似を入れると、上記の$\nabla\cdot{\bf A} = 0$ は不要になるけど・・・)

輻射の半古典論で見たように、ハミルトニアンは、
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{ie\hbar}{mc}{\bf A}\cdot\nabla + \frac{e^2}{mc^2}{\bf A}^2 + V
\tag{2}
\]
と表せる。
この表式は、速度ゲージと呼ばれるらしい。

一方、双極子近似を仮定して、電磁場は空間的に一様と考えているので、
輻射場をスカラーポテンシャルで
\[
\phi(t) = -{\bf E}(t)\cdot{\bf r}
\tag{3}
\]
と表すこともできる。
この考え方によって、ハミルトニアンを作ると、
\[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - e{\bf E}\cdot{\bf r} + V
\tag{4}
\]
こちらは、長さゲージと呼ばれる。

この2つの表記は、実は単純に、ゲージ変換で結ばれている。
それについては、次回。

参考文献
[1] Faisal "Theory of multiphoton processes"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>量子力学 | コメント(0) | 2014/04/29 14:21

開集合・閉集合 (2)

開集合と閉集合の関係について。

$A \subset R^n$ において、以下の2つの命題は同値。
(a) A は閉集合である。
(b) $R^n$ における A の補集合 $A^c$ は開集合である。


(証明)
A は閉集合である。
⇔ $A = \bar{A}$
⇔ $\bar{A} \subset A$
⇔ $(\forall x \in R^n)
((\forall \varepsilon>0)(U(x,\varepsilon) \cap A \neq \phi) \Rightarrow x \in A)$
(対偶を取って)
⇔ $(\forall x \in R^n)
(x \notin A \Rightarrow (\exists \varepsilon>0)(U(x,\varepsilon) \cap A = \phi)$
⇔ $(\forall x \in R^n)
(x \notin A \Rightarrow (\exists \varepsilon>0)(U(x,\varepsilon) \subset A^c)$
⇔ $(\forall x \in R^n)(x \in A^c \Rightarrow x \subset A^{c\circ})$
⇔ $A^c \subset A^{c\circ}$
⇔ $A^c = A^{c\circ}$
⇔ $A^c$ は開集合。
(証明終了)

テキストには書いていないのですが、(当然過ぎて書いてないのかもしれませんが)
この逆バージョンも成り立つのでしょうか?
つまり・・・

$A \subset R^n$ において、以下の2つの命題は同値。
(a) A は開集合である。
(b) $R^n$ における A の補集合 $A^c$ は閉集合である。


(証明)
A は開集合である。
⇔ $A^{cc}$ は開集合である。(なぜなら、$A^{cc} = A$)
⇔ $A^c$ は閉集合である。(上の性質を用いた)
(証明終了)

テキストに書いているわけではないので、この証明は正しいかどうか分かりませんが・・・

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(4) | 2014/04/19 14:38

点列コンパクトと有界閉集合

昔、解析の授業でおぼろげながら記憶の断片に残っていることのひとつが
この「コンパクト」といえば、「有界閉集合」なんだなあということ(笑)
ウン十年の時を経て、今度こそはしっかりと理解しておきたいところ。

点列コンパクトの条件を思い出すと、
(1) K の任意の点列は、収束する部分列を含む(全有界)
(2)' K の任意の収束する点列の極限は、K に含まれる。


ここで、(1)は以下と同値。
(1)' K は有界である。

(2)'は以下と同値。
(2)'' K は閉集合である。

結果として、
$K \subset R^n$ において、以下の2つは同値である。
(a) K は点列コンパクトである。
(b) K は有界閉集合である



次は、被覆の概念を使った「コンパクト」とも同値であることを
見ていきたいと思うのですが、
日頃使い慣れない脳の部分を使って、かなり疲れました^^;
少し、休憩を入れるかもしれません。

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2014/04/19 00:04
 | HOME | Next »

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。