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高校時代の疑問 (1) 微分方程式の謎

先日の記事で言っていた高校時代に抱いていた疑問、その1です。

最近は指導要領から消えてしまったという話も聞きますが、
昔は高校数学の最後の総仕上げに
変数分離形の微分方程式がありました。

典型的には、こんな感じの問題(a は定数)
\[
f'(x) = a f(x)
\tag{1}
\]
当時よく目にしていた模範解答はというと・・・

$f(x) = 0$(恒等的にゼロ)ならば、$f'(x)=0$ であるから、方程式 (1) を満たすので、
$f(x) = 0$ は解である。

次に、$f(x) \neq 0$ であるとすると、
\[
\frac{f'(x)}{f(x)} = a
\tag{2}
\]
両辺を x で積分して、
\[
\ln |f(x)| = ax + C_0
\tag{3}
\]
よって、
\[
f(x) = C_1 e^{ax}
\tag{4}
\]ただし、$C_1 = \pm e^{C_0}$。

$f(x)=0$ は、(4) の解の $C_1 = 0$ の場合に含まれる。
ゆえに、$C_1$ を任意の定数として、一般解は (4) である。
以上。

という感じだったと記憶しています。
これで何も感じなかった方はそれでよいのですが、
僕は疑り深い性格なもので・・・(笑)

上の場合分けだと、
$f(x)$ が恒等的にゼロになるとは限らないが、どこか一点 $x=a$ でゼロとなる場合
を想定してませんよね!

この疑問に関してはまだ、厳密に解消できていないのですが、
おそらく以下のようなことではないかと思っています。

たとえば、ある一点 $x=a$ ではゼロとなる、すなわち $f(a)=0$と仮定してみる。
すると、これは解 $f(x)=0$(恒等的)の曲線上に存在するので、
解の一意性定理から、この点を含む解は必ず、$f(x)=0$(恒等的)となる。

という論理が前提されているのではないでしょうか?

解の一意性定理についても勉強してないので、よく分からないのですが、
手元の本をちらっと眺めると、微分方程式
\[
y' = F(x, y)
\tag{5}
\]の右辺の$F(x,y)$が有限領域で一価連続で有界でリプシッツ条件を満たせば一意性が保証される
と書いてあります。

この問題の式 (1) では、$F(x,y) = ay$ なので、わりと素直な関数でしょうけど、
そもそも、「有限領域」では考えていないような気が・・・
大丈夫なのでしょうか?
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>高校+α | コメント(2) | 2014/05/30 13:09

出張のお供選び

相変わらず、つぶやきですが(笑)、ちょっと話題を変えます。

これまで何度も発表しているアメリカの学会があるのですが、
今年も発表する予定で、その時期が近づいてきました。

片道10時間程度のフライトや一週間のホテル滞在の隙間時間を有意義に過ごすためにも、
お供してくれる読み物を選ばなければなりません。
まあ、僕の場合、小説というわけではなく、物理か数学の専門書なわけですが・・・(笑)

そこでいつも悩むのが小説とは違って、物理や数学の専門書というものは、
そのまま一冊をストレートに読み進めていける類のものではないということです。

途中で何らかの予備知識が必要となると、その関係の書物を当たりたくなります。
家で勉強していれば、書棚に行って、本をスイッチするだけでよいのですが、
出張のお供となると、そんなに何冊も重くて持っていけません・・・

こういう時、Kindleとか電子ブックは便利だろうなあと思うのですが、
専門書はあんまりKindle化もされてないですし、
もう買っちゃってる本はどうしようもないですしね(笑)

というわけで、実は電車で片道1時間の都心への日帰りの時ですら、
持っていく本に悩むんですよ^^;
海外出張ともなると、もはや一大事業です(笑)
まあ、実際には寝たり、映画を見たり、飲んだり・・・で
たいして読めたためしないんですけどね^^;;

まあ、そういうわけで、本の選択について考えてみます。

まず、途中で分からなくなって、他の本を探さなくてもよさそうな本がいいですね。
そうなると、できるだけ、self-containedな本がよいわけです。

そういう意味では物理より数学の方がいいですね。
物理では、数学として新しい概念が出てきたりしても、
その説明までやってる余裕がないのが普通ですから・・・

かといって、難しい数学書は、それ以前の数学の前提知識が必要だからダメで、
大学初年度で読むような解析や線形代数の本などがよさそうです。
最近読んでいた杉浦の「解析入門」とかが候補。

それから、他の本にさかのぼりようがないぐらい根源的な本として、
松坂の「集合と位相」などもいいかもしれません。
ただ、これ系の本を機内でずっと読んでいると、消耗しちゃうので考え物ですね^^;

ほんとは、角運動量の理解のために、
ユニタリ群などの書かれている群論の本を持っていきたいのですが、
今読んでいる吉川の「群と表現」はいまいち分かりにくいんです。

志賀の「群論30講」は分かりやすいですが、読み物系なので、
もう少し本格派を読んでみたい気もしていて、手持ちの
Hamermeshの"Group Theory and Its Application to Physical Problems"(Dover)
読んでみようかなと思っているところです。
少し、ためしに読んでみて、感触をつかんでからでないと、怖いですね。
(いざ持って行って、まったく読めなかったら、重いだけなので・・・)

あとは、偏微分方程式の本を持っていきたい気もしています。
こちらはわりと実用重視なものを・・・

やはり、物理も一冊持っていきたいんですよね。
この機会に、相対論的量子力学など新しいところを勉強し始めたいという気もするのですが、
分からなくなったら危険ですね。
シッフの下巻をもっていけば、読み慣れているし、
場の量子論のところも読んでいるところなので、それも一案。
でも、よく上巻の式が式番号だけで参照されるから、そこが困るのですが・・・笑

いっそのこと、群論とリンクさせて、角運動量も勉強してしまうということで、
上巻も持っていきますか・・・
角運動量のところは、JJサクライも分かりやすそうなので、捨てがたいし。

あと、とてもしょうもない話なのですが、
わりと大きめの学会なので、機内で同業の知っている方が隣になる可能性もあるんですよね(汗)
そうすると、「今さらこんな基礎的な勉強してるのか・・・」とか思われないかなとか^^;

まあ、こんなにあれこれ考えてても、結局、往復で10ページも読めなかったりするのが常なので、
あまり悩まないようにするのが吉だと思います(笑)
今回こそは、冊数を減らして、荷物を軽くするよう全力を尽くします^^;
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
つぶやき | コメント(0) | 2014/05/29 19:29

このブログの狙い

最近、物理や数学の記事ではなく、完全につぶやきブログと化してますね(汗)

英文化の話で、どうやったら検索してもらえるだろうかという話をしていますが、
決して、アクセス数を上げたいというわけではないんです。

アクセス数を上げるのなら、ブログ村のようなポータルサイトに登録したり、
関係ブログにコメントを残していくとかいろいろと手段はあるでしょうが、
狙いはそうではありません。

このブログの狙いというものを初めてちゃんと考えてみました。
もちろん、当初目的はただの独習記で、
ここに整理して書くことによって自分が理解しやすくなるし、
理解していない箇所が明確になるし、
思い出したい時にブログならどこからでも見られます。
さらに、疑問点を書くことによって、詳しい方が教えてくださることもあります。

それとは別に、このブログを公開している意味があるかなあと感じる点があります。

物理や数学の得意な方には当たり前すぎて、さらっと通り過ぎてしまうようなポイントで
僕はよくひっかかってしまうので、そういうところをどのように解決したかを書いておけば、
同様の悩みを持った人がキーワード検索でたどり着いて、
これを読むと多少なりとも参考になるのではないかと思うのです。

専門家から見ると当たり前すぎて、どんな教科書にも書かれていないこと。
結構あるんですよね(笑)

たとえば、先日英訳した「非正方行列の逆行列」の記事。
普通の人には当然すぎて気にならないと思うのですが、
「逆行列」の定義には、当然のように、「正方行列Aに対して・・・」となっています。
じゃあ、「非正方行列に対しては逆はないのか?」という疑問が出てきて、
妙なところでひっかかっちゃうんですよね^^;

実際に「非正方行列 逆行列」で検索してみると、
僕の記事(本家ブログの方ですが)がトップに出てきて非常に恐縮なのですが(汗)、
検索ワード解析を見ると、定期的にこのワードでたどり着かれているようです。

ただ、英語で"non-square matrix inverse"で検索すると、たくさんの解説記事が出てくるので、
日本語記事が少ないだけで、わりとメジャーな話題なのかもしれません。

そんな感じで、あまり教科書にはマジメに書かれていない隙間的な悩みと解決方法を
書いて行けるのがベストだと思っています。
もちろん、独習記でもあるので、どんな教科書にも載っている定番ネタも
書かせていただきますけどね。

ところで、これを書いていて思い出したのですが、
高校時代に普通の人はスルーしてしまうであろう疑問をいくつか持っていました。
それについては、今度、記事にしてみようと思います。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
つぶやき | コメント(0) | 2014/05/29 12:50

英文ブログへの妄想 (2)

とりあえず、試しに一つだけ過去記事を英文化してみました。

思ったよりも疲れました(笑)
やっぱり日本語の方が気楽ですね^^;

もう一つの方の仕事関係の英語版ブログ(FC2)もパスワードを外して、
公開にして、様子をみています。
カウンターをつけているのですが、
予想通り、まったく訪問者はいなさそうです(笑)
外国からでも検索されるものかどうかもうしばらく様子を見てみたいと思います。

最近、外国のブログがどういうものなのか、いろいろ検索しているのですが、
一つ気づいたことがあります。

日本のブログでは、当ブログのように、
なんとなく自信がないけど書き綴ってるみたいなブログが珍しくないと思うんです。
たとえ、わりと高度な知識をお持ちの方のサイトであっても、
「間違いがあるかもしれませんが、ご容赦ください」みたいな文言は普通ですよね。

でも、海外のブログを見ていて、そんなブログは一つも見つけることができませんでした。
基本的には、専門家の立場から「レクチャーして差し上げます」「お役立ち情報をご紹介します」
という目線で語られているものばかりです。

当ブログのようなある意味、「奮闘記」的なブログ(笑)は
そもそも、あちらではブログの概念を超越しているのでしょうか?^^;

おそらく、メンタリティの違いはあるでしょうね。
専門家といっても、graduate student(大学院生)だったりすることもあるのですが、
それでも、自信200%で書かれています。
基本的に、欧米では自分の発言はそれなりの信念をもって語られるので、
「間違っているかもしれませんが」という修飾語句自体、
自己矛盾に陥っているのかもしれません。

そうはいっても、謙遜という意識がないかというと、そうではなくて、
学会などでお会いする外国の研究者と話しても、そんな傲慢というわけではありません。
ただ、自分の知識を披露する時は、それなりの自信を持っているということなのでしょうね。

そして、仮にそれが間違いだと指摘されても、故意に間違えたわけではないのだから、
悪びれることもなく、「ご指摘ありがとう」というスタンスになるのではないかと・・・
そんな風に感じています。

と、話が長くなってしまいましたが、
僕も仕事関連のブログの日本語版の方は、
「間違いが多いので、ご注意ください」みたいなことを書いているのですが、
英語版の方では、それを英訳するのはやめておきました(笑)
とりあえず、自信をもって書いておこうかと・・・^^;

というわけで、当ブログの方は、独立に英語版を立ち上げるのではなく、
日本語ブログの中にひっそりと英文記事を書いておくぐらいが
よさそうかなと思っています。
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
つぶやき | コメント(0) | 2014/05/28 12:30

英文ブログへの妄想

最近、にわかに自分の中で大きくなってきた妄想があります。
それは、このブログを英文化したい!という妄想です。

事の経緯をご説明しますね(ちょっと長くなります)

誰にもお知らせしていないのですが、
僕は、このブログの他に別のブログを書いていまして、
そこには、仕事の専門の関係の非常にニッチな(狭い)分野に関する
レアな計算式の導出などを備忘録的にアップしています。

宣伝活動もしていないし、する気もないので、
一日に数名程度が検索でたどりつく程度なのですが、
たぶん、こんなマニアックな計算式の導出を真面目にアップするような人も
いないと思うので、それなりに希少価値はあると思うんです(笑)

数式は世界共通語なので、せっかくならば、説明も英文にしてしまえば、
世界の人が読むことができて、利用価値も上がるかなと思ったのです。
世界に10人ぐらいの需要はありそうです(笑)
(まだ、この物理ブログの話じゃないですよ・・・)

そんなわけで、どうやって英文化しようかと考えました。
一番簡単なのは、同じブログで英文の記事を並行して書くことですが、
日本語のブログの中に英文記事があっても、
外国の人が読んでくれるようなものなのでしょうか???

全部英語のブログを別に立てたほうがよさそうです。
でも、FC2で作ったとしても、はたして、
外国でのGoogleの検索にひっかかってくれるものなのでしょうか???

ほんとは、外国で有名なブログサイトを使うべきなのでしょうが、
なかなかハードルが高そうですし、
実際、日本人ほどブログをやっている人が少ないという話も聞きます。
(facebookなどのSNSで発信している人の方が多いのでしょうか?)

そもそも、ブログでこんな正しいかどうか自信ないですよと豪語しているようなことを
書くことが文化的に許されるんでしょうか?
イメージ的には、100%自信たっぷりに教えてあげる目線で
記事を書く人が多そうな気が・・・^^;

そんなわけで、分からないことだらけなのですが、
まあ英語で書くだけなんだから、そこまで初めから
あれこれ考えておかなくてもいいかと思い、
とりあえず、FC2で別の英文ブログを立ち上げて、アップを始めました!

まだ、パスワード制にしていて公開はしていないのですが、
ある程度、記事の英文化が進めばパスワードを外してみて、
来月、アメリカに出張予定があるので、現地端末を触る機会があれば、
Googleで検索して、たどりつけるかみてみたいと思っています^^

で、長くなりましたが、ここまではまだ、このブログの話ではありません!

実際、記事を英文化してみて・・・
決して、英語が得意というわけではありませんが、
論文や学会の予稿などはしょっちゅう英語で書いているので、
理系の文章を英語で書くことには、そんなに抵抗感はありません。
(数式の混じった文章はあまり経験がないので、
そのあたりの表現はちょっと慣れないのですが)

実はアドレナリンが放出されて、結構楽しいんです!(笑)
というわけで、このブログも少しずつ英文化してみたいと思うようになってきました。
もちろん、このブログの内容は希少価値ゼロですから、
特に需要とか大仰なことを考えているわけではありません。
単純に、自分が楽しそうだから・・・という理由です(笑)

問題は、仕事関連の方はそこまで間違ってないと思うのですが、
こちらのブログは間違いだらけで、自信のない記事ばかりだということ。
こんなものをあくまでも「独習記」という位置づけでブログにアップするような
文化が世界的にあるのかどうかということ。
(いや、実は日本にもないのかもしれませんが・・・^^;)

まあ、それも心配なのですが、とりあえずは、
このブログの中で英文化した記事を同時並行で入れていこうかなと思っています。
そのうち、気が向いたら、英文記事だけを独立したブログにしてもいいかなと。

とりあえず、そんな妄想を考えています^^;
つぶやき | コメント(4) | 2014/05/24 16:43
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