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極値

極値と導値(微分係数)の関係について。

極大(極小)(定義)
実数値関数 f について、内点 a において、a のあるε近傍における最大値(最小値)を取るとき、
f は a で極大(極小)となるという。
両方合わせて、極値を取るという。

極値と導値の関係
実数変数実数値関数 $f : A \rightarrow R$ ($A \subset R$) について、
f が A の内点 x で極値を取り、f が x で微分可能ならば、
$f'(x) = 0$ である。

(証明概略)
極大の時について示す(極小についても同様)。

あるε近傍において、x で最大値となるから、
x における左導値は正または0となり、
x における右導値は負または0となる。

微分可能性の要請から、左右の導値は一致しなければならないから、
導値は0となる。
(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/27 12:06

中間値の定理

有界閉区間で連続な実数値関数は、端点の値の間にある値をすべて、区間内で取りうる
という重要な定理。

中間値の定理
Rの有界閉区間 $I=[a,b]$ において連続な実数値関数 $f: I \rightarrow R$ は、
$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の実数 $\gamma$ を値に取る。
つまり、$f(c) = \gamma$ となる実数 c が I に存在する。

これを証明するために、まず、以下の系を証明する。


Rの有界閉区間 $I=[a,b]$ において連続な実数値関数 $f: I \rightarrow R$ において、
$f(a) < 0$ かつ $f(b) > 0$、または、$f(a) > 0$ かつ $f(b) < 0$ ならば、
$f(c) = 0$ となる実数 c が I に存在する。

(系の証明概略)
$f(a) < 0 < f(b)$ の場合を証明する(逆の場合も同様)。

区間 $I_0 = [a_0, b_0]$( $a_0 = a, b_0 = b$) とおき、
区間 $I_n = [a_n, b_n]$ を以下のように帰納的に定義する。

$I_n$ に対して、中点 $c_n = (a_n + b_n)/2$ の正負に応じて、
$f(c_n) \geq 0$ ならば、$I_{n+1} = [a_n, c_n]$、
$f(c_n) < 0$ ならば、$I_{n+1} = [c_n, b_n]$ とする。

区間縮小法の原理により、ある数 $c \in I$ に対して、\[
\bigcap_{n\in N} I_n = \{ c \}
\] となり、\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n = c
\]である。
上記の区間の決め方より、常に、$f(a_n) < 0 \leq f(b_n)$ が成立していて、
$f(x)$ の連続性から、\[
\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} f(b_n) = f(c)
\]であるから、$f(c) \leq 0 \leq f(c)$ となり、$f(c) = 0$ となる。
(証明終了)

(中間値の定理の証明)
$f(a) = f(b)$ の時は自明。
$f(a) \neq f(b)$ の場合は、$g(x) = f(x) - \gamma$ に対して、上記の系を適用する。
(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/23 00:14

連続性と最大値・最小値の存在

点列コンパクトな集合において、連続な関数は最大値・最小値を持つ
という重要な定理。

K を $R^n$ の点列コンパクト集合として、
$f : K \rightarrow R^m$ は K で連続であるとすると、

(1) $f(K)$ は点列コンパクトであり、f は有界である。

(2) 特に、f が実数値関数 (m = 1) の場合で、$K\neq\phi$ ならば、
  f は K で最大値、最小値に達する。

(証明概略)
(1) $f(K)$ の任意の点列 $y_n$ に対して、$y_n = f(x_n)$ となる $x_n \in K$ が存在するから、
そのうち一つを選ぶと、K の点列 $x_n$ が構成できる。

K は点列コンパクトであるから、点列 $x_n$ はK の点 x に収束する部分列を持つ。
その部分列に対応する $y_n$ の部分列の極限は、
f の連続性により、$y = f(x)$ となり、$x \in K$ より、 y は $f(K)$ に属する。
よって、$f(K)$ は点列コンパクトである。

ゆえに、$f(K)$ は有界閉集合であり、f は有界である。

(2) (1)より $f(K)$ は有界であるから、上限と下限が存在する。
上限 $s = {\rm sup} f(K)$ について、上限の定義より、
s に収束する $f(K)$ の点列が存在する。

しかるに、$f(K)$ は閉集合であるから、s は $f(K)$ に属する。
よって、s は $f(K)$ の最大値である。

下限についても、同様の手順で、最小値であることが示せる。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/21 22:47

点列と関数の極限

解析の続き。

$A \subset R^n$ における関数 $f : A \rightarrow R^m$ について、
以下の2つは同値である。

(a) $x \rightarrow a$ で $f(x)$ が b に収束。
(b) a に収束する任意の点列 $x_n$ に対して、$f(x_n)$ が b に収束。


一見すると、不思議な定理。
離散的に点を選んだだけなのに、それが収束することが関数自体が収束することと同値になるとは。
「任意の」点列というのがポイントなんですね。


(証明概略)
(a) ⇒ (b)
任意のε>0 に対して、δ>0 が存在して、$|x-a|<\delta$ となるすべての x について、
$|f(x) - b| < \varepsilon$ が成立。
a に収束する任意の点列 $x_n$ において、ある $n_0$ が存在して、
すべての $n \geq n_0$ について、$|x_n - a| < \delta$ となるから、
この時、上記より、$|f(x_n) - b| < \varepsilon$ となる。

(b) ⇒ (a)
「$f(x)$ は b に収束しない」と仮定する。
この時、あるε>0 に対して、どんなδ>0 を取っても、
$|x - a|<\delta$ のある x に対して、$|f(x) - b| \geq \varepsilon$ となる。

そこで、$\delta = 1/n$ と取ってやり、$|x - a|<1/n$ となる区間から
$|f(x) - b| \geq \varepsilon$ となる x を選び出し、$x_n$ とする(選択公理)。
こうして構成された点列 $x_n$ は a に収束するが、$f(x_n)$ は b には収束しない。
このことは、(b) の前提に反する。
(証明終了)

イメージで言うと・・・
(a) ⇒ (b)
関数として収束するんだから、離散的に選び出した点列は当然、収束するだろう。

(b) ⇒ (a)
任意の点列で収束しなきゃいけないんだから、
元の関数が収束してくれてないと、
うまく収束しない点を選び出しちゃったときには、
点列が収束してくれなくて困る!


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/21 12:38

定数係数の線形常微分方程式 (2) 山辺の方法

演算子法の話です。

実は正直、「演算子法」とか「記号的解法」とか呼ばれている方法が
どの方法のことをさしているのかよく分かってないのですが、
とりあえず、同次方程式の一般解非同次方程式の特解
分かればよいわけです。

で、同次の一般解については、前回の方法ですぐに計算できるので、
問題は、非同次の特解を求めることにかかっています。

特に、非同次の項が x に関する整式になっている場合、
最強の武器となるのがこの「山辺の方法」と呼ばれる方法!

山辺さんという方がどのような方かもとんと存じ上げないのですが、
この方法、あんまり、教科書にも載ってないんですよね・・・

大学の頃、友人が [1] の本を手にして、
「おい、この方法、すごいぜ!!!これがあれば何でも解けるよ!」
と興奮気味に教えてくれたのが印象に残っています(笑)
確かに、この方法、すごいと思うんですよね。

というわけで、記事にしたいのですが、その前に、演算子法について。

演算子法では、\[
\frac{d}{dx} = D
\tag{1}
\]と書くと約束する。

以前やった例題の式\[
y'' - 5y' + 4y = x^2
\tag{2}
\]は、\[
(D^2 - 5D + 4)y = x^2
\tag{3}
\]と書ける。
同次の一般解部分は、以前の記事のように、特性方程式を解けばすぐわかる。
つまり、解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + (非同次の特解)
\tag{4}
\]となる。
この非同次の特解を求めるのには、どうするか?
方程式 (3) を形式的に、\[
y = \frac{1}{D^2 - 5D + 4} x^2
\tag{5}
\]と変形する。

ここで、満を持して、その「山辺の方法」の登場!

筆算でこの割り算をバリバリとやってしまおうという素晴らしいアイデア(笑)

実際、これ割り算なんですよね!
「$D^2-5D+4$ という演算を掛ければ、$x^2$ になるようなものを探せ!」
というわけなので、$x^2$ を $D^2-5D+4$ で割ればよいわけです。

ただ、筆算を MathJax で書くというのが至難の業・・・^^;
\[
\begin{array}{ccccc}
& & \frac{1}{4}x^2& +\frac{5}{8}x & +\frac{21}{32} \\
& & --- & --- & --- \\
4-5D+D^2 & ) & x^2 & & \\
& & x^2 & -\frac{5}{2}x & +\frac{1}{2} \\
& & --- & --- & --- \\
& & & \frac{5}{2}x & -\frac{1}{2} \\
& & & \frac{5}{2}x & -\frac{25}{8} \\
& & & --- & --- \\
& & & & \frac{21}{8} \\
& & & & \frac{21}{8} \\
& & & & --- \\
& & & & 0
\end{array}
\]
なんとか書けた(笑)
Dの式を次数の逆順で書くのがポイント!
Dの定数項をもとに上に書く値を決めて、
(この例では、$x^2$ を 4 で割って、$x^2/4$ と上に書く)
あとは普通の筆算の割り算と同じように進めていきます。

割り算した答が求める特解になって、\[
y = \frac{1}{4}x^2 +\frac{5}{8}x + \frac{21}{32}\\
= \frac{1}{32} ( 8x^2 + 20 x + 21 )
\tag{6}
\]
(4) に入れると、求める一般解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + \frac{1}{32} ( 8x^2 + 20 x + 21 )
\tag{7}
\]となり、以前の答とちゃんと一致することが確かめられます。
以前の方法よりもだいぶ楽ですね!

参考文献
[1] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/11/20 12:56
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