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有限増分の定理

ベクトル値関数の場合は、平均値の定理は成り立たない。
なぜなら、各成分 $f_i(x)$ ごとに平均値となる途中の $c_i$ の値が異なってしまうから。

その代わりに、以下の有限増分の定理が成り立つ。

有限増分の定理
U は $R^n$ の開集合で、関数 $f : U \rightarrow R^m$ は U 上微分可能とする。
U 上の2点 a, b を両端とする線分 $L = \{ g(t) = a + t(b-a) | t \in [0,1] \}$ が
U に含まれるとき、\[
|f(a) - f(b)| \leq \sqrt{m} \sup_{x\in L} |f'(x)| |b-a|
\tag{1}
\]

注:実は、$\sqrt{m}$ の因子はいらないことが証明できるらしいけど、複雑みたいです。
$C^1$ 級なら、積分で証明できるらしい。

証明概略
合成関数 $f(g(t))$ は、[0,1] で微分可能であり、\[
(f\circ g)'(t) = f'(g(t)) g'(t) = f'(g(t)) (b-a)
\tag{1}
\]そこで、f の第 i 成分に対して、平均値の定理を適用すると、\[
f_i(b) - f_i(a) = f'(g(\theta_i)) (b-a)
\tag{2}
\]なる $0 < \theta_i < 1$ が存在する。\[
M = \sup_{x\in L} |f'(x)|
\tag{3}
\]とすると、\[
|f_i(b) - f_i(a)| \leq M |b-a|
\tag{4}
\]ゆえに、\[
|f(b) - f(a)| = \sqrt{\sum_{i=1}^m |f_i(b) - f_i(a)|^2} \leq \sqrt{m} M |b-a|
\tag{5}
\]
(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(4) | 2015/04/21 00:16

合成関数の微分(連鎖律)

合成関数の微分(連鎖律)
関数
$f : U (\subset R^n) \rightarrow R^m$ は $x \in U$ で微分可能であり、
$g : V (\subset R^m) \rightarrow R^p$ は $y = f(x) \in V$ で微分可能であるとすると、
合成関数 $\varphi = g \circ f$ は x で微分可能であり、\[
(g\circ f)' (x) = g'(y) f'(x)
\tag{1}
\]
一変数の場合だと、高校でも習う定番の公式ですが、
これを多変数ベクトル値関数 ($R^n \rightarrow R^m$) の場合について示します。

証明概略
f, g の微分可能性から\[
f(x+h) - f(x) = f'(x) h + \varepsilon(h)
\tag{1}
\]\[
g(y+k) - g(y) = g'(y) k + \delta(k)
\tag{2}
\]とおくと、\[
\lim_{h\rightarrow 0, h\neq 0} \frac{\varepsilon(h)}{|h|}
= \lim_{k\rightarrow 0, k\neq 0} \frac{\delta(k)}{|k|}
= 0
\tag{3}
\]いま、\[
k(h) = f(x+h) - f(x)
\tag{4}
\]で k と h を関連付けると、f の連続性(微分可能性より)から、$h \rightarrow 0$ ならば、$k \rightarrow 0$。

合成関数 $\varphi$ の変化は、まず (2) を用いて、
\[
\varphi(x+h) - \varphi(x)
= g(y+k) - g(y) \\
= g'(y) \{ f(x+h) - f(x) \} + \delta(k)
\tag{5}
\]さらに、(1) を入れて、\[
\varphi(x+h) - \varphi(x)
= g'(y) f'(x) h + \rho(h)
\tag{6}
\]ただし、\[
\rho(h) = g'(y) \varepsilon(h) + \delta(k(h))
\tag{7}
\]とおいた。

ここで、\[
\lim_{h\rightarrow 0, h\neq 0} \frac{\rho(h)}{|h|} = 0
\tag{8}
\]を示せば、$\varphi(x)$ が x で微分可能であり、導値が $g'(y) f'(x)$ であることが言える。
\[
\frac{\rho(h)}{|h|} = g'(y) \frac{\varepsilon(h)}{|h|} + \frac{|k|}{|h|} \frac{\delta(k)}{|k|}
\tag{9}
\]
|k|/|h| の大きさを調べる。(1) と (4) から\[
\frac{|k|}{|h|} = \frac{|f'(x)h + \varepsilon(h)|}{|h|}
\leq |f'(x)| + \frac{|\varepsilon(h)|}{|h|}
\tag{10}
\]ここで、$|f'(x)|$ は行列のノルム(各成分の2乗和の平方根)で、
ベクトルのノルムと同様、三角不等式やシュワルツの不等式が成立する(証明略)。

これより、|k|/|h| は有界であり、(3) から (9) 式はゼロに収束する。

(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
数学>解析 | コメント(0) | 2015/04/20 08:00

球面調和関数 (1)

延々とルジャンドルをやってきたのも主にこのため!
球面調和関数がやりたかったのです。
ようやく入れます^^

定義\[
Y_{lm}(\theta,\phi) = (-1)^m
\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} }
P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{1}
\]
文献 [1] の定義はこうなっています。

ところが、Wikipedia [2] や他の文献を見ると、以下の定義をよくみかけます。\[
Y_{lm}(\theta,\phi) = (-1)^{(m+|m|)/2}
\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} }
P_l^{|m|}(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{2}
\]
ダブルスタンダードは困るぞ!!!(怒)
後々、混乱するじゃないか!
やる気もダウンします・・・orz

というわけで、まずは同じものなのかを確認すべし!

(2) 式からスタート。

m ≧0 の場合
|m| = m とおくと、明らかに (1) に一致する。

m < 0 の場合
|m| = -m だから、(2) 式は\[
Y_{lm}(\theta,\phi) =
\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} }
P_l^{-m}(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{3}
\]
関係式\[
P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x)
\tag{4}
\]を代入すると、(1) となる。

ということで、両方の定義は一致することが確認できた。

いろんな証明を行うには、(1) の方がすっきりしていて使いやすそうですが、
具体的な式の表現を出すときには、(2) の方がやりやすそう。

しばらくは、文献[1] を参考に進めるので、(1) 式を主に使おうと思います。

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
[2] Wikipedia 「球面調和関数」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0
球面調和関数 | コメント(0) | 2015/04/15 19:42

ルジャンドル陪関数 (5)

直交性
m が同じ場合には、l について直交性が成り立つ。\[
\int_{-1}^1 P_l^m(x) P_{l'}^m(x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{l l'}
\tag{1}
\]
証明の前に、m = 0 の場合は、\[
\int_{-1}^1 P_l^0(x) P_{l'}^0(x) dx = \frac{2}{2l+1} \delta_{l l'}
\tag{2}
\]となり、ルジャンドル多項式の直交性に一致することを確認しておく。

証明
関係式\[
P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x)
\tag{3}
\]を用いると、(1) の左辺は、\[
\int_{-1}^1 P_l^m(x) P_{l'}^m(x) dx
= (-1)^m \frac{(l+m)!}{(l-m)!} I_m
\tag{4}
\]となる。ただし、\[
I_m \equiv \int_{-1}^1 P_l^{-m} P_{l'}^m dx
\tag{5}
\]とする。

m > 0 としておく。
(m = 0 は証明済、 m < 0 の時は m' = -m とおいて同様に証明可能)
定義式\[
P_l^m(x) \equiv \frac{1}{2^ll!}(1-x^2)^{m/2} \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l
\tag{6}
\]を代入すると、(以下、d/dx = D と書く)\[
I_m = \frac{1}{2^l l! 2^{l'} l'!} \int_{-1}^1 D^{l-m} (x^2-1)^l \cdot D^{l'+m} (x^2-1)^{l'} dx
\tag{7}
\]部分積分を行って、因子を除いた積分の部分は\[
\left[ D^{l-m} (x^2-1)^l \cdot D^{l'+m-1} (x^2-1)^{l'} \right]_{-1}^1 \\
- \int_{-1}^1 D^{l-(m-1)} (x^2-1)^l \cdot D^{l'+m-1} (x^2-1)^{l'} dx
\tag{8}
\]
m > 0 より、 第一項はゼロ。第二項は、$I_{m-1}$。すなわち、\[
I_m = -I_{m-1} = \cdots = (-1)^m I_0
\tag{9}
\]$I_0$ はルジャンドル多項式の直交性 (2) より、\[
I_0 = \frac{2}{2l+1} \delta_{l l'}
\tag{10}
\]これを (4) に代入すると、(1) を得る。

(証明終了)

よく、こんな証明思いつくなあ・・・

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ルジャンドル陪関数 | コメント(0) | 2015/04/14 08:10

ルジャンドル陪関数 (4)

微分方程式\[
\left[
(1-x^2) \frac{d^2}{dx^2} - 2x \frac{d}{dx} + l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}
\right] P_l^m(x) = 0
\tag{1}
\]
証明
以前に示した2つの漸化式\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} + mx \right] P_l^m(x) = \sqrt{1-x^2} P_l^{m+1}(x)
\tag{2}
\]\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} - mx \right] P_l^m(x) = -(l+m)(l-m+1) \sqrt{1-x^2} P_l^{m-1}(x)
\tag{3}
\]を用いて示す。

以下、簡単のため、d/dx を D と書き、P の添え字の l は省略する。

(3) の m を m+1 にすると、\[
\left[ (1- x^2) D - (m+1)x \right] P^{m+1} = -(l+m+1)(l-m) \sqrt{1-x^2} P^m
\tag{4}
\](2) より、-1< x < 1 の範囲で、\[
P^{m+1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m
\tag{5}
\](5) を (4) に代入。
左辺は、\[
\left[ (1- x^2) D - (m+1)x \right] \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m \\
= \left[ (1-x^2) D\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)
+ \sqrt{1-x^2} D - (m+1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right] \\
\times \left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m
\tag{6}
\]ここで、\[
D\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}
\tag{7}
\]を用いると、(4) は、\[
\left\{ \left[
D - \frac{mx}{1-x^2}
\right] \left[
(1-x^2)D + mx
\right] \hspace{5em} \\
+ (l+m+1)(l-m) \right\} P^m = 0
\tag{8}
\]となる。さらに、\[
D\left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m \hspace{10em} \\
= \left[ (1-x^2)D^2 - 2xD + mxD + m \right] P^m
\tag{9}
\]に注意して展開を進めると、(1) を得る。

(証明終了)

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
ルジャンドル陪関数 | コメント(0) | 2015/04/13 08:27
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