スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

行列の正則性~まとめ

ついでに、行列の正則性についても、自分用にまとめておきます。

あとで迷った時に、ここに帰ってこれるように・・・
自分で考えてまとめただけなので、間違ってるかもです(汗)

行列が正則であるとは・・・

逆行列が存在する。

行列式がゼロでない。

階数が n である。

すべての列ベクトル(行ベクトル)が線形独立。

左右基本変形で、すべての対角成分に1が並ぶ。

写像の像空間の次元が n である。

写像が全単射(一対一対応)である。

写像の核空間の次元が 0 である(ゼロベクトルのみ)。

こんなとこでしょうか・・・
まだあるかもしれません。後で追加するかもです。
スポンサーサイト
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/26 08:15

行列の階数~ まとめ

ここで、行列の階数について、まとめておきます。

行列の階数とは・・・

左右基本変形で標準形にしたときの、対角成分に並ぶ1の個数。

行列の与える線形写像の像空間の次元。

線形独立な列ベクトル(行ベクトル)の数。


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/26 08:00

階数と線形独立性

階数について、もう一つ大事なことを書き忘れてました。

行列に含まれる線形独立な列ベクトル(行ベクトル)の数は、行列の階数に等しい。

(証明)
行列 A の列ベクトルを $a_i$ とすると、
$K^n$ の単位列ベクトル $e_i$ (第 i 成分のみが1で他が0のベクトル)を用いて、
$a_i = A e_i$ と書ける。

$K^n$ は、$e_i$ によって生成される空間($e_i$ の線形結合で表せるベクトルの集合)だから、
A の与える写像 $T_A$ の像 Im $T_A$ は、$a_i$ によって生成される。

Im $T_A$ の次元は、行列の階数 r に等しいから、
$a_i$ のうち線形独立なベクトルの数は r である。

行ベクトルに関しては、階数が転置に対して不変であることを用いると、明らか。
(証明終了)


階数が転置に対して不変、すなわち\[
r(A) = r(A^T)
\]であることを示しておく。

(証明)
ある正則行列 P, Q を用いて、$PAQ = F(r)$ とできる。
両辺の転置を取ると、$Q^T A^T P^T = F(r)$ 。
$P^T$ も $Q^T$ も正則であるから、上式は $r(A^T) = r$ を意味する。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/26 07:21

直和

直和
和空間において、和の表し方が一意的である時、直和と呼ぶ。

$W = W_1 + W_2$ において、$x \in W$ が
$x = x_1 + x_2$ ($x_1 \in W_1$、$x_2 \in W_2$)と一意的に表される時、
W を W1 と W2 の直和であるといい、
$W = W_1 \dot{+} W_2$ と書くことにする。


直和の条件は、以下の各々の条件と同値である。

(1) $W_1 \cap W_2 = \{ o \}$

(証明)
W1 + W2 が直和であると仮定する。
もし、W1∩W2 に o 以外の元 a が存在したとすると、-a も元である。
$o = o + o = a + (-a)$ の2通りの和が存在するため矛盾。

逆に、(1) が成立すると仮定する。
2通りの和 $x = x_1 + x_2 = x'_1 + x'_2$ が存在したとすると、
$x_1 - x'_1 = x'_2 - x_2$ となり、両辺は W1∩W2 の元であり、o と等しい。
よって、$x_1 = x'_1$、$x_2 = x'_2$
(証明終了)


(2) ${\rm dim} W_1 + {\rm dim} W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2)$

(証明)
前記事より\[
{\rm dim} W_1 + {\rm dim} W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2) + {\rm dim}(W_1 \cap W_2)
\](1) は、${\rm dim}(W_1 \cap W_2) = 0$ と同値であるから、
(2) は (1) と同値である。
(証明終了)

参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/11 08:08

和空間

なぜか、畳に床の間、掛け軸に生け花を彷彿とさせる言葉です(笑)
我が家にはないので、非常に欲しいものの一つです。

和空間
線形空間 V の部分空間 $W_1$, $W_2$ に対して、
$W_1$ の元と $W_2$ の元の和全体からなる集合は線形空間となる。
これを和空間と呼び、$W = W_1 + W_2$ で表す。\[
W_1 + W_2 = \{ x_1 + x_2 | x_1 \in W_1, x_2 \in W_2 \}
\]合併集合 $W_1 \cup W_2$ とは異なるので、注意!
(合併集合にはないようなものも含まれる)

和空間の次元に関して、以下の定理が成立。\[
{\rm dim}W_1 + {\rm dim}W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2) + {\rm dim}(W_1 \cap W_2)
\]
(証明)
W1∩W2 の次元を r, W1 及び W2 の次元をそれぞれ、r + s, r + t とすると、
W1 + W2 の次元が r + s + t となることを示す。

まず、W1∩W2 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r \rangle$ と選び、
これを拡張して、W1 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r, b_1, \cdots, b_s \rangle$、
W2 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r, c_1, \cdots, c_t \rangle$
とする。
この時、$E = \langle a_1, \cdots, a_r, b_1, \cdots, b_s, c_1, \cdots, c_t \rangle$ が
W1 + W2 の基底となることを示す。

W1 + W2 の任意の元は、W1 の元と W2 の元の和で表せるから、
E の線形結合で表されることは明らか。
そこで、E の線形独立性を示せばよい。

線形関係\[
\sum_{i=1}^r \alpha_i a_i + \sum_{i=1}^s \beta_i b_i + \sum_{i=1}^t \gamma_i c_i = o
\tag{1}
\]を仮定する。移項すると、\[
\sum_i \alpha_i a_i + \sum_i \beta_i b_i = -\sum_i \gamma_i c_i
\]となり、左辺は W1 の元、右辺は W2 の元であるから、両辺ともに W1∩W2 の元である。
よって、\[
\sum_i \gamma_i c_i = \sum_i \lambda_i a_i
\]と書けて、W2 の基底の線形独立性より $\gamma_i = 0$ および $\lambda_i = 0$ となる。

(1) に代入すると、\[
\sum_{i=1}^r \alpha_i a_i + \sum_{i=1}^s \beta_i b_i = o
\]となり、今度は W1 の基底の線形独立性より、$\alpha_i = 0$ および $\beta_i = 0$ が言え、
E の線形独立性が示された。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/09 07:25
 | HOME | Next »

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。