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ドルーデ模型

一週間、夏休みでした。
勉強もさぞかし進んだだろうと思いきや、
最近入会したスポーツジムとピアノ三昧で勉強はほとんどゼロです^^;
唯一、都内に用事があった時の往復の電車で代数の本を数行読んだぐらい(笑)
勉強は、他にやることがない環境に置かれないと難しいですね・・・汗

さて、プラズマ周波数の理解は置いておいて、先に進みます。

自由電子模型に続いて、今度はドルーデ模型 (Drude model) を扱います。

金属の状態をうまく説明するモデルのようです。

今度は、完全に自由な電子ではなく、衝突散乱を受ける場合を考える。
散乱の部分をダンピング項として取り入れて、\[
m \ddot{x} + m\gamma \dot{x} = -eE
\tag{1}
\]とする。ここで、取り入れたダンピング項の係数\[
\gamma = 1/\tau
\tag{2}
\]は、電子同士や電子とイオンの衝突に関する平均自由時間の逆数と思えばよい。

前記事と同様に、ωで振動する成分を考えることにすると、振幅は\[
x_0 = \frac{eE_0}{m\omega(\omega - i\gamma)}
\tag{3}
\]となり、分極は、\[
P_0 = -Nex_0 = -\frac{Ne^2E_0}{m\omega(\omega-i\gamma)}
\tag{4}
\]となる。これより、誘電率と比誘電率は、\[
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 - \frac{Ne^2}{m\omega(\omega-i\gamma)}
\tag{5}
\]\[
\varepsilon_r(\omega) = 1 - \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0\omega(\omega-i\gamma)}
= 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega-i\gamma)}
\tag{6}
\]と表される。

実部と虚部はそれぞれ、\[
\varepsilon_{1r}(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + \gamma^2}
\tag{7.1}
\]\[
\varepsilon_{2r}(\omega) = \frac{\omega_p^2 \gamma} {\omega(\omega^2 + \gamma^2)}
\tag{7.2}
\]となる。

低周波極限(ω→0)で、実部は負の無限大に、虚部は正の無限大にそれぞれ発散する。

誘電率が負になると、屈折率の虚部が大きくなり、
光は内部に入り込めなくなり、強い反射が起きる。


これが金属が光を反射するメカニズムのようですが、
前述のとおり、誘電率のことがよくわかってないので、
数式上は理解できても、いまいちイメージがつかめませんね。

参考文献
[1] 小林浩一 「光物性入門」 (裳華房)
[2] 佐藤勝昭 「プラズモンの基礎」
http://home.sato-gallery.com/research/principles_of_plasmons.pdf
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/08/31 08:00

プラズマ周波数 (2)

プラズマ周波数についてまだ理解できないままですが、
とりあえず、まったくの我流で考察をすすめてみます。

プラズマ周波数\[
\omega_p^2 \equiv \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0}
\tag{1}
\]を用いて、自由電子模型の記事の (5) 式を書き直すと、\[
P_0 = -\varepsilon_0 E_0 \frac{\omega_p^2}{\omega^2}
\tag{2}
\]となる。

まず、低周波(DC)極限 ω→0 を考えると、分極は無限大に発散する。

しかし、分極は有限のはずだから、これはむしろ、
内部の電場が限りなくゼロになっていると考えるべきでしょう。

では、どうして、ゼロになるのか?

完全なDC電場の場合は、
電子はどんどん一方向に動いて行き、分極が作られ、
その分極による逆向きの電場により、外場が打ち消されて、
やがて内部電場はゼロになる。
いわゆる静電遮蔽の効果です。

しかし、振動電場の場合は事情が変わってきます。
(2) 式にマイナスがついていることから分かる通り、
電場の振動と分極の振動は逆位相になっています。

これは、振動する外力による強制振動の定常解を考えると、
確かにそうなって当然ですね。
なぜなら、変位が正の領域に入っている時には既に
減速フェーズに入っていなければならないので、
外力の向きは負の向きになっているはずだから。

ということは、静電遮蔽の場合と異なり、
分極電場の向きは外部電場と同じ方向となり、
打ち消しあうのではなく、増強されることになります。

ただし、ここで見えている電場は外部電場と分極電場の
足しあわされた後の内部電場であり、
分極が応答するのはこの内部電場に対してだから、
内部電場と分極電場の位相が同位相というだけで、
実際に外部電場の位相との比較でどうなっているかは分かりません。

実際のところ、電子の振動振幅が大きくなってくると、
電場は電子に仕事をしているわけだから、
電場のエネルギーは失われていって、弱まっていく気はします。
ただ、電磁気学としてどのような機構でゼロになるのか
よく分かりません。

ところで、光物性の本 [1] によると、
誘電率は、入射光の電場と誘起された双極子からの双極子放射光電場の足し合わせ
考えるとよいようです。
[1] の第一章の初めに、非常にシンプルで教育的な計算例が載っていて、
一度読んでなるほど・・・と思った記憶はあるのですが、
今回はめんどくさくて割愛してしまいました。
やはり、もう一度おさらいした方がよさそうですね^^;

この [1] の計算例は、ローレンツ模型について行われているのですが、
自由電子模型についても、この考え方を適用して、
分極からの双極子放射を考えれば、
おそらく、双極子放射電場と入射電場がうまく打ち消しあうように働いている
という結果が出るのではないかと考えています。

さて、次に、高周波極限ω→∞を考えると、
これは簡単で、振動周期が速くなるにつれ、
電子が一方向に加速される時間が短くなるため、
電子の移動振幅が小さくなり、分極が小さくなっていく。
そのため、入射光に与える影響は少なくなっていき、
極限的には、真空中と同様に光が透過していくようになる。

このイメージはおそらく正しいでしょう。

この間に位置する臨界点値的なものがプラズマ周波数だと思うのですが、
その時にたとえば何と何がバランスした状態になっているかとか
そういうイメージが描き出せません。

分かる方、是非、ご教授ください。
非常にシンプルなモデルなのに、考え出すと、難解ですね!


参考文献
[1] 小林浩一 「光物性入門」 (裳華房)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/08/17 12:54

プラズマ周波数 (1)

先日、少しの間、「プラズマ周波数」についての記事をアップしましたが、
その後、恥ずかしながら、とんでもない勘違いをしていたことが分かり、
取り下げました。

結局、プラズマ周波数とは何なのか?
誘電率がゼロとか負とは、どういうことなのか?

さっぱりイメージできなくなりました・・・

まあ、ここは理解できていなくても、
とりあえず、数式だけで先へ進むことはできるのですが、
それもどうかと・・・
物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/08/17 00:06

自由電子模型

いよいよ、物質中の電子の運動を古典的にモデル化して、
誘電率の分散を求めていきます。
普通はドルーデ模型から入るのですが、その前に、
完全な自由電子の模型を考えてみようと思います。

簡単のために、一次元で考える。
衝突散乱もなく、復元力もない完全に自由な電子の運動方程式は、\[
m\ddot{x} = -eE
\tag{1}
\]となる。振動数ωの外場を与えると、x が振動数ωで強制振動されるから、\[
x = x_0 e^{i\omega t}
\tag{2.1}
\]\[
E = E_0 e^{i\omega t}
\tag{2.2}
\]を代入すると、\[
x_0 = \frac{eE_0}{m\omega^2}
\tag{3}
\]となる。
先日、議論したように、巨視的分極 P は数密度 N とすると、\[
P = Np = -Nex
\tag{4}
\]と表されるから、分極のω振動成分は\[
P_0 = -Nex_0 = - \frac{Ne^2E_0}{m\omega^2}
\tag{5}
\]となる。分極と誘電率の関係\[
D = \varepsilon_0 E + P = \varepsilon E
\tag{6}
\]から、\[
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 - \frac{Ne^2}{m\omega^2}
\tag{7}
\]\[
\varepsilon_r(\omega) = 1 - \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0\omega^2}
\tag{8}
\]という誘電率の分散式が得られる。\[
\omega_p^2 \equiv \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0}
\tag{9}
\]と定義すると、\[
\varepsilon_r(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}
\tag{10}
\]と表される。$\omega_p$ をプラズマ周波数と呼ぶ。


参考文献
[1] 小林浩一 「光物性入門」 (裳華房)
[2] 佐藤勝昭 「プラズモンの基礎」
http://home.sato-gallery.com/research/principles_of_plasmons.pdf
[3] 矢野隆治 「応用光学講義ノート」
http://www.muroran-it.ac.jp/rikagaku/ap/zyuken/labo/yano/opt_found_for_Student_20150326.pdf
[4] 花村栄一 「固体物理学」 (裳華房)
物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/08/13 12:55

const 修飾子の二重の意義

プログラミング関係は、完全に素人なので、つぶやき程度です。

C++ で関数の引数に const 修飾子をつける時の意義って、
考えてみると意外に深いです。

参照渡しの引数につける場合。

たとえば、Matrix という行列を扱うクラスがあったとして、
そのオブジェクト A の参照を渡して、その行列式を返す関数。

double det (const Matrix& A);


行列の場合、データが膨大になるので、コピーして値渡しするよりは、
参照渡しの方が効率的。
この時、行列式を計算して値を返すだけなので、
行列の中身は変更しないということを const で保証しています。

このように定義することで、関数を呼び出す時に、
勝手に内容を変更される心配がなく、呼び出し側が安心して使える
という意義がありますね。

では、値渡しの場合はどうでしょう?

たとえば、2つのdouble型の数を比較して、大きい方を返す関数。

double max ( const double a, const double b);


上記の意義だけだと、値渡しに const をつけても、
何の意義もないということになります。
なぜなら、値渡しの場合は、関数内では値だけコピーして使用するのだから、
呼び出した側の内容が変更されようがありませんよね。

しかし、それでも意義はあるように思います。
呼び出し元の内容を変更する心配はないにせよ、
実際に大小比較する前に、うっかり間違えて変更してしまったら、
この関数自体が機能しません。

const をつけることによって、うっかり変更してしまった場合には
コンパイルエラーが発生するため、バグを防げるという効果があると思います。
つまり、関数を正しく機能させるために、プログラムミスで変更してしまうのを防ぐ
という意義がありますね。

たとえるならば、参照渡しの場合は、

(1) 社外から貴重な資料を預かってきているので、
それを絶対に汚してはいけない

(2) 社内的にも汚してしまったら、
調べたかった情報が得られないので、
絶対に汚してはいけない

という2重の意義があることになります。

値渡しの場合は、
資料はコピーしてすぐにお返しするので、第一の意義はないのですが、
それでも第二の意義はあるということになります。

あくまでも素人考えです。
C++プログラミング | コメント(0) | 2015/08/13 00:06
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