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ローレンツ模型

ドルーデ模型に引き続き、ローレンツ模型(Lorentz model)を扱います。

ドルーデ模型は、自由電子の散乱のみを考慮して、
金属の分散をうまく説明するモデルであるが、
ローレンツ模型は、さらにバンド間遷移を考慮して、
復元力のあるバネに束縛された電子の振動子として扱うモデルで、
誘電体の分散をうまく説明できる。

復元力の項を取り入れると、運動方程式は\[
m\ddot{x} + m\gamma \dot{x} + m\omega_0^2 x = -eE
\tag{1}
\]となる。これをいつものように振動解として解くと、\[
x_0 = \frac{eE_0}{m} (\omega^2 - \omega_0^2 - i\gamma\omega)^{-1}
\tag{2}
\]となり、振動子の密度を N とすると、分極は\[
P_0 = -Nex_0 = -\frac{Ne^2E_0}{m} (\omega^2 - \omega_0^2 - i\gamma\omega)^{-1}
\tag{3}
\]となる。これより、誘電率と比誘電率は\[
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 - \frac{Ne^2}{m} (\omega^2 - \omega_0^2 - i\gamma\omega)^{-1}
\tag{4}
\]\[
\varepsilon_r(\omega) = 1 - \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0} (\omega^2 - \omega_0^2 - i\gamma\omega)^{-1}
\tag{5}
\]と表される。
実部と虚部はそれぞれ、\[
\varepsilon_{1r} = 1 + \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0}
\frac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + \gamma^2\omega^2}
\tag{6.1}
\]\[
\varepsilon_{2r} = \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0}
\frac{\gamma\omega}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + \gamma^2\omega^2}
\tag{6.2}
\]となる。

参考文献
[1] 小林浩一 「光物性入門」 (裳華房)
[2] 佐藤勝昭 「プラズモンの基礎」
http://home.sato-gallery.com/research/principles_of_plasmons.pdf
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物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/09/29 07:22

逆関数の微分

逆関数の微分

U, V を $R^n$ の開集合とする。
関数 f : U→V は以下の条件を満たすとする。
(i) f は U 上 C1級。
(ii) 任意の $x \in U$ において、${\rm det} f' (x) \neq 0$。
(iii) f は U→V の全単射であり、逆関数 $f^{-1} : V \rightarrow U$ が存在。

このとき、以下が成立。

(1) 逆関数 $f^{-1}$ はV 上微分可能であり、
$y = f(x)$ における導値 $(f^{-1})'(y)$ は行列 $f'(x)$の逆行列に等しい。\[
(f^{-1})'(y) = f'(x)^{-1}
\](2) $f^{-1}$ は V 上 C1級である。


(1) の証明概略
以下の2段階で示す。
(a) $f^{-1}$ が V 上連続であることを示す。
(b) $f^{-1}$ が V 上微分可能で導値が上記のように表されることを示す。

(a)
仮定 (i) より f は微分可能で、f ' は U 上連続であるから、
任意の点 $x_0 \in U$ 、任意の正数 $K$ に対して、
$x_0$ のあるε近傍に含まれる x に対しては、\[
|f'(x) - f'(x_0)| \leq K
\tag{1}
\]が成立する。\[
g(x) = f(x) - f'(x_0) x
\tag{2}
\]なる関数を導入すると、\[
g'(x) = f'(x) - f'(x_0)
\tag{3}
\]有限増分の定理より、\[
|g(x) - g(x_0)| \leq \sqrt{n} {\rm sup} |g'(x)||x-x_0|
\tag{4}
\](1)、(2)、(3)を用いると、\[
|f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)| \leq \sqrt{n}K|x-x_0|
\tag{5}
\]となる。さらに、三角不等式を用いて、\[
|f'(x_0)(x-x_0)| - |f(x) - f(x_0)| \leq \sqrt{n}K|x-x_0|
\tag{6}
\]とできる。

仮定 (ii) より、$f'(x_0)^{-1}$ が存在するので、
シュワルツの不等式より、\[
|x-x_0| \leq |f'(x_0)^{-1}| |f'(x_0)(x-x_0)|
\tag{7}
\]となり、$\rho = |f'(x_0)^{-1}|^{-1} > 0$ とおくと、\[
|f'(x_0)(x-x_0)| \geq \rho|x-x_0|
\tag{8}
\]となる。これを用いると、(6) は、\[
(\rho - \sqrt{n}K)|x-x_0| \leq |f(x) - f(x_0)|
\tag{9}
\]と変形できる。

ここで、K は任意の正数だったから、$0 < K < \rho/\sqrt{n}$ となるように取ると、\[
0 \leq (\rho-\sqrt{n}K)|x-x_0| \leq |f(x)-f(x_0)|
\tag{10}
\]となる。
これを逆関数の言葉で書くと、$y_0 = f(x_0)$として、\[
0 \leq (\rho-\sqrt{n}K)|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)| \leq |y-y_0|
\tag{11}
\]と書き表すことができる。

これより、$y \rightarrow y_0$ の時、$f^{-1}(y) \rightarrow f^{-1}(y_0)$ であり、
仮定(iii) から f は全単射であるから、$y_0$ は V の任意の元となりうるので、
$f^{-1}$ は V 全体で連続である。

(b)
f は微分可能であるから、\[
f(x_0+h) - f(x_0) = f'(x_0) h + \varepsilon(h)
\tag{12}
\]と書くとき、\[
\lim_{h\neq 0, h\rightarrow 0} \frac{\varepsilon(h)}{|h|} = 0
\tag{13}
\]が成立する。
f は全単射だから、$y_0$の近傍で、\[
f^{-1}(y_0+k) = x_0+h
\tag{14}
\]とおくと、k と h は一対一に対応し、
$f$ 、$f^{-1}$ ともに連続だから、k→0 と h→0 は同値である。

仮定 (ii) より、$f'(x_0)^{-1}$ が存在するから、(12) の両辺にかけて、\[
f'(x_0)^{-1} [ f(x_0+h) - f(x_0) ] = h + f'(x_0)^{-1}\varepsilon(h)
\tag{15}
\](14) を用いて、$f$ を $f^{-1}$ に直すと、\[
f^{-1}(y_0+k) - f^{-1}(y_0) = f'(x_0)^{-1} k + \delta(k)
\tag{16}
\]と書ける。ただし、\[
\delta(k) = - f'(x_0)^{-1} \varepsilon(h)
\tag{17}
\]とおいた。

ここで、\[
\lim_{k\neq0, k\rightarrow 0} \frac{\delta(k)}{|k|} = 0
\tag{18}
\]を示せば、$f^{-1}$ が $y_0$ で微分可能であり、
導値が$f'(x_0)^{-1}$ であることが証明される。
シュワルツの不等式から\[
\frac{|\delta(k)|}{|k|} \leq |f'(x_0)^{-1}| \frac{|\varepsilon(h)|}{|h|}
\frac{|h|}{|f(x_0+h)-f(x_0)|}
\tag{19}
\](10) より\[
\frac{|h|}{|f(x_0+h)-f(x_0)|} \leq (\rho-\sqrt{n}K)^{-1}
\tag{20}
\]であるから、(13) と合わせて、(18) が示される。
(証明終了)

(2) の証明概略
f ' は連続関数だから、逆行列 $f'(x)^{-1}$ の (i,j) 成分も x の連続関数である。
(1)(a) より $f^{-1}$ は連続だから、これらの成分は、y の連続関数でもある。
(証明終了)



証明は、参考文献[1] に従ってますが、
(1) の証明(とくに a の部分)はかなり複雑ですね!

逆関数の連続性の証明に微分可能性を使ってますが、
連続であるだけでは、逆関数も連続であるとは言えないのでしょうか?
R→R の場合だと、反例がイメージできません。
$R^n \rightarrow R^m$の場合は、そもそもイメージできないので何とも・・・^^;

それとも、(b)でも使うための (10) 式を導くために、
あえてこのような構成になってるんでしょうか。


ちなみに、これとは関係ない余談ですが、
僕の持っている [1] の本は20年前に買ったもので、
仮定にもう一つ、
「(iv) $f^{-1}$ が V 上で連続」
という条件が書かれています。
それでいて、証明過程で連続であることを証明しているので、
初め、頭の中が????状態でした。
最新版を書店で確認したら、削除されていたので、間違いだったようですね。


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(4) | 2015/09/24 19:45

偏微分可能性と全微分可能性 (3)

ベクトル値関数 $f : A \subset R^n \rightarrow R^m$ について、
以下の2つは同値である。
(a) f は A 上 C1 級である。
(b) f は A 上微分可能であり、f ' は A 上連続である。

証明概略
(a) ⇒ (b)
前記事より、C1 級であれば、f は微分可能である。
導関数 $f'(x)$ の成分 $\partial f_i / \partial x_j$ (偏導関数)は連続であるから、
導関数自体も連続となる。

(b) ⇒ (a)
微分可能であるから、偏微分可能であり、
導関数 $f'(x)$ は連続であるから、成分である偏導関数も連続である。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2015/09/23 23:22

偏微分可能性と全微分可能性 (2)

むしろ、逆が興味深いです。

方向微分可能(あるいは偏微分可能)であれば、
微分可能(全微分可能)であるか?
そうとは限らない。


しかし、
偏微分可能ですべての偏導関数が連続ならば(つまり C1 級ならば)、
微分可能である。


以下の2段階で証明する。

(1) 実数値関数 $f : A \in R^n \rightarrow R$ について、
C1級ならば微分可能である。

(2) ベクトル値関数 $f : A \in R^n \rightarrow R^m$ について、
以下の2つは同値である。
(a) 成分 $f_i$ (i=1,...,m) が微分可能である。
(b) f が微分可能である。

(1) の証明概略
方針としては、$f(x)$ から $f(x+h)$ までの変化を見るにあたり、
$x \in R^n$ の成分を一つずつ動かしていって、平均値の定理を用いる。
\[
h(i) = [ 0, \cdots, 0, h_i, \cdots, h_n ]^T
\]なるベクトル(i=1,..., n+1)を定義すると( h(1) = h, h(n+1) = 0)、\[
f(x+h) - f(x) = \sum_{i=1}^n [ f(x+h(i)) - f(x+h(i+1)) ]
\]平均値の定理より、\[
f(x+h) - f(x)
= \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (x + \tilde{h}(i))
\]\[
\tilde{h}(i) = [ 0, \cdots, 0, \theta_i h_i, h_{i+1}, \cdots, h_n ]^T
\]なる $0<\theta_i<1$が存在する。
これを用いて、\[
\Delta(x) = \frac{1}{|h|} \left|
f(x+h) - f(x) - \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) \right|
\]を計算すると、\[
\Delta(x) = \frac{1}{|h|} \left|
\sum_i h_i \left\{
\frac{\partial f}{\partial x_i} (x + \tilde{h}(i)) - \frac{\partial f}{\partial x_i} (x)
\right\}
\right|
\]となるが、|・・・| の中身は h と {・・・} の内積だから、
シュワルツの不等式より、|h| と {・・・} のノルムの積より小さいので、
\[
\Delta(x) \leq
\left[
\sum_i \left|
\frac{\partial f}{\partial x_i} (x + \tilde{h}(i)) - \frac{\partial f}{\partial x_i} (x)
\right|^2
\right]^{1/2}
\]
$h\rightarrow 0$ の時、 $\tilde{h}(i) \rightarrow 0$ であり、
f の偏微分は連続である(C1級)という仮定から、$\Delta(x) \rightarrow 0$ となる。
(証明終了)

(2) の証明概略
$f'(x)$ の第 i 行ベクトルを $f'_i(x)$ とすると、\[
\lim_{h\rightarrow 0, h\neq 0}
\frac{f_i(x+h) - f_i(x) - f'_i(x) h}{|h|} = 0
\]と\[
\lim_{h\rightarrow 0, h\neq 0}
\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x) h}{|h|} = 0
\]は同値である。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
数学>解析 | コメント(0) | 2015/09/20 20:09

偏微分可能性と全微分可能性 (1)

光物性の話も少々飽きてきましたので、久しぶりに解析の続きを。
しばらくやってないと、すっかり忘れてしまってますね・・・
あっちやればこっち忘れ、こっちやればあっち忘れ・・・といたちごっこです^^;

全微分可能性と偏微分可能性の関係性が少々混乱してきましたので、
まとめていこうと思います。

まず、言葉の意味を思い出すところから。

関数としてはすべて、多変数ベクトル値関数 $f : A \subset R^n \rightarrow R^m$ で考える。

e方向の方向微分
$a \in A$, $e \in R^n$, $t \in R$ に対して、\[
(D_e f)(a) = \lim_{t\rightarrow 0, t\neq 0} \frac{f(a+te) - f(a)}{t}
\tag{1}
\]
偏微分
座標 $x_i$ のもととなる基底 $e_i$ 方向の方向微分。
$a \in A$, $t \in R$ に対して、\[
\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{t\rightarrow 0, t\neq 0}
\frac{f(a_1, \cdots, a_i + t, \cdots, a_n) - f(a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n)}{h}
\tag{2}
\]
微分(全微分)
$a \in A$, $h \in R^n$ に対して、\[
\lim_{h\rightarrow 0, h\neq 0}
\frac{f(a+h) - f(a) - f'(a)h}{|h|} = 0
\tag{3}
\]

微分可能(全微分可能)ならば、
任意の方向へ方向微分可能であり、偏微分可能である。


微分可能というのは、接超平面が存在するということだから、
あらゆる方向への方向微分(偏微分を含む)が存在するのは自明。

導関数を $f'(x)$ とすると、
方向導関数は、\[
(D_e f)(x) = f'(x) e
\tag{4}
\]偏導関数は、\[
\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) = [ f'(x) ]_{ij}
\tag{5}
\]である。($[f'(x)]_{ij}$ は行列 $f'(x)$ の i j 成分)

証明は書こうと思ってましたが、わりと自明なので、省略(笑)

次回は、この逆を考えます。


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
数学>解析 | コメント(0) | 2015/09/12 23:02
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