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電磁場の量子化 (10)

前回、a と a' という演算子を導入したので、
ハミルトニアン

\[
H = \sum_{k\lambda} \left[ c^2 p_{k\lambda} p^\dagger_{k\lambda} + k^2 q_{k\lambda} q^\dagger_{k\lambda} \right]
\tag{1}
\]

を a, a' で表す。

\[
q_{k\lambda}(t) = a_{k\lambda} e^{-i\omega t} + a'^\dagger_{k\lambda} e^{i\omega t}
\tag{2.1}
\]\[
p_{k\lambda}(t) = -\frac{i\omega}{c^2} a_{k\lambda} e^{-i\omega t}
+ \frac{i\omega}{c^2} a'^\dagger_{k\lambda} e^{i\omega t}
\tag{2.2}
\]

を代入する。まず、上記のエルミート共役は、\[
q^\dagger_{k\lambda}(t) = a^\dagger_{k\lambda} e^{i\omega t} + a'_{k\lambda} e^{-i\omega t}
\tag{3.1}
\]\[
p^\dagger_{k\lambda}(t) = \frac{i\omega}{c^2} a^\dagger_{k\lambda} e^{i\omega t}
- \frac{i\omega}{c^2} a'_{k\lambda} e^{-i\omega t}
\tag{3.2}
\]となる。以降は、面倒なので、kλの添え字を省略することにする。\[
qq^\dagger = aa^\dagger + a'^\dagger a' + aa' e^{-2i\omega t} + a'^\dagger a^\dagger e^{2i\omega t}
\tag{4}
\]\[
pp^\dagger = \frac{k^2}{c^2} \left[
aa^\dagger + a'^\dagger a' - aa' e^{-2i\omega t} - a'^\dagger a^\dagger e^{2i\omega t}
\right]
\tag{5}
\] これらを (1) に代入すると、\[
H = \sum_{k\lambda} 2k^2 \left[
a_{k\lambda} a^\dagger_{k\lambda} + a'^\dagger_{k\lambda} a'_{k\lambda}
\tag{6}
\right]
\]となる。\[
N_{k\lambda} = \frac{2k}{\hbar c} a^\dagger_{k\lambda} a_{k\lambda}
\tag{7.1}
\]\[
N'_{k\lambda} = \frac{2k}{\hbar c} a'^\dagger_{k\lambda} a'_{k\lambda}
\tag{7.2}
\]とおくと、交換関係\[
[a_{k\lambda}, a^\dagger_{k\lambda}] = \frac{\hbar c}{2k}
\tag{8}
\]にも注意して、ハミルトニアンは\[
H = \sum_{k\lambda} \hbar\omega (N_{k\lambda} + N'_{k\lambda} + 1)
\tag{9}
\]と表される。
もともとの a と a' の定義 (2.1) (2.2) を見ると、\[
a'_{k\lambda} = a_{-k\lambda}
\tag{10.1}
\]\[
N'_{k\lambda} = N_{-k\lambda}
\tag{10.2}
\]とみなしてよいことが分かる。
もともと、k の和は半空間で取っていたから、N と N' を合わせて、
k の和は k 空間全体で取ると約束すると、ハミルトニアンは

\[
H = \sum_{k\lambda} \hbar\omega \left( N_{k\lambda} + \frac{1}{2} \right)
\tag{11}
\]

と表せる。

というわけで、ようやく光子描像っぽいハミルトニアンまで到達しました。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
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電磁場の量子化 | コメント(0) | 2015/12/10 07:00

電磁場の量子化 (9)

ハミルトニアン

\[
H = \sum_{k\lambda} \left[ c^2 p_{k\lambda} p^\dagger_{k\lambda} + k^2 q_{k\lambda} q^\dagger_{k\lambda} \right]
\tag{1}
\]

と p, q の交換関係

\[
[q_{k\lambda}(t), p_{k'\lambda'}^\dagger(t)] = i\hbar \delta_{kk'} \delta_{\lambda\lambda'}
\tag{2.1}
\]\[
[q_{k\lambda}^\dagger(t), p_{k'\lambda'}(t)] = i\hbar \delta_{kk'} \delta_{\lambda\lambda'}
\tag{2.2}
\]

から p, q の運動方程式を導く。

\[
i\hbar \dot{q}_{k\lambda} = [q_{k\lambda}, H]
\tag{3.1}
\]\[
i\hbar \dot{p}_{k\lambda} = [p_{k\lambda}, H]
\tag{3.2}
\]

たとえば\[
[q_{k\lambda}, H] = \sum_{k'\lambda'} c^2 p_{k'\lambda'} [q_{k\lambda}, p^\dagger_{k'\lambda'} ]
= i\hbar c^2 p_{k\lambda}
\]などと計算することにより、

\[
\dot{q}_{k\lambda} = c^2 p_{k\lambda}
\tag{4.1}
\]\[
\dot{p}_{k\lambda} = - k^2 q_{k\lambda}
\tag{4.2}
\]

となる。これより、\[
\ddot{q}_{k\lambda} = -\omega^2 q_{k\lambda}
\tag{5}
\]という2階微分方程式が得られる。(ただし、$\omega = kc$ とおいた)

(注) [1] では、ωとおかずに kc のまま続けているが、何か理由があるんだろうか?
ここでは、ωと書いた方が分かりやすいので、ωで行くことにする。

この解は、

\[
q_{k\lambda}(t) = a_{k\lambda} e^{-i\omega t} + a'^\dagger_{k\lambda} e^{i\omega t}
\tag{6}
\]

と表せる。
ここで、a と a' は別物で、時間に依存しない。
便宜上、a' はエルミート共役で係数に入れている。
(4.1) 式を用いて、p は

\[
p_{k\lambda}(t) = -\frac{i\omega}{c^2} a_{k\lambda} e^{-i\omega t}
+ \frac{i\omega}{c^2} a'^\dagger_{k\lambda} e^{i\omega t}
\tag{7}
\]

と表せる。
(6)、(7) から a, a'+ について解くと\[
a_{k\lambda} = \frac{1}{2} \left( q_{k\lambda} + \frac{ic^2}{\omega} p_{k\lambda} \right) e^{i\omega t}
\tag{8.1}
\]\[
a'^\dagger_{k\lambda} = \frac{1}{2} \left( q_{k\lambda} - \frac{ic^2}{\omega} p_{k\lambda} \right) e^{-i\omega t}
\tag{8.2}
\]となり、エルミート共役は、\[
a^\dagger_{k\lambda} = \frac{1}{2} \left( q^\dagger_{k\lambda} - \frac{ic^2}{\omega} p^\dagger_{k\lambda} \right) e^{-i\omega t}
\tag{9.1}
\]\[
a'_{k\lambda} = \frac{1}{2} \left( q^\dagger_{k\lambda} + \frac{ic^2}{\omega} p^\dagger_{k\lambda} \right) e^{i\omega t}
\tag{9.2}
\]となる。
これより a, a' に関する交換関係を導く。たとえば、\[
[a_{k\lambda}, a^\dagger_{k'\lambda'}] = \frac{ic^2}{4} \left(
\frac{1}{\omega} [p_{k\lambda}, q^\dagger_{k'\lambda'}]
- \frac{1}{\omega'} [q_{k\lambda}, p^\dagger_{k'\lambda'}]
\right)
\]において、交換関係 (2) を用いればよく、以下のようになる。

\[
[a_{k\lambda}, a^\dagger_{k'\lambda'}] = \frac{\hbar c}{2k} \delta_{kk'} \delta_{\lambda\lambda'}
\tag{10.1}
\]\[
[a'_{k\lambda}, {a'}^\dagger_{k'\lambda'}] = \frac{\hbar c}{2k} \delta_{kk'} \delta_{\lambda\lambda'}
\tag{10.2}
\]

他の組み合わせについてはすべて可換。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2015/12/06 22:49
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