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まだ不完全

先日、長考モードでようやく解決したかに見えた前記事の電磁場の量子化の計算ですが、
まだ不完全な気がしてきました(汗)

というのも、最終結果の\[
H = \sum_{k\alpha} 2|{\bf k}|^2 c^*_{k\alpha} c_{k\alpha}
\tag{1}
\]の $c_{k\alpha}$ は、$c_{k\alpha}(0)$ のことを指しているつもりでしたが、
これから、前記事のように 、\[
Q_{k\alpha} = \frac{1}{c} (c_{k\alpha} + c^*_{k\alpha} )
\tag{2}
\]などと定義して、正準変数としてやろうとすると、
時間に依存しないため、正準方程式を導けないではないですか。

ここでの $c_{k\alpha}$ は、 $c_{k\alpha}(0)$ ではなく、$c_{k\alpha}(t)$ でなくてはならないですね。
そもそも、\[
c_{k\alpha}(t) = c_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t}
\tag{3}
\]だから、(1) のハミルトニアンは、c(t) でも成立するので、
そのまま読み変えちゃえばいいんですが、
最初から、c(t) で式変形した方がすっきりするのかもと思えてきました。

というわけで、また、前記事を修正しようと思っています。

行きつ戻りつでなかなか進みませんね・・・^^;
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つぶやき | コメント(2) | 2016/02/25 12:52

twitter 始めました!

突然ですが、なんとなく、twitter を始めてみました!

まあ、以前からちょっとやってみたかったのですが、
最初の登録がハードルになって、重い腰が上がらなかったんですよね^^;

主な目的は情報収集です。
以前に、橋本徹氏たちが twitter で政治的意見をつぶやき
始めたりした時に話題になってましたよね。

その時から、いろいろな政治家や芸能人や評論家などのつぶやき見たら
面白いだろうなあと思ってました。

今回、登録してみて、いろんな有名人たちのフォローをしてみたら、
すごい情報の海(笑)

有名人だけでなく、いろんな人の面白いつぶやきが入ってくるので、
なかなか楽しいですね!
世の中、いろいろ面白いこと考える人がいるもんだなあと(笑)

twitter は日本だけじゃないということで、
アメリカ大統領選の候補者たちをフォローしてみたら、
今盛り上がっている大統領選の状況を臨場感たっぷりに
感じることができます。
英語の勉強にもなりますね。

もちろん、つぶやきもやってます。
mixi でのつぶやきもこちらに流れるようにしていますが、
twitter だけでつぶやいていることもあります。

たいして有意義なつぶやきもありませんが(笑)、
左上にフォローボタンつけておきましたので、
もし、お気が向きましたら、フォローしてください^^
つぶやき | コメント(0) | 2016/02/23 19:53

電磁場の量子化再論 (4)

さて、先へ進みましょう。

以下のような量を定義。

\[
Q_{k\alpha} = \frac{1}{c} (c_{k\alpha} + c^*_{k\alpha} )
\tag{1.1}
\]\[
P_{k\alpha} = -\frac{i\omega}{c} (c_{k\alpha} - c^*_{k\alpha} )
\tag{1.2}
\]


記法はサクライ [1] に倣ってますが、c の文字がかぶるのがなんとも・・・(>_<
#わざわざ、c 使わなくてもよかったんだけど・・・

$c$, $c^*$ について解いて、\[
c_{k\alpha} = \frac{c}{2} \left( Q + \frac{iP}{\omega} \right)
\tag{2.1}
\]\[
c^*_{k\alpha} = \frac{c}{2} \left( Q - \frac{iP}{\omega} \right)
\tag{2.2}
\]

これを前記事のハミルトニアン\[
H = \sum_{k\alpha} 2 \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 c^*_{k\alpha} c_{k\alpha}
\tag{3}
\](ただし、$|{\bf k}| = \omega/c$)に代入すると、

\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2} ( P_{k\alpha}^2 + \omega^2 Q_{k\alpha}^2 )
\tag{4}
\]

となる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/02/19 19:09

電磁場の量子化再論 (3)

前記事までのところ、めんどくさい計算でしたが、
実際は、そんなに大したことやってるわけではなさそうです。
理解をスッキリさせるために、我流ですが、イメージで考えてみます。

まずは、z 軸方向に進む単一のモードだけを考えてみることにして、\[
A_x = V^{-1/2} A_0 \cos (kz - \omega t + \phi)
\tag{1}
\]とする。偏光モードも一方向だけ考えることにして、$A_y = A_z = 0$。

電場と磁場を求めると、\[
E_x = -\frac{1}{c}\frac{\partial A_x}{\partial t}
= - V^{-1/2} A_0 k \sin (kz - \omega t + \phi)
\tag{2}
\]\[
B_y = \frac{\partial A_x}{\partial z}
= - V^{-1/2} A_0 k \sin (kz - \omega t + \phi)
\tag{3}
\]となり、その他の成分は明らかにゼロ。

一辺 L の箱の中で2乗積分すると、\[
\int E_x^2 d^3x = L^{-1}k^2 A_0^2 \int_{-L/2}^{L/2} \sin^2 (kz-\omega t + \phi) dz
\]であり、周期的境界条件を仮定すると、\[
\int E_x^2 d^3x = \frac{k^2 A_0^2}{2}
\tag{4}
\]となる。磁場も全く同じ式なので、\[
\int B_y^2 d^3x = \frac{k^2 A_0^2}{2}
\tag{5}
\]となる。よって、このモードのみに関するハミルトニアンへの寄与を計算すると、\[
H = \frac{1}{2} \int (E_x^2 + B_y^2) d^3x = \frac{k^2 A_0^2}{2}
\tag{6}
\]である。

すべてのモードに対して考えた場合には、
k と α (偏光)の異なるモードはすべて互いに直交しているから、
合成した電磁場の2乗積分は、各モードの2乗積分の和で表されるため、
(直交座標系で、ベクトルの2乗が成分の2乗和になることと同じ)
多モードの対するハミルトニアンは (6) の和で書ける。よって、\[
H = \sum_{k,\alpha} \frac{k^2 A_0^2}{2}
\tag{7}
\]となる。

ここで、 前記事の複素表示における c とは、 $2c = A_0 e^{i(-\omega t + \phi)}$ の関係にあるから、\[
H = \sum_{k,\alpha} 2 k^2 c^* c
\tag{8}
\]となり、前記事の結果と一致する。
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/02/16 07:29

電磁場の量子化再論 (2) 長考の理由

世間では、ついに重力波が発見できて沸いていますが、
僕の中では一か月間探し求めていた計算間違いを発見できて沸いております(笑)

どこでハマっていたかと言いますと・・・

まず、前記事で求めた電場と磁場の表式。\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \epsilon |{\bf k}| [c e^{i{\bf kx}} - c^* e^{-i{\bf kx}} ]
\tag{1}
\]\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} ({\bf k}\times \epsilon) \left[ c e^{i{\bf kx}} - c^* e^{-i{\bf kx}} \right]
\tag{2}
\]
この磁場の式に出てくる ${\bf k}\times \epsilon$ の部分は、k と ε が直交して右手系をなすのだから、\[
{\bf k} \times \epsilon_1 = |{\bf k}| \epsilon_2
\tag{3.1}
\]\[
{\bf k} \times \epsilon_2 = -|{\bf k}| \epsilon_1
\tag{3.2}
\]とできるのではないかと。
そこで、$\zeta_1 = \epsilon_2$, $\zeta_2 = -\epsilon_1$ なる新たな単位ベクトル ζ を定義してやれば、\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \zeta |{\bf k}| [c e^{i{\bf kx}} - c^* e^{-i{\bf kx}} ]
\tag{4}
\]となって、電場の式 (1) とは単位ベクトルの方向が違うだけで、
まったく同じ式になってしまうのではないかと考えたわけです。

そうすると、${\bf E}^2$ も ${\bf B}^2$ も全く同じ値になるはずだから、
$c_k c_{-k}$ などの 2ω の項が消えてくれなくなってしまいます。
ここで、ずっと困っていたわけです。

よくよく考えてみると、(3) 式が間違っているわけですね。
実際は、k の向きが負になった場合は符号が反転するのです。

電場の方は、k に何が入っても、向きは ε の向きで固定です。
しかし、磁場の方は k と ε で決まる方向を向くわけだから、
k の向きが反転すると、反転するのですね。

その違いから、2ω 成分の符号が反転してくれて、
うまく消えてくれるというわけでした。

分かってしまうと単純な話ですが、ハマってるとなかなか抜けられないものですね・・・^^;

電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/02/15 07:00
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