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群の定義

以前から細々と代数系の勉強もしていて、
「群・環・体」の定義がようやく頭に入ってきたところです。
そこで、まとめておこうと思います。

(定義)

集合 G (≠Φ)上で G x G の演算が定義されていて、
以下の条件を満たすとき、G はであるという。

(G1) 閉性
 すべての $a, b \in G$ に対して、$ab \in G$。

(G2) 結合法則
 すべての $a,b,c \in G$ に対して、$(ab)c = a(bc)$ が成り立つ。

(G3) 単位元の存在
  ある元 $e \in G$ が存在して、すべての元 $a \in G$ に対して、$ae = ea = a$ となる。
  単位元は群に対して一意的であり、1 と書く。

(G4) 逆元の存在
  任意の元 $a \in G$ に対して、ある元 $b \in G$ が存在して、$ab = ba = e$ を満たす。
  逆元は与えられた元に対して一意的に決まり、$a^{-1}$ と書く。


(注)通常、(1) は演算の前提であって、群の公理としては (2)~(4) の3つを書くことが多いが、
   群かどうかのチェックをするのに、(1) も要件になるので、あえて、4つの条件とした。

単位元の一意性
$e = ee' = e'$

逆元の一意性
$b = be = b(ab') = (ba)b' = eb' = b'$

可換群(アーベル群、加法群)(定義)

上記に加えて、交換法則を満たす。
(G5) 交換法則
  すべての $a,b \in G$ に対して、$ab = ba$

 このとき、$ab$ を $a+b$ とも書き、単位元を 0、a の逆元を -a と書く。



群の位数(定義)

群 G の元の個数を G の位数と呼び、$|G|$ と表記する。
位数が有限の群を有限群、無限の群を無限群と呼ぶ。




参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/03/31 19:52

電磁場の量子化再論 (7)

数演算子 N は\[
N^\dagger = (a^\dagger a)^\dagger = a^\dagger a = N
\tag{1}
\]よりエルミートであるから、実数固有値を持つ。
固有値 n に対する規格化された固有ケットを |n> と表記すると、

\[
N | n \rangle = n | n \rangle
\tag{2}
\]

状態 |n> に演算子 a や a+ を作用させたものについて考える。
前記事で導出した N と a の交換関係より、\[
N a |n\rangle = (aN - a) |n\rangle = (n-1) a|n\rangle
\tag{3.1}
\]\[
N a^\dagger |n\rangle = (a^\dagger N + a^\dagger) |n\rangle = (n+1) a^\dagger |n\rangle
\tag{3.2}
\]これらより、
a|n> は固有値 n-1 に対する固有状態、
a+|n> は固有値 n+1 に対する固有状態

を表すことが分かる。
すなわち、適当な係数を導入して、\[
a|n\rangle = c_- |n-1\rangle
\tag{4.1}
\]\[
a^\dagger|n\rangle = c_+ |n+1\rangle
\tag{4.2}
\]と表せる。
係数を求めるために、上式のノルムを考えると、\[
|c_-|^2 = \langle an|an \rangle = \langle n|a^\dagger a|n\rangle = \langle n|N|n\rangle = n
\tag{5.1}
\]\[
|c_+|^2 = \langle a^\dagger n|a^\dagger n\rangle = \langle n|aa^\dagger|n\rangle
= \langle n|(a^\dagger a +1)|n\rangle = n+1
\tag{5.2}
\]時刻 t=0 において、位相因子を 1 と決めると、

\[
a |n\rangle = \sqrt{n}| n-1 \rangle
\tag{6.1}
\] \[
a^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1} | n+1 \rangle
\tag{6.2}
\]

となる。
a は n を1下げた状態を作り、a+ は n を1上げた状態を作る働きをする。

一方で、\[
n = \langle n|N|n \rangle = \langle n|a^\dagger a|n \rangle \geq 0
\tag{7}
\]であるから、n は非負でなければならない。
しかし、a を連続的に施して、n を下げていく過程を考えると、
n は整数でなければ、無限に n の小さい状態が生成され、
いずれは n が負となり、上記に矛盾することが分かる。

n が整数ならば、n = 0 で (6.1) 式は\[
a|0\rangle = 0
\tag{8}
\]となり、これ以上低い状態は作られないため、 |0> が最低の状態となる。
状態 |n> を作るには、状態 |0> に a+ を n 回施せばよいので、\[
|n\rangle = \frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle
\tag{9}
\]
すべてのモードに関して考えるには、状態を各モードの直積で表せばよい。\[
|n_{k_1\alpha_1}, n_{k_2\alpha_2}, \cdots \rangle
= |n_{k_1\alpha_1} \rangle |n_{k_2\alpha_2} \rangle \cdots
\tag{10}
\]すべてのモードが $n_{k\alpha} = 0$ になっている状態を\[
|0\rangle = |0_{k_1\alpha_1} \rangle |0_{k_2\alpha_2} \rangle \cdots
\tag{11}
\]と書くことにすると、

\[
|n_{k_1\alpha_1}, n_{k_2\alpha_2}, \cdots \rangle
= \prod_{k\alpha} \frac{(a_{k\alpha}^\dagger)^n}{\sqrt{n_{k\alpha}!}} |0\rangle
\tag{12}
\]

と表せる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/03/25 20:12

電磁場の量子化再論 (6)

前記事でハミルトニアン

\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2} ( P_{k\alpha}^2 + \omega^2 Q_{k\alpha}^2 )
\tag{1}
\]

において、P, Q は正準変数であることが分かったので、
以下の交換関係を適用して、正準量子化を行う。

\[
[Q_{k\alpha}, P_{k'\alpha'}] = i\hbar \delta_{kk'}\delta_{\alpha\alpha'}
\tag{2.1}
\]\[
[Q_{k\alpha}, Q_{k'\alpha'}] = [P_{k\alpha}, P_{k'\alpha'}] = 0
\tag{2.2}
\]

以下の演算子を導入する。

\[
a_{k\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{k\alpha} + iP_{k\alpha})
\tag{3.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{k\alpha} - iP_{k\alpha})
\tag{3.2}
\]


ここで、P, Q は実観測量に対応しているので、エルミート演算子であることに注意。
その結果、a と a+ はエルミート共役の関係になる。

P, Q を定義した式から\[
c_{k\alpha} = \frac{c}{2} \left( Q + \frac{iP}{\omega} \right)
\tag{4}
\]であるから、\[
c_{k\alpha} = c\sqrt{\hbar/2\omega} \times a_{k\alpha}
\tag{5}
\]の関係があることが分かり、a は c を無次化したものであることも確かめられる。
(2) の交換関係を用いると、a と a+ の交換関係は、以下のようになる。

\[
[a_{k\alpha}, a^\dagger_{k'\alpha'}] = \delta_{kk'}\delta_{\alpha\alpha'}
\tag{6.1}
\]\[
[a_{k\alpha}, a_{k'\alpha'}] = [a^\dagger_{k\alpha}, a^\dagger_{k'\alpha'}] = 0
\tag{6.2}
\]


ここで、数演算子 N を定義する。

\[
N_{k\alpha} = a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha}
\tag{7}
\]


a との交換関係は以下のように計算できる。\[
[a, N'] = [a, {a^\dagger}' a'] = {a^\dagger}' [a, a'] + [a, {a^\dagger}']a' = \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a_{k\alpha}
\tag{8.1}
\]\[
[a^\dagger, N'] = [a^\dagger, {a^\dagger}' a'] = {a^\dagger}' [a^\dagger, a'] + [a^\dagger, {a^\dagger}']a'
= - \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a^\dagger_{k\alpha}
\tag{8.2}
\]ただし、$a'$ などは $a_{k'\alpha'}$ を表すと約束する。


参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/03/22 19:14

電磁場の量子化再論 (5)

前記事で求めたハミルトニアン

\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2} ( P_{k\alpha}^2 + \omega^2 Q_{k\alpha}^2 )
\tag{1}
\]

において、P, Q が正準変数となっていることを以下に示す。\[
Q_{k\alpha} = \frac{1}{c} (c_{k\alpha} + c^*_{k\alpha} )
\tag{2.1}
\]\[
P_{k\alpha} = -\frac{i\omega}{c} (c_{k\alpha} - c^*_{k\alpha} )
\tag{2.2}
\]および\[
\dot{c}_{k\alpha} = -i\omega c_{k\alpha}
\tag{3}
\]より、\[
\dot{Q}_{k\alpha} = P_{k\alpha}
\tag{4.1}
\]\[
\dot{P}_{k\alpha} = -\omega^2 Q_{k\alpha}
\tag{4.2}
\]が得られる。したがって、以下の正準方程式を満たす。

\[
\dot{Q}_{k\alpha} = \frac{\partial H}{\partial P_{k\alpha}}
\tag{5.1}
\]\[
\dot{P}_{k\alpha} = -\frac{\partial H}{\partial Q_{k\alpha}}
\tag{5.2}
\]



ハミルトニアン (1) は、質量を1とした時の調和振動子の集合のハミルトニアンに一致する。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/03/17 12:42

修正完了

「電磁場の量子化再論」のシリーズについてですが、
「まだ不完全」の記事で述べたように、
c(0) を c として式変形していたのを c(t) を c として、
係数 c に時間依存性を含めてしまうように記事をすべて修正しました。

時間依存性を含めた表記の方がすっきりしていて、分かりやすいですね。

これでようやく、先に進める・・・
つぶやき | コメント(0) | 2016/03/11 12:30
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