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電磁場の量子化再論 (11) 光子の運動量

電磁場の運動量を生成消滅演算子で表す。

E と B の表式\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \sqrt{\hbar\omega/2} \ \epsilon_{k\alpha} [a_{k\alpha} e^{i{\bf k \cdot x}} - a^\dagger_{k\alpha} e^{-i{\bf k \cdot x}} ]
\tag{1}
\]\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} c\sqrt{\hbar/2\omega} \ ({\bf k}\times \epsilon_{k\alpha}) [a_{k\alpha} e^{i{\bf k\cdot x}} - a^\dagger_{k\alpha} e^{-i{\bf k\cdot x}} ]
\tag{2}
\]を用いて、電磁場の運動量\[
{\bf P} = \frac{1}{c} \int ({\bf E} \times {\bf B}) d^3x
\tag{3}
\]を計算する。

周期的境界条件から得られる性質\[
V^{-1} \int e^{i({\bf k}-{\bf k}')\cdot {\bf x}} d^3x = \delta_{\bf kk'}
\tag{4}
\]を利用すると、\[
{\bf P} = -\sum_{k,k'} \sum_{\alpha,\alpha'} \frac{\hbar}{2}
\epsilon \times ({\bf k}' \times \epsilon')
[(aa' + a^\dagger a'{}^\dagger) \delta_{k,-k'} - (aa'{}^\dagger + a^\dagger a') \delta_{k,k'}]
\tag{5}
\] となる。ただし、プライム記号については $a' = a_{k'\alpha'}$ などと略記した。
ここで、\[
\epsilon \times ({\bf k}' \times \epsilon')
= {\bf k}'(\epsilon \cdot \epsilon') - \epsilon' (\epsilon\cdot{\bf k}')
\tag{6}
\]であり、また、(5)の[ ] の部分は${\bf k} = \pm {\bf k}'$のみ生き残ることを考慮すると、
$\epsilon\cdot{\bf k}' = \pm \epsilon\cdot{\bf k} = 0$ で(6)の第2項は消える。

次に、(6)の第1項については、${\bf k} = {\bf k}'$ の時、$\epsilon\cdot\epsilon' = \delta_{\alpha\alpha'}$ で、
${\bf k} = -{\bf k}'$の時、$\epsilon\cdot\epsilon' = \pm \delta_{\alpha\alpha'}$(α=1,2 で逆符号)である。
よって、(5)の[ ]の部分の第1項については、
$\pm {\bf k} a_{k\alpha} a_{-k\alpha}$ と $\pm {\bf k} a^\dagger_{k\alpha} a^\dagger_{-k\alpha}$ の項で構成され、
k に関する奇関数となるため、最終的に k空間全体で和を取ると消える。

結局、(5)の第2項と(6)の第1項の積から成る部分のみが残り、\[
{\bf P} = \sum_{k\alpha} \frac{\hbar}{2} {\bf k} (a_{k\alpha} a^\dagger_{k\alpha} + a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha})
\tag{7}
\]と整理される。光子数演算子を用いると、\[
{\bf P} = \sum_{k\alpha} \hbar {\bf k} \left(N_{k\alpha} + \frac{1}{2} \right)
\tag{8}
\]と書ける。ここで、$\hbar {\bf k}/2$ の項は k空間全体で和を取るとゼロになるので、\[
{\bf P} = \sum_{k\alpha} \hbar {\bf k} N_{k\alpha}
\tag{9}
\]となる。
すなわち、(k,α)で指定されるモードに入る光子一個あたりの運動量は $\hbar {\bf k}$ であると考えられる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2018/12/23 23:29

電磁場の量子化再論 (10) 電磁場の演算子による表示

電磁場を生成消滅演算子で表示する。

電磁場のフーリエ表示\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha} 
\epsilon_{k\alpha} \left[ c_{k\alpha}(t) e^{i{\bf k}\cdot{\bf x}}
+ c^*_{k\alpha}(t) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf x}} \right]
\tag{1}
\]に生成消滅演算子の定義から得られる c と a の関係式\[
c_{k\alpha} = c\sqrt{\hbar/2\omega} \times a_{k\alpha}
\tag{2}
\]を代入すると、\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha} 
c\sqrt{\hbar/2\omega} \
\epsilon_{k\alpha} \left[ a_{k\alpha}(t) e^{i{\bf k}\cdot{\bf x}}
+ a^\dagger_{k\alpha}(t) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf x}} \right]
\tag{3}
\]となる。
生成消滅演算子の時間発展\[
a_{k\alpha}(t) = a_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t} \tag{4.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha}(t) = a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{i\omega t} \tag{4.2}
\]を代入すると、\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{{\bf k}, \alpha}  c\sqrt{\hbar/2\omega} \ \epsilon_{k\alpha}
\left[ a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k}\cdot{\bf x}-\omega t)} + a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k}\cdot{\bf x}-\omega t)} \right]
\tag{5}
\]となる。

次に、${\bf E} = -(1/c)(\partial {\bf A}/\partial t)$ と ${\bf B} = \nabla\times{\bf A}$を求める。\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \sqrt{\hbar\omega/2} \ \epsilon_{k\alpha}
[a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k \cdot x} - \omega t)} - a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k \cdot x}-\omega t)} ]
\tag{6}
\]\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} c\sqrt{\hbar/2\omega} \ ({\bf k}\times \epsilon_{k\alpha})
[a_{k\alpha}(0) e^{i({\bf k\cdot x}-\omega t)} - a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{-i({\bf k\cdot x}-\omega t)} ]
\tag{7}
\]
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2018/12/23 12:57

電磁場の量子化再論 (9) 生成消滅演算子の時間発展

ハミルトニアンを使って、生成消滅演算子の時間発展を調べる。

ハミルトニアンを用いると、生成消滅演算子の時間発展は\[
\dot{a}_{k\alpha} = \frac{1}{i\hbar}[a_{k\alpha}, H]
\tag{1.1}
\]\[
\dot{a}^\dagger_{k\alpha} = \frac{1}{i\hbar}[a^\dagger_{k\alpha}, H]
\tag{1.2}
\]と表せる。
ハミルトニアンは、\[
H = \sum_{k\alpha} \hbar\omega N_{k\alpha}
\tag{2}
\]であるから、\[
[a_{k\alpha}, N_{k'\alpha'}] = \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a_{k\alpha}
\tag{3.1}
\]\[
[a^\dagger_{k\alpha}, N_{k'\alpha'}] = -\delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a^\dagger_{k\alpha}
\tag{3.2}
\]を用いると、以下の時間発展の方程式が得られる。\[
\dot{a}_{k\alpha} = -i\omega a_{k\alpha}
\tag{4.1}
\]\[
\dot{a}^\dagger_{k\alpha} = i\omega a^\dagger_{k\alpha}
\tag{4.2}
\]これを解くと、\[
a_{k\alpha}(t) = a_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t}
\tag{5.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha}(t) = a^\dagger_{k\alpha}(0) e^{i\omega t}
\tag{5.2}
\]となる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2018/12/16 18:08

電磁場の量子化再論 (8) 光子のエネルギー

ハミルトニアンを生成消滅演算子で表す。

追記:論理展開がおかしかったので、大幅に修正しました(12/23)

以前の記事の\[
H = \sum_{k\alpha} 2|{\bf k}|^2 c^*_{k\alpha} c_{k\alpha}
\tag{1}
\]の導出で、$c$と$c^*$ を非可換と仮定すると、\[
H = \sum_{k\alpha} |{\bf k}|^2 (c^*_{k\alpha} c_{k\alpha} + c_{k\alpha} c^*_{k\alpha})
\tag{2}
\]となり、これに\[
c_{k\alpha} = c\sqrt{\hbar/2\omega} \times a_{k\alpha}
\tag{3}
\]を代入して、\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2}\hbar\omega (a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha} + a_{k\alpha} a^\dagger_{k\alpha})
\tag{4}
\]となる。この時、$\omega = c|{\bf k}|$を用いた。
$N_{k\alpha} = a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha}$ と $[a_{k\alpha},a^\dagger_{k\alpha}] = \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'}$ を用いると、\[
H = \sum_{k\alpha} \hbar\omega \left(N_{k\alpha} + \frac{1}{2} \right)
\tag{5}
\]となる。
エネルギー原点は任意に取れるので、|0> の固有エネルギーをゼロになるように原点を取ると、
定数部分はなくなり、\[
H = \sum_{k\alpha} \hbar\omega N_{k\alpha}
\tag{6}
\]となる。
すなわち、(k,α)で指定されるモードに $\hbar\omega$のエネルギーを持つ光子が$n_{k\alpha}$個入っている
という描像で考えることができる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2018/12/16 12:36
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