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∫ 量子力学の行列形式 (3)

前回は、演算子を行列として表示するところまで書きましたが、
今回は、ようやく、対角化の話までもっていけそうです。
シリーズ物は、たいてい途中で放置される傾向が強いので、
今回は、頑張ったかも!(笑)


ハミルトニアンを2種類の基底を用いて、行列表示することを考える。

一つ目は、ハミルトニアン自身の固有状態 |k> を基底に取った場合。
\[
H_{kl} = \langle k | H | l \rangle
\tag{1}
\]
二つ目は、別の演算子Ωの固有状態 |μ> を基底に取った場合。
\[
H'_{\mu\nu} = \langle \mu | H | \nu \rangle
\tag{2}
\]

演算子としては同じものであるが、単に行列として見たときには、
別の行列になるので、区別するためにプライム( ' )をつけた。

前回の議論からわかるとおり、
(1)は対角型となるが、(2)は一般には、対角型ではない。

基底を変換することによって、(2)から(1)の表示へ持っていければ、
数学的には、行列の対角化と同じ操作をしていることになる。

さらに、正規直交基底から別の正規直交基底への変換なので、
内積・ノルムを不変にするユニタリ変換である。
つまり、エルミート行列のユニタリ変換による対角化を行っていることになる。

このことをはっきりさせるために、もう少し詳しく考察してみる。

対角型になっていない(2)からスタートすることにして、基底の変換を考える。
基底 |ν> を 基底 |k> を使って表す。
基底は、どちらも完全系をなしていると仮定しているので、
\[
|\nu \rangle = \sum_k a_k |k \rangle
\tag{3}
\]
のように展開形で書ける。

|k>の系列の一つの基底 |l> との内積を取ると、
\[
\langle l | \nu \rangle
= \sum_k a_k \langle l | k \rangle
= \sum_k a_k \delta_{kl}
= a_l
\]
となるから、係数 al は、
\[
a_l = \langle l | \nu \rangle
\]
と書けることが分かる。これを(3)に用いると、
\[
|\nu \rangle = \sum_l | l \rangle \langle l | \nu \rangle
\]

| l >< l | のように2回以上出てくる文字について、面倒なので、
Σlを省略する記法が存在して、それを適用すると、
\[
|\nu \rangle = | l \rangle \langle l | \nu \rangle
\tag{4}
\]
と書ける。
これをじっくりと観察すると、
\[
| l \rangle \langle l | = 1
\tag{5}
\]
(1は恒等演算子)となっていることが分かる。

全く同様に、<μ| についても、
\[
\langle \mu | = \langle \mu | k \rangle \langle k |
\tag{6}
\]
と出来ることが分かるので、(4)と(6)を(2)に代入すると、
\[
H'_{\mu\nu} = \langle \mu | k \rangle \langle k | H | l \rangle \langle l | \nu \rangle
\]
と書ける。
同じ式を次のように見ると、
やっていることは、単純に恒等演算子 | k >< k |と| l >< l |を挿入しているだけである。
(恒等演算子だから、式を変えないのは当たり前)
\[
H'_{\mu\nu} = \langle \mu \underline{| k \rangle \langle k |} H \underline{| l \rangle \langle l |} \nu \rangle
\]

ところで、中央に対角型(1)の Hkl が現れたのに気づく。

ここで、
\[
\langle \mu | k \rangle = U_{\mu k}
\]
という成分を持つ行列 U を定義。
\[
\langle l | \nu \rangle = \langle \nu | l \rangle^* = U^\dagger_{l\nu}
\]
より、
\[
H'_{\mu\nu} = \sum_k \sum_l U_{\mu k} H_{kl} U^\dagger_{l\nu}
\]
と書き表すことができて、結局、これは行列の積として、
\[
H' = UHU^\dagger
\]
と書くことができる。

Uがユニタリ行列であることを確認するには、
(5)の恒等演算子の性質を利用して、
\[
( UU^\dagger )_{\mu\nu}
= \langle \mu | k \rangle \langle k | \nu \rangle
= \langle \mu | \nu \rangle
= \delta_{\mu\nu}
\]
\[
(U^\dagger U)_{kl}
= \langle k | \mu \rangle \langle \mu | l \rangle
= \langle k | l \rangle
= \delta_{kl}
\]
となり、 
\[
UU^\dagger = U^\dagger U = E
\]

行列が有限次元の場合は、片方でよいが、
無限次元の場合は、両方を確認する必要がある。

というわけで、\(U^\dagger = U^{-1} \) なので、
\[
U^\dagger H' U = H
\]
となり、
エルミート行列 H'をユニタリ変換 U によって、対角化する操作と同じである
ことが確認できた。

以上で、このシリーズは終了の予定です。
教科書をまる写ししているわけではなく、
自分で論理を再構成して書いているので、
間違ってるかもしれません!要注意です(汗)
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物理>量子力学 | コメント(0) | 2011/04/20 12:57
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