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テンソルの行列表記

テンソルと行列はまったく別概念ですが、
2階のテンソルを行列で、1階のテンソル(ベクトル)を列ベクトルで表記
して計算することがよくありますよね。

そこで、この表記法をまとめてみました。

・・・といっても、どこかの本にまとめて掲載されていたのではなく、
我流で導出しているので、正しい保証はありません!
ご注意ください^^;

以下、青字がテンソル表記、赤字が行列表記、緑字が定義。


座標変換
\[
x'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^m} x^m
\]
\[
x' = A x
\]
ただし、\[
(A)_{\mu m} \equiv \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^m} \\
(x)_m \equiv x^m \\
(x')_\mu \equiv x'^\mu
\]


逆変換
xm = (∂'μ xm) xμ
x = A-1 x'
ただし、
(A-1) ≡ ∂'μ xm  

反変ベクトル
p'μ = (∂m x'μ) pm
p' = A p
ただし、
(p)m ≡ pm, (p')μ ≡ p'μ

共変ベクトル
p'μ = (∂'μ xm) pm
p' = (A-1)T p
ただし、
(p)m ≡ pm, (p')μ ≡ p'μ

反変テンソル
P'μν = (∂m x'μ) (∂n x'ν) Pmn
P' = A P AT
ただし、
(P)mn ≡ Pmn, (P')μν ≡ P'μν

共変テンソル
P'μν = (∂'μ xm) (∂'ν xn) Pmn
P' = (A-1)T P A-1
ただし、
(P)mn ≡ Pmn, (P')μν ≡ P'μν

混合テンソル
P'μν = (∂m x'μ) (∂'ν x'n) Pmn
P' = A P A-1
ただし、
(P)mn ≡ Pmn, (P')μν ≡ P'μν

この計算法を使うと、簡単な縮約を行列で考えることも可能。

たとえば、
Pmn Qnk = Rmk

のような操作は、

P' = A P AT   (反変テンソル)
Q' = (A-1)T Q A-1  (共変テンソル)

R' = P' Q'
= (A P AT) ((A-1)T Q A-1)
= A P Q A-1
= A R A-1


と計算でき、混合2階テンソルの変換則を満たすことが分かります。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>テンソル | コメント(0) | トラックバック(0) | 2013/05/14 23:35
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