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直交群

「内積を不変にする変換」ということで、最も簡単なケースである
実空間におけるユークリッド内積を不変にする変換
すなわち直交変換をまず、考えてみようと思います。

ユークリッド内積は、
\[
(x,y) = x^Ty
\]
と書けるので、

内積を不変にする変換
\[
(Ax, Ay) = (x,y)
\]
は、
\[
(Ax)^T(Ay) = x^TA^TAy = x^Ty
\]
より、
行列Aに課せられる条件は、
\[
A^TA = E
\]
となる(直交行列)。

これが群をなすことを確かめてみます。

(1) 積が閉じている。
A, Bが直交行列ならば、
\[
(AB)^T(AB) = B^TA^TAB = B^TB = E
\]
となり、AB も直交行列。

(2) 結合律は、自明。

(3) 単位元は、単位行列 E。

(4) 逆元の存在。
\[
A^T = A^{-1}
\]
\[
((A^{-1})^T A^{-1} = (A^T)^T A^{-1} = AA^{-1} = E
\]
A-1も直交行列。

ということで、n次直交行列は直交群 O(n)をなす
ことが確認できました。


参考文献
岩堀 長慶 「線形代数学」(裳華房)
斉藤 正彦 「基礎数学1 線型代数入門」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/05/15 00:21
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