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最小作用の原理

ハミルトン形式を制するには、
まずは、ラグランジュ形式を制すべし!
ってことで、最小作用の原理から、復習しております(汗)

最小作用の原理
時刻 t1, t2 において、位置 q(t1), q(t2) を通る経路のうち、
作用積分
\[
S = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t), t) dt
\]
が最小(正確には停留値)となるような経路が実現される。

多自由度の時は、qi を q で代表して表記。
q' は、q の時間微分。

これから、Euler-Lagrangeの方程式を導きます。

端点を固定した変分 δqi(t) を考える。
\[
\delta S = \int \delta L dt
= \int \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right] dt
\]
ここで、
\[
\delta \dot{q} = \frac{d}{dt}\delta q
\]
であるから・・・と、たいていの教科書ではさらっと書いてあるのですが、
僕は、初めての時に、「ん?」と思ったので、
バカ真面目に書いてみます(笑)

δq' とは何かというと、
q → q + δq と変化した時に、
その時間微分が q' → q' + δq' と変化すると言う意味。

つまり、
\[
\begin{eqnarray}
\delta \dot{q} & = & \frac{d}{dt}[ q + \delta q ] - \frac{dq}{dt} \\
& = & \frac{dq}{dt} + \frac{d}{dt}\delta q - \frac{dq}{dt} \\
& = & \frac{d}{dt}\delta q
\end{eqnarray}
\]
これを使って、δSの第二項を部分積分すると、第二項は、
\[
\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right]_{t_1}^{t_2}
- \int \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right] \delta q_i dt
\]
となり、この初めの項は、端点固定の仮定から0になるので、
\[
\delta S = \int \left\{ \frac{\partial L}{\partial q_i}
- \frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right] \right\} \delta q_i dt
\]

任意の変分に対して、停留値条件 δS = 0を満足するためには、
\[
\frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right] - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
\]

となり、Euler-Lagrange方程式が導かれました。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/05/29 00:23
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